Критерии полуабелевости n-арных групп Кулаженко, Юрий Иванович

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Понятие полуабелевости является одним из центральных понятий теории n-арных групп. О важности этого понятия свидетельствует тот факт, что оно было введено Дбрнте [ 1 ] в 1928 году одновременно с понятием самой п-арной группы, хотя применялось еще Прюфером [2] в 1924 году при исследовании бесконечных абелевых групп. С тех пор полуабелевы n-арные группы не ускользали от внимания математиков, чьи труды по п-арным группам можно отнести к разряду классических. Так, эти группы изучал Пост [31, в частности, в 1940 году он обобщил понятие полуабелевой п-арной группы на случай г-полуабелевой п-арной группы. n-Арные группы нашли отражение в монографиях А.К.Сушкевича [4], А.Г.Куроша [5], В.Д.Белоусова [6], С.А.Русакова [7-8].

Особенно весомым оказалось значение полуабелевых n-арных групп для развития приложений теории n-арных групп. Так, Вакарелов [91 в 1968 году использовал полуабелевы тернарные группы для построения элементов аффинной геометрии. С.А.Русаков Г8] с помощью введенных на п-арной группе понятий параллелограмма, симметричности точек и вектора определил n-арную rs-группу и доказал ее существование, построил аффинное пространство W(G) методом фундаментальных последовательностей векторов полуабелевой re-группы G и доказал изоморфное вложение всякой абелевой 1-арной rs-групш G в абелеву n-арную группу, построенную на множестве W(G).

Поэтому весьма актуальной является задача установления сритериев существования полуабелевых n-арных групп.

Профессором С.А.Русаковым автору были предложены следующие две задачи:

1) исследовать фигуры аффинной геометрии и свойства векторов на
1-арной группе G=t_2]>;

2) .на основании свойств заданных геометрических фигур
^становить критерии существования полуабелевых n-арных групп.

Решению этих задач и посвящена настоящая диссертация.

Связь с крупными научными программами, темами. Диссертация иполнена в рамках госбюджетных тем:

Гомельского госуниверситета имени Ф.Скорины "Структурная теория юрмаций и других классов алгебр". Тема входит в план

важнейших научно-исследовательских работ в области естествознания, технических и общественных наук по Республике Беларусь. План утвержден решением Президиума НАН Беларуси N88 от 23 ноября 1995 г. Номер госрегистрации в БелИСА - 19963987. Выполнение темы запланировано на 1996 - 2000 гг.;

Белорусского госуниверситета транспорта "Развитие теории n-арных групп и применение ее в аффинной геометрии и полиадических автоматах". Утверждена решением научно-технического совета университета от 28 февраля 1997 г. Номер госрегистрации в БелИСА - 19971499.

Цель и задачи исследования. Основная цель диссертации установить критерии существования полуабелевых n-арных групп, выраженные через свойства объектов аффинной геометрии. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

установлены критерии полуабелевости как произвольной п-арной группы, так и n-арной 2s-rpynnbi, выраженные через свойства параллелограммов, симметричных точек и векторов п-арных групп;

получен аналог теоремы Фалеса для полуабелевой п-арной группы.

Объект и предмет исследования. Основным объектом исследования диссертации являются n-арные группы, а предметом - полуабелевы n-арные группы. На основании свойств объектов аффинной геометрии, определенных на п-арной группе G = <Х, (), ^[~ ² -¹ >, устанавливаются необходимые и достаточные условия полуабелевости п-арной группы G, выраженные через эти свойства.

Методология и методы проведенного исследования. На основании методов теории n-арных групп устанавливаются свойства объектов аффинной геометрии, которые в дальнейшем используются для установления критериев полуабелевости n-арных групп.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты - новые. Впервые получены необходимые и достаточные условия существования полуабелевых n-арных групп, выраженные через свойства объектов аффинной геометрии. Отдельные из результатов обобщают и усиливают результаты Вакарелова, относящиеся только к тернарным группам.

Научная значимость результатов диссертации определяется тем, что они являются составной частью нового направления исследований теории n-арных групп и устанавливают связь между свойством

з полуабелевости n-арных груші и свойствами объектов аффинной геометрии.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты нашли применение в изучении геометрии (см., например, [8]). Они могут способствовать развитию общей теории n-арных групп и быть использованы при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Методами теории n-арных групп описаны объекты аффинной геометрии, необходимые для установления критериев пояуабелевости n-арных групп.

2. Установлены критерии полуабелевости произвольной п-арной грушш, выраженные через свойства параллелограммов и симметричных точек, определенных на этих группах.

3. Установлены критерии полуабелевости n-арной 2s-rpynmj, выраженные через свойства векторов, определенных на этих группах.

4. Развиты методы исследования объектов аффинной геометрии, определенных на n-арных группах. В частности, получен аналог теоремы Фалеса для n-арной грушш.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей математики Белорусского государственного университета транспорта, на VI и VII конференциях математиков Беларуси (Гродно, 1992 г. и Минск, 1996 г.), Международной конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Минск, 1993 г.), Международной 51-ой научно-технической конференции, посвященной 75-летию БГПА (Минск, 1995 г.), Международной конференции, посвященной памяти С.А.Чунихина (Гомель, 1995 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти профессора Л.М.Глускина (Славянск, 1997 г.).

Опубликованность результатов диссертации._ Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и в семи тезисах конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов -77.

Структура и объем диссертации. диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка используемых источников из 55 наименований. Полный объем диссертации 118 страниц.

4.