Короткие кубические тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса Замонов Бехруз Маликасрорович

Содержание к диссертации

Введение

1 Короткие кубические двойные тригонометрические суммы с «длинным» сплошным суммированием 17

1.1. Постановка задачи и формулировка результатов 17

1.2. Вспомогательные леммы 20

1.3. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием 21

2 Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, имеющие близкие по порядку суммы 38

2.1. Постановка задачи и формулировка результатов 38

2.2. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах, имеющих близкие по порядку суммы 40

3 Короткая кубическая сумма с функцией Мёбиуса 49

3.1. Формулировка результатов и вспомогательная лемма 49

3.2. Короткая кубическая тригонометрическая сумма с функцией

Заключение 65

Литература 67

• Вспомогательные леммы
• Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием
• Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах, имеющих близкие по порядку суммы
• Короткая кубическая тригонометрическая сумма с функцией

Вспомогательные леммы

Тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида Sk(ct,x) = У ц(п)е(ап ), п х при к = 1 впервые рассматривал Г. Дэвенпорт. В 1937 году [9], воспользовавшись методом оценок тригонометрической сумм с простыми числами И. М. Виноградова, он доказал, что для всякого фиксированного В 0 имеет место оценка \S\(a, х)\ С xL , где постоянная под знаком С зависит только от В. Такую же оценку при к 2, к - фиксированное целое число, получил Хуа Ло-кен [10]. Эти безусловные результаты Г. Дэвенпорта и Хуа Ло-кена до сих пор остаются самыми точными. Наилучший условный результат в случае к = 1 принадлежит Бейкеру и Харману [12]. Они в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана (РГР) доказали, что \Si(a}х)\ С х1+, где постоянная под знаком С зависит только от є. Эту оценку для к 2, к - фиксированное целое число обобщили Т. Жан и Дж. Лю [13]. Т. Жан [14] рассматривая короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса Si (а; ж, у) при у хЛ+ получил нетривиальную оценку \S\(ci; х,у)\ С УL + Затем он [15] получил эту оценку уже при у xJ Первую безусловную нетривиальную оценку короткой квадратичной тригонометрической сумму с функцией Мёбиуса S2(ot;x)y) получили Т. Жан и Дж. Лю [16]. При у жїб+є они доказали

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана (РГР) Г. С. Лу и Х. Х. Лао [17] доказали эту оценку при у х%+. Кумчев А.В. [18] получил нетривиальную оценку суммы Sk{ot ,x,y) в малых дугах тп(Р) при У хв+є, в = 1- , г = —. 2к + З Р Отсюда, в частности для коротких кубических тригонометрических сумм с функцией Мёбиуса, 5з(а:;ж,г/) следует нетривиальная оценка при у х +} т = Х Р \ Основным результатом третей главы является доказательство теоремы 3.1 о нетривиальной оценке суммы Sz(a;x,y) в малых дугах m( f i2 B+l9

Теорема 3.1 доказывается методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова, используя результаты предыдущих глав, а именно теорему 1.1 об оценке короткой кубической двойной тригонометрической суммы Js(a] х,у, М, N) с «длинным» сплошным суммированием для а, принадлежащих малым дугам; теорему 2.1 об оценке короткой кубической двойной тригонометрической суммы Js(a] х,у, М, N), имеющей близкие по порядку суммы, для а принадлежащие малым дугам.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.Н.Чубарикову за научное руководство, за постоянное внимание и помощь в работе. Глава 1

Короткие кубические двойные тригонометрические суммы с «длинным» сплошным суммированием

