Критические омега-локальные формации Сафонова, Инна Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Тесная спязь теории формаций с теорией фраттипиевых расширений групп является отличительной особенностью теории формаций в сравнении с другими аналогичными теориями классов групп. Так, формация ^ называется насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, для которой факторгруппа G/L 3", где L С 0(G). Понятие насыщенной формации было введено В.Гашюцом в работе [49]. Там же им был предложен способ конструирования насыщенных формаций при помощи специальных функций, названных впоследствии формационными функциями [48] или локальными экранами (Л.А.Шеметков [40, 41, 43]). Естественным расширением понятия насыщенности является ш-насыщенность. Формация # называется ш-насыщенной или и) -локальной (Л.А.Шеметков [44]) (0 ф cj С Р), если ей принадлежит всякая группа G с G/L Є $, где Я Ow{G)f}<&(G). Если uj — {р}, то ш-насыщенные (о;-локальные) формации называют р-насыщенными (соответственно р-локальными). Перспективность изучения ш-локальных формаций обусловлена рядом причин. Во-первых, как это было впервые замечено в работе Л.А.Шеметкова [44] , если произведение 2Я5э — локальная формация, то формация Sj является р-локальной для всехр Є Р\тг(ЯЯ) (здесь тг(ЙТс) — множество всех простых делителей порядков всех групп из ЯЯ). Таким образом, изучение факторизации локальных формаций приводит к необходимости исследования р-локальных формаций для определенных простых р. Во-вторых, как установлено в работе А.Н.Скибы и Л.А.Шеметкова [36], изучение любых локальных формаций сводится к исследованию некоторой системы частично локальных формаций. Кроме того, как показывают исследования, проведенные в работах [1, 6, 8, 10, 11, 13], иі -локальные формации полезны и в прикладном аспекте теории формаций.

Отсутствие или наличие у исследуемой формации J подформаций того или иного вида, их взаимное расположение в $ является важной особенностью этой формации. Данное обстоятельство явилось одним из основных стимулов для многочислеігаьіх исследований, связанных с изучением внутреннего строения локальных формаций (см. [42, 45, 54, 43, 46, 48]). Необходимо однако отметить, что поскольку решетка подформаций у любой неединичной локальной формации бесконечна, то при исследовании ее подформаций весьма затруднительно применение индуктивных рассуждений. Этот факт привел к необходимости разработки особых методов исследования локальных формаций, связанный с понятием критической формации.

Пусть 9 — произвольная непустая совокупность формаций, f) — некоторый класс групп. Формации, принадлежащие в, называются G-формациями.

Минимальной не fy 6-формацией [42] или иначе 5эе-критической формацией [25] называется всякая такая 9-формация $ % ft, у которой все ее собственные 9-подформации содержатся в классе групп Sj. Проблема изучения Йе-критических формаций поставлена в 1980 г. Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп [42].

Развитие теории частично локальных формаций вызывает необходимость использования конструкций и методов исследования, аналогичных разработанным в теории локальных формаций, композиционных формаций и др. Одним из таких методов является метод критических формаций.

Вопросу классификации минимальных и-локальных не ij-формаций (или ^^-критических формаций) посвящены работы [5, 14J, где было получено описание минимальных w-локальвых ненильпотентных формаций и минимальных w-локальных не 5-формаций, (S) — произвольная 2-кратно локальная формация), соответственно. Эти результаты использовались В.Н.Рыжик и А.Н.Скибой при решении проблемы А.Н.Скибы и Л.А.Шеметкова [36] о факторизациях аьлокальных формаций.

Таким образом, задача изучения и классификации критических ш-локальных формаций вполне актуальна и перспективна.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках следующих госбюджетных тем Гомельского государственного университета им.Ф.Скорины:

"Структурная теория формаций и других классов алгебр" (Математические структуры 04), входящей в план важнейших научно-исследовательских работ в области естествознания, технических и общественных наук по Республике Беларусь. План утвержден решением Президиума НАН Беларуси от 23 ноября 1995 г., № 88. (Номер госрегистрации в БелИСА —19963987.) Выполнение темы запланировано на 1996-2000 гг.

"Кратно локальные и r-замкнутые классы алгебраических систем". (Номер госрегистрации в БелИСА - 19971691. (1997-98 гг.))

"Алгебра формаций"(Номер госрегистрации в БелИСА — 1999489.) Выполнение темы запланировано на 1999-2000 гг.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является построение общей теории минимальных w-локальных не ^-формаций. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

- дана полная классификация минимальных ш-локальных не й-формаций,
где $} — произвольная формация классического типа;

- показано существование ^(«-критических подформаций у любой и-
локалыюй формации 5 % -Q, где $) — формация классического типа;

- получено описание минимальных w-локальных не ^-формаций для наи-

более важных конкретных формаций классического типа jj.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются частично локальные формации, а предметом исследования — структура их подформаций.

Методология и методы проведенного исследования. Использовались методы абстрактной теории групп, методы теории формаций конечных групп.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми и могут использоваться в теоретических исследованиях.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении частично локальных формаций конечных групп, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Классификация минимальных ш-локальных не ij-формаций, где S) — формация классического типа.

3.1.4. Теорема. Пусть Sj — некоторая формация классического типа и h — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда $ является минимальной ш-локалъной не ^-формацией, когда $ ⁼ l^uioiraG, где G — такая монолитическая группа с монолитом Р — G^s, что либо 7г = 7г(Р) f] ь) = 0, либо л^- ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1. G = Р — группа простого порядка;

2. Р — неабелева группа и Р — G^h^ для любого р їх;

3. G = [Р]Н, где Р = Cq{P) — р-группа, а В — такая монолитическая группа с монолитом Q = H^h{p\ что р n(Q) и либо Ф(Я) = 1 и Н^н^ С Q для любого q k(Q), либо Н — минимальная не h(p)-группа одного из следующих типов: а) циклическая примарная группа; б) группа кватернионов порядка 8; в) неабелева группа порядка q³ простой нечетной экспоненты q.

Теорема о существовании минимальных ш-локальных не fj-формаций.

3.2.1. Теорема. Пусть 5) — формация классического типа, $ — непустая ш -локальная формация. Тогда если $ % %, то в$ имеется, по крайней мере, одна минимальная ш -локальная не 9)-подформация.

Описание минимальных ш-локальных не 55-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа Sj.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в работах без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомель-

ского государственного университета им. Ф.Скорины, на I Международной научной конференции "Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы, перспективы"(Гомель, 1998), на Второй Международной алгебраической конференции на Украине, посвященной памяти Л.А.Калужнина (Киев

- Винница, 1999).

Опубликованность результатов. Основные результаты опубликованы в трех статьях [56, 57, 58], трех препринтах [59, 60, 61] и двух тезисах [62, 63]. Общее количество страниц опубликованных материалов — 79.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав основной части, заключения и списка использованных источников в алфавитном порядке в количестве 76 наименований. Объем диссертации

— 88 страниц.