Кручение групп Брауэра локальных эллиптических кривых с плохой редукцией Гоглев, Валентин Владиславович

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Исследования конечномерных центральных простых алгебр начались п середине прошлого века, после того, как Гамильтоном были открыты тела кватернионов над полем действительных чисел.

Важным результатом развития теории центральных простых алгебр стало появление нового объекта, описывающего все конечномерные алгебры над фиксированным основным полем с точностью до подобия. Изучение этого объекта, получившего название группы Брауэра, оказалось полезным не только для исследования алгебр, но также и для многочисленных приложении в алгебраической К -теории, алгебраической геометрии, теории квадратичных форм и др.

В тридцатые годы Хассе, Брауэром, Ллбертом и Нетср был получен одни из важнейших результатов теории полей классов, дающий полное описание групп Брауэра локальных и глобальных полей. Их исследования базировались па локально-глобальном принципе, нашедшем затем многочисленные прпмепеня и вдругих областях математики.

Дальнейшим важным шагом в развитии теории центральных простых алгебр явилось исследование групп Брауэра полей рациональных функцій") на алгебраических многообразиях ввиду их многочисленных приложений. Кроме того, тесная связь между алгебраической геометрией и теорией центральні,^ простых алгебр была обнаружена еще Виттом, сопоставившим всякой алгебре кватернионов поле функций на соответствующей конике и положившим тем самым начало развитию нового важного направления в алгебраической геометрии - теории многообразий Северн-Брауэра (в настоящее время более обще, схем Севери-Брауэра). Важность полей функций на многообразиях Северн-Брауэра заключается в том, что они являются универсальными полями разложения центральных простых алгебр, что определяет их эффективное использование, как для изучения конкретных центральных простых алгебр, так п групп Брауэра в целом. Родоначальниками этого направления исследований были Шатле, Лмицур, Рокет, Хойзер и Ковач. В последнее время Тао, Блапше, Меркурьев, Панин, Уодсворт получили ряд важных результатов по обобщению понятия многообразия Севери-Брауэра.

С появлением работы Д.К. Фаддеева' возник метод, напомипающш локально-глобальный принцип, для описания групп Брауэра полеі рациональных функций на кривых. Основные идеи метода Фаддеева таковы.

Пусть К- поле нулевой характеристики и С-гладкая геометрическі неприводимая кривая над полем К, w-нормирование поля функций криво! К(С) тривиальное на поле К. Через K(C)_W обозначим пополнение поля К(С относительно нормирования w, а через ^,-поле его вычетов. Тогд; /С„/А'-конечное расширение и пусть G и G_w - соответственно абсолютны! группы Галуа полей К и К_ц.. Хорошо известно, что существует изоморфизм

Br(K(C),) = Br(K.)z(G.),

где ^(С,,,)-группа непрерывных характеров группы G,,.. Пусть

<р„ : Br(K(C)) -> Br(.K(C)J s Br(KJ ,r(CJ -» _X(G„),

композиция гомоморфизма расширения скаляров и проекции прямой суммы и;
второе слагаемое. '

Гомоморфизмы (р„ индуцируют гомоморфизм

<р:Вг(К(С))-> Uz(G.),

где W(K(C))-множество дискретных попарно неэквивалентных пормпровашн' поля К(С), тривиальных на поле К. Следовательно, задача изучения группь Вг(К{С)) сводится в значительной степени к описанию ядра п образ; гомоморфизма (р. Кроме того, известно (см. [1]), что /ш(<р)скег(у/), где

V- Ц^(С.)->ЛГ(С)

-гомоморфизм, индуцированный коограничениями /((7,,.) -> _X(G). В случа< кривых рода нуль равенство im( = ken» дает полное описание группь Вг(К(С)). Тем не менее, уже в случае кривых рода один такое описание до си> пор отсутствует (кроме одного случая при С(К) *0 ).