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое число а из промежутка [—зз, 1 — зз], ззт = 1 представимо в виде а I л I 1 а = —Ь А, (а,(л = 1, 1 q т, А —. q qr Через дЛ(Р) обозначим те числа а, для которых q Р, через тп(Р) обозначим оставшиеся а. %Я(Р) и тп(Р) соответственно называются большими и малыми дугами. И.М.Виноградов [1] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида fk(ot;x,y) = У А(п)е(ап ), х—у п х при к = 1, он доказал нетривиальную оценку в малых дугах m(exp(c(ln In ж)2)) при г = ж з и у Xі 3+є. Т. Жан [14], рассматривая короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида Sk(ct;x,y) = У ц(п)е(ап ), х—у п х при к = 1 и у хЛ+ получил нетривиальную оценку \Sk(a] х,у)\ С Jz . (1.1.1) Затем он получил эту оценку уже при у х»+ [15]. Первую безусловную нетривиальную оценку вида (3.1.1) при к = 2 и у х + получили Т. Жан и Дж. Лю [16]. Кумчев А.В. [18] получил нетривиальную оценку суммы Sk{ot ,x,y) в малых дугах т(Р) при у х0+ ,6 = 1 — тггг и г = х1+20Р 1. Отсюда, в частности, для Ss(a]X,y) следует нетривиальная оценка при У х +, Г = X 9 Р .

Все вышеуказанные нетривиальные оценки сумм Sk{ot ,x,y) как и сумм fi(a;x,y) в малых дугах, получены метод оценок сумм с простыми числами И. М. Виноградова, основу которого наряду с «решетом Виноградова», составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида Jk(ct;x,y, M,N) = N а(т) Ь(п)е(а(тп) ), М т 2М u n 2N х—у тпКх где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, N U 27V, х хо, у - вещественные числа. Сумму Jk(a:x,y,M,N) при b(n) = lиN xl3,B мы назовём ко-роткой двойной тригонометрической суммой с «длинным» сплошным суммированием.

Суммы J\{a; ж, у, М, 7V) с «длинным» сплошным суммированием последовательно были изучены в работах И. М. Виноградова [1], Хейзелгроува [19], В. Статулявычуса [20], Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо [21], Т. Жана [22] при получении нетривиальных оценок коротких сумм fi(a]X,y) и Si(a;x,y).

Сумму J2{ot i ж, у, М, N) с «длинным» сплошным суммированием изучили Jianya Liu и Zhan Tao [23] и получили нетривиальную оценку сумм (ск; ж, у) и j2{a;x,y) при у х 1ь Основным результатом первой главы является вывод нетривиальной оценки короткой двойной тригонометрической суммы Ja(a; ж, у, М, 7V) с «длинным» сплошным суммированием в малых дугах m(Jz +791) при С/ —8А—791 т"?/—3 С 2А+198 дг 9—2А—8 Теорема 1.1. Пусть в сумме J?,{a] х,у, М, 7V) выполняются условия \0"т\ т 4(т), Ьп = 1, л/х у xJ l. Тогда при с/?8А+791 п . 3 о?—8А—791 т"?/—3 С 2А+198 AT Ґ п С/У—2А—8 где А — абсолютная постоянная, справедлива оценка у \Jz(a\x,y,M,N)\ С &А Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работ [23, 24, 25, 26].

Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием

Как мы уже отметили в начале первой главы, все нетривиальные оценки сумм fi(a]X,y) и Si(a;x,y) в малых дугах получены методом оценок сумм с простыми числами И. М. Виноградова, основу которого, наряду с «решетом Виноградова», составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида Jk(ct;x,y, M,N) = У а(т) Ь(п)е(а(тп) ), М т 2М u n 2N х—у тпКх где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, N U 27V, х хо, у - вещественные числа.

В первой главе для суммы Js(a] ж, у, М, N) была получена нетривиальная оценка в случае, если она является двойной тригонометрической суммой с «длинным» сплошным суммированием. При сведении суммы 5з(а; ж, у) к двойным суммам J ot] ж, у, М, 7V), кроме двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием, возникает также задача получения нетривиальной оценки двойных сумм Js(a] ж, у, М, N), в которых суммы, составляющие двойную сумму, «близки» по порядку, то есть ху 1 N у. Такие суммы назовём короткими кубическими двойными тригонометрическими суммами, имеющие близкие по порядку суммы.