¹ Фаддеев Д.К. Простые алгебры над полем алгебраических функций аш одной переменной 11 Тр. Матем. Пи-га АН СССР.- 1951.-Т. 38.-С. 321-344.

" V.Chernousov, V.GuIetskii. 2-Torsion of Hie Drauer Group of an Elliptic Curve: Generators anil Relations - Bielefeld Universilat, 2000. - 29 p. - (Preprint 00-037)

Более того, известно, что в случае кривых ненулевого рода группы іт(<р) и ker(i//), вообще говоря, не совпадают. В этой ситуации большое значение приобретает описание отклонения одной группы от другой, описываемое факторгруппой кег(і//)/іт(<р). Недавно для случая, когда А'-числовое поле, эта факторгруппа была полностью вычислена В.И. Ямчевским и В.И. Гулсцкнм³.

Таким образом, по крайней мере, для числовых полей, задача описання групп Брауэра полей функций на кривых сводится к задаче изучения ядра гомоморфизма <р, имеющей свой самостоятельный интерес (поскольку іпкр = kcrij/ в случае локальных полей, то тоже самое относится к ситуации, когда К -локальное поле).

Ядро отображения q> называется иеразветвлепной группой врауэра поля рациональных функций А(С) кривой С и обозначается через />„,.( А(О). Для гладких проективных кривых С группа Z?/-„,.(A(C)) изоморфна группе Брауэра lir(C) кривой С.

В случае алгебраических многообразий произвольной размерности иеразветвлеппые группы Брауэра представляют собой сложный и пока малоизученный обьект. С другой стороны, получение более или менее окончательных результатов для многообразий малой размерности (например, кривых) имеет многочисленные важные применения в арифметической геометрии, алгебраической К -теории, теории простых центральных алгебр, теории квадратичных форм и т.д.

Хорошо известно, что для числовых полей А существует точная последовательность

О -> Ш(J) -> Вг(С) -> @ й-(С,.),

где W(J)-группа Шафаревича-Тейта якобиана /кривой С, V{К)-множество попарно неэквивалентных нормирований поля А', C_v-кривая, полученная из С расширением поля определения до А,, где А,.-пополнение поля А относительно нормирования v. Таким образом, с точки зрения локально-глобального принципа изучению группы В/(С) должно предшествовать исследование структуры групп Вг(С_г). Таким образом, большое значение

"' Guletskii V.I., Yanchevskii V.I. Reciprocity Laws for Simple Algebras Over Fund ion Fieltis o/Xtnnhcr Curves I! Communicalions in Algebra. - 2000. - Vol. 28, №4. - P. 1657-1683.

приобретает исследование групп Брауэра полей рациональных функций кривых, определенных над полными полями.

При этом под проблемой описания группы Вг(С) понимается не только проблема ее описания как абелевой группы, а главным образом (что очень важно с точки зрения теории центральных простых алгебр) проблема нахождения всех неразветвленных алгебр с делением, представляющих элементы из группы Br(C). Но даже эта "локальная" задача далека в настоящее время от своего решения и решена окончательно лишь в случае кривых рода нуль.

Первый нетривиальный пример (в смысле рода кривой) представляют собой эллиптические кривые. Ряд важных результатов в случае эллиптических кривых бып получен для поля K = Q_f(mn [К:>,,]<<» )⁴⁵. Поскольку /1г(С)-периодическая абелева группа, то центральную роль при исследовании ее структуры играет изучение ее примарного кручения, которое оказывается конечным. Кроме того, среди подгрупп кручения можно выделить группу два-кручення ввиду ее тесной связи с теорией квадратичных форм.

Переход от случая два-кручения к случаю кручения произвольного показателя представляется (по крайней мере, в настоящее время) достаточно сложным и требует некоторых предварительных ограничений. С точки зрения типа редукции кривых (оставляя в стороне классический случай хорошей редукции) среди кривых с плохой редукцией мы выделяем класс кривых с разложимой мультипликативной редукцией. Для него в диссертационной работе будет описано т- кручение для произвольного т, взаимно простого с характеристикой поля вычетов поля К. Для случая аддитивной редукции будет описано два-примарное кручение, что совместно с предыдущими результатами приведет к окончательному решению проблемы. Для остающегося случая кривых с неразложимой мультипликативной редукцией будет рассмотрен случай два-примарного кручения.

Исследования простых центральных алгебр над полями функций в настоящее время проводятся большим числом математиков (Колье-Телен, Солтман, Тиньоль, Ван ден Берг, Ван Гил, Пумплюп, Меркурьев, Панин, Янчевский и др.). Причем одним из основных инструментов изучения является

⁴ Янчевский В.И., Марголин Г.Л. Кручение и группы Врауэра локальных эя'шппшческих кривых II Алгебра и
анализ. - 1995. - Т.7, Вып. 3. - С. 200-239.

⁵ Яіічевскпіі В.И.. Марголин Г.Л. Группы Врауэра локальных гиперхпиптичееких к]>иаых с хорошей редукцией И
Алгебра и анализ. - І995. - Т. 7, вып.б. - С. 215-236.

локалыю-глобальпын метод. Исследопапня в данной области нашли снос отражение, например, в трудах симпозиумов "A'-Tlieory and Algebraic Geometry. Connections with Quadratic Forms and Division Algebras" н Caiпа-Барбаре (см. Proceedings of Symposia in Pure Mallicmatics/ - Univcrsiiv of California, Santa Barbara, 1992, Vol.58) п "Algebraic A'-theory and its applications" в Триесте (ICTP, Trieste, Italy, 1997). Вышеизложенное позволяет утверждать, что рассматриваемая в диссертационной работе тема - изучение групп Брауэра локальных эллиптических кривых - связана с большим современным научным направлением, находящимся на стыке алгебраической геометрии, алгебраической К -теории и теории конечномерных ассоциативных алгебр.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Диссертация выполнена в рамках темы "Арифметические м геометрические свойства алгебраических многообразий, связанные с алгебраическими группами и алгебрами с делением" отдела алгебры Института математики НАНБ, входящей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур", расчитанную на 1996-2000 годы.

Цели и задачи исследопапня.

Целью работы является получение для любого простого /; представления элементов р- примарного кручения группы Брауэра &() локальных эллиптических кривых с плохой редукцией перазветвлеиными алгебрами с делением, причем характеристика поля вычетов взаимно проста с /;.

Научная попнзпл. Все результаты диссертационной работы являются новыми.

Применимость полученных результатов. Работва носит теоретическим характер. Ее результаты могут быть использованы для исследования центральных простых алгебр над полями функций кривых. Тем самым получено дальнейшее развитие локально-глобального метода для групп Брауэра полей функций кривых.

Личный вклад соискателя. Основные результаты установлены автором самостоятельно.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались па международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-лстию кафедры

алгебры Московского Государственного университета (Москва, 1999), на международной математической конференции "XXI Journees Arithmetiqucs", Vatican, July 12-16, 1999 (Rome, Italy), на международной конференции по теории групп, посвященной памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на алгебраическом семинаре математического факультета Билефельдского университета, на минском городском алгебраическом семинаре.

Опублнкованность. Результаты изложены в статьях (см. [11,12,13]), препринте ИМ НАНБ (см. [14]), а также опубликованы в двух тезисах международных математических конференций (см. [15,16]).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, двух глав и заключения. Каждая глава разбита на параграфы. Общий объем диссертации - 77 страниц. Список литературы содержит 30 наименований.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Представление циклическими алгебрами с делением элементов два-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с аддитивной редукцией над недиадическим полем.

2. Структура подгрупп р-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией.

3. Описание неразветвленных центральных простых алгебр, представляющих элементы ;;-примарного кручения групп Брауэра локальных эллиптических кривых с разложимой мультипликативной редукцией.