Суммы J\{a; ж, у, М, N), имеющие близкие по порядку суммы, также были изучены в работах И. М. Виноградова [1], Хейзелгроува [19], В. Статулявы-чуса [20], Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо [21], Т. Жана [22] при получения нетривиальных оценок коротких сумм fi(a;x,y) и Si(a;x,y).

Суммы J2{ot i ж, у, М, N), имеющие близкие по порядку суммы, изучили Jianya Liu и Zhan Tao [23] и получили нетривиальную оценку сумм (ск; ж, у) и /2(0;; ж, у) при у х в+.

Основным результатом второй главы является доказательство теоремы 2.1 об оценке короткой двойной тригонометрической суммы Js(a] ж, у, М, N), имеющей близкие по порядку суммы.

Теорема 2.1. Пусть ху 1 N у, М N, у xJ l, \ат\ T$-k(m), \bn\ _ T k(n), А: =1,2,3,4. Тогда справедлива оценка \Js(a]x,y, M, 7V) C J2A xJ2b NAJ AY2,2_Ah уА У 1 —I л - ZiK+1 если 0, 5q —/ q yN уА xN (x q f x J N \ E 1 о ЛТО " Л yb yzNz у4 xq f x J N f32,2 _,,,-, у E 1—о лто " - "t 1 если 0, 5q — yb yzNz y4 xN Доказательство теоремы 2.1 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работ [23, 24]. Из этой теоремы вытекает нетривиальная оценка суммы Js(a] ж, у, М, N), имеющей близкие по порядку суммы в малых дугах т 32(Л+13)), А _ аб солютная постоянная, при У (v?—32(A-\-13) _ г 32(А+13) дг / 9—8(А+13) Ж2 2/ Следствие 2.1.1. Пусть М N, у xJ l, \ат\ r -kijn), \bn\ T k(n), &= 1,2,3, тогда при о?32(А+13) У с/ —32(А+13) _ о?32(А+13) AT ? и С —8( 4+13) Ж2 2/ г е Л — абсолютная постоянная, справедлива оценка \Jz(a;x,y, М, N)\ С У- 2.2 . Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах, имеющих близкие по порядку суммы В этом параграфе для удобства короткую кубическую двойную тригонометрическую сумму Js(a] х,у, М, N), имеющие близкие по порядку суммы, обозначим через J% то есть J3 = У а(т) У Ь(п)е(а(тп) ). М т 2М u n 2N х—у тпКх Теорема 2.1. Пусть ху 1 N у, М N, у х 1, \ат\ r -kijn), \bn\ _ T k(n), А: =1,2,3,4. Тогда справедлива оценка J31 С

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что MN х х и N л/х. Возводя сумму J% в квадрат, применяя неравенство Коши и лемму 1.2, получим \J%\ С У \ат\ У е[а[тп] С М т 2М М т 2М N n 2N х—у тп х С у М т 2М П-кКЩ У У Ь{п\)Ь{п2)е{(іт (п2 — щ)) С М т 2М N n 2N х—у тпі,тп2 х MJz 5" 2-1 Yl b(ni)b(n2)e(am3(nl - n?)). M m 2M N n1,n2 2N x—y mni,mn2 x Разбивая двойную сумму по п\ и п2 на три части, для которых соответственно выполняются условия п\ П2, п\ = П2, Пі П2, и воспользовавшись соотношением

Разбивая двойную сумму по rri\ и ЇЇІ2 на три части, для которых соответственно выполняются условия 777,1 2, " 1 = 2, " 1 2, и воспользо вавшись соотношением г м k N N n 2N-r M m 2M-k r jfc k jr x-y t x m --k n — n-\-r а также имея в виду, что модули сумм соответственно с условиями 777i ТП2 и mi ТП2 равны, получим 2 у / 2/= \ (у N\ у NJ\ М32 С 77 Кзз Н С J33 Н 5 (2.2.3) М \ х \ х х1 J33 =/ / / / е(3«А;г(7772 — 777i)(A; + 7772 + 777і)(377Г + 377 + У2 (\ Vі \У1 \ ybNJ — J33 Н С J33 Н тг М ж х х1 r fjk jjN n 2N-r M mi m2 2M-k mi m2 /г n L — n+r Положим h = 7772 — тпі и mi = 777, тогда Ws принимает вид J33 = / / / / e(3akhr(2m + к + h)(3nr + Зп +r )). r jL k jL N n 2N-r M m m+h 2M-k — m m+h + к n — n+r n-\-r Из условия x-y m m + h x - k находим X X X — у X x — у у у h т — к к 1 = 1 —. п + г п + г и п п п N Поэтому J33 = / / / / / e(3akhr(2m + к + h)(3nr + Зи +г)). г м k N h N M m 2M-k-h N n 2N-r Возводя IJ33I в квадрат, четырежды применяя неравенство Коши, имеем J33 тто / / / / / e(9akhr(ri2 — п\){2т + к+ г м k N h N M m 2M-k-h N nun2 2N-r x—y —f nXln2 j 1 +h){r + П2 + Hi)).

Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах, имеющих близкие по порядку суммы

Оценим сумму 5зз(ск; х,у). Разобьём в 5зз(о:;ж,г/) области изменения каждого ті, ГЇІ2, гпз, тії и 2 на не более «5f интервалов вида Mj rrij 2Mj, Nj rij 2Nj. Получим не более C Jz 5 сумм вида 5зз(а;ж, у, М, 7V) = = У {тп\) У м( 2) / Мтз) / / е{а т\ т ігпі п\П і) ). Мі ті 2МіМ2 т2 2М2Мз тз 2Мз Wi ni 2Wi N2 n2 N2 ж—у тіт2тзпіп2 ж Не ограничивая общности, будем считать, что выполняются условия 1_ Г х3 М\ М2 М3, N\ N2, 2 х M\M2M N\N2 х. (3.2.5) Рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра Ni: 1. N1 x -2B-m; 2. ху-- 1Вуш Щ x -2B-m; 3. xy-l 2{-B+l Ni xy-- 2B+2m; 4. N\ xy l f:i2 B+l8 , N1N2 xy l f:i2 B+l8 ; 5. N1N2 rry-1 Jz 32(B+18). Для рассмотрения случаев 1, 2 и 3 сумму 5зз(о:; ж, у, М, 7V) несколько преобразуем. Для этого, введя обозначения &га = / Mml) / М(т2) / Мтз) / 1, &га Т4(т), Mi mi 2Mi M2 m2 2M2 М3 т3 2М3 N2 ni 2N2 разбивая интервал суммирования М\М іМ і т 2 М\М іМ 2 на интервалы вида М т 2М, получим не более четырёх сумм вида Jz(a;x,y,M,Ni) = / ат / е(а(тп) ). М т 2М Ui n 2Ni х—у тп х

Случай 1. N\ x f 2B 18. В этом случае сумма по щ - очень длинная, и её оценим как короткую кубическую сумму Г. Вейля, представляя в виде J%(a] х, у, М, N\) = у ат е(а(тп) ), М т 2М xi-yi n xi ( X \ ( X \ ( х у \ Х\ = min ( —, 2N\ 1 , у\ = min I —, 2N\ 1 — max I , U\ 1 M m min (W, -) Jz 2B+18. У m (3.2.6) Дважды применяя неравенство Коши и лемму 1.2, получим 2_] e(a(mn) x\—y\ n x\ \Jz(a,;x,y,M,Ni)\ e[a[mn x\—y\ n x\ \ 2 / aTO І у M m 2M \M m 2M ( V C M У r4 (m) У M m 2M M m 2M c c c M in M у M m 2M 2_] e(a(mn) x\—y\ n x\ (3.2.7) Воспользовавшись методом Г. Вейля, затем суммируя по /г, найдём 2_] е(а(тп) Х1—у1 П Х1 %I Е 0 к у10 1 у1-к 2_] e(6amklh) 0 h y1-k-l + 24 +2( /1 + 1) С Подставляя это неравенство в (3.2.7) и воспользовавшись условием (3.2.6), найдём с С У_ т У м Е Е (л и У (л ] Ґ У — т — т Е Е г\ Ь, _У (\ ] Ґ У — м — м 2_] e(6amklh) 0 h y1-k-l 1 \ mm У М ЦбсотШЦ + У У тг т1 2/3 М у$ М \\6amkl\\ М6 Ja(a; ж,у, М, 7Vi) С У v У М In м у I Т / / mm J І J J М —м М т 2М У 1 + у MJ т?Лп) mm М an С уМ Jzf N М п 12у2М-1 Применяя неравенство Коши, затем лемму 1.2, найдём — , т: Г7 + у М J С М \\ап\\ У 1 Ъ\Щ \Jz(a,;x,y,M,N)\ yMJ у л .. 2-— — М ап п у2М-1 п у2М-1 У і + 1/Af if" . yMJ у min ,.-,, i %»2 Д/f- 1 Для оценки последней суммы по п, рассмотрим отдельно случаи: г. Jz 8В+50 0.5д у2М 1; гг. у2М 1 0.5д y3Jz 12В87 г. Разбивая интервал изменения п на С y2(Mq) 1 интервалов вида 9 — h g + q ,q q, применяя утверждение а) леммы 1.3, затем воспользовавшись условием М J 2B+18 , найдём о 5 о 10 у2 у— ( у 1 \ 6 о о Лз(а; х,у,М, Ni)\ i у М Jz — min —, + у М Jz С у t=ff II II у7М 10/у п \ 6л/г22 У8 10 7, С ( — + qmq) + у М Jc С Ь у М „2? С q М g (С\\) ct?2B-\-29 С q У с Ю cv?2B-\-29\ „.8 П 11 О?8В+40 гг. Применяя утверждение б) леммы 1.3, затем воспользовавшись условием М jzf2B+18 , найдём \J (a]x,y, М, Ni)\ С у М у + у М С z-- \\ап\\ п 0,5 / " " С у5М Jzf qlnq + у М Jzf С y5qJz? + + у J?? + = о fq AB+A1 Jz 4B+38\ у8 Случай 2. жу 4 2В+208 TVi ж 2В 18. В этом случае J3(a; х, у, М, N) является короткой двойной кубической тригонометрической суммой c ”длинной” сплошной суммой. Поэтому для оценки Js(a] ж, у, М, N) применяем теорему 1.1, полагая А = В + 5, и при В 11 из выполнения условия этой теоремы г 8В+831 3 с/?—8В—82 1 следует условия, доказуемой теоремы то есть неравенство о?32(В+18) 5—2 с/)—32(В+18) Таким образом все условия теоремы 1.1 выполняются, поэтому у иМск; х,у, М, Л і) С „ г. I «J v 7 ; t/ ; ; J- / і (f B-\-b Случай 3. rry 1Jz 32(B+18) Ni xy 2B+208. Применяя для оценки суммы Js(a] ж, у, М, Ni) следствие 2.1.1, полагая А = +5, также воспользовавшись эквивалентностью следующих двух неравенств " т 5 С 8В+281.6 rpn,—J О?2В+208 —8(5+18) имеем 2/ \Jz{a;x,y,M,N\)\ С С В+5 Случай 4. TVi жу 1 32 в+18), N1N2 xy l f i2 B+l8 . Сумму Тз(М, TV) преобразуем, для этого, вводя обозначения йто = У (J (rrii) У ц{т2) У Мтз), з.то тз(/і), Mi mi 2Mi M2 m2 2M2 M3 m3 2M3 тіГО2ГОз=го 6n = 1, &n т(п), NiKrii Ni N2 n2 2N2 П\П2=П и разбивая интервалы суммирования М1М2М3 m 8М1М2М3 и А А п AN1N2 соответственно на интервалы вида М m 2М и N п 27V, получим не более шести сумм вида Jz(a;x,y,M,N) = am bne(a(mn) ), M m 2M N n 2N x—yKmnKx Из соотношения (3.2.5) и условия рассматриваемого случая найдём жу «5f + N1N2 iV, ( 2 /1 гк л 9 г/?7 }( R-l-18") " і/ С —8(-В+18) . г —8(В+18) (ТЕ 8В+282 A3 Отсюда и из условия рассматриваемого случая следует, что при А = В + 5 все условия следствия 2.1.1, в том числе о?32(А+18) У с/ —32(А+18) X2 Ж2/-1 32(В+18)А = у -8(В+18) . _j 72(B+18) выполняются. Поэтому согласно утверждению этого следствия, имеем J%(a] х,у, М, N)\ С у- лучай 5. N1N2 xy l f:i2 B+l8 . В сумме T%(M,N), вводя обозначение &т У fi(ni2) У м(тз) / / 1, з.то Т4(т), М2 т2 2М2 М3 т3 2М3 Ni ni 2Ni N2 n2 2N2 т2т3п\п2=т разбивая интервал суммирования MzM NiNz т IQMZM NINZ на интервалы вида М т 2М, а также обозначая Mi через N, получим на не более четырёх сумм вида Jz(a;x,y,M,N) = ат ц(п)е(а(тп) ), М т 2М N n 2N х—у тпКх Из соотношения (3.2.5) и условия рассматриваемого случая найдём і f M\M2M N\N2\ 3 N = М\ (М1М2М3)3 = N1N2 с — 5 4 2 5ж3 _i Ж2/-1 32(В+18) rgy -1 j32(B+18) r i8(S--i8) 2 Ж V 1 32Ш+18) 2 5 = жу_1 32(в+18) жу_1 32(в+18). л 4 С 32(В+18) Отсюда с учётом соотношения N = М\ хЛ y f-8(B+18) и из условия рассматриваемого случая следует, что при А = В + 5 все условия следствия 2.1.1, в том числе о?32(А+18) У с/ —32(А+18) X2 выполняются, поэтому согласно утверждению этого следствия, имеем J%(a] х,у, М, N)\ С у- 5 Отсюда и из всех оценок, полученных в предыдущих случаях, найдём 15 33(а; х,у, М, N)\ С y- 5, \Sa(a;x,y)\ С У

Из полученных оценок Swi& i %, у) и 5зз(о:; ж,г/) с учётом неравенства (3.2.1) получим утверждение теоремы. Заключение Основные результаты диссертации являются новыми, они обоснованы подробными доказательствами и заключаются в следующем: получена нетривиальная оценка короткой кубической двойной тригонометрической суммы J%(a;x,y, М, N) = \ а(т) Ь(п)е(а(тп) ), М т 2М u n 2N х—у тпКх где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N -натуральные, N U 27V, х хо, у - вещественные числа, с «длинным» сплошным суммированием в малых дугах т( 8А+791), А -абсолютная постоянная, при с/?—8А—791 грп,— 4 с/?2А-\-\$& т\г с —2А—8. доказана теорема об оценке короткой двойной тригонометрической сум мы Js(a] х,у, М, N), имеющей близкие по порядку суммы, следствием которой является её нетривиальная оценка в малых дугах m( f i2 +и ), при У с/ —32(А+13) _ о?32(А+13) AT ґ її —8(-А+13). Xі 2/ _ _ найдена нетривиальная оценка короткой кубической тригонометриче ской суммы 5з(а:;ж,г/) в малых дугах т 32(в+і9) в \\ — абсолютная постоянная, при

Короткая кубическая тригонометрическая сумма с функцией

Как мы уже отметили в начале первой главы, все нетривиальные оценки сумм fi(a]X,y) и Si(a;x,y) в малых дугах получены методом оценок сумм с простыми числами И. М. Виноградова, основу которого, наряду с «решетом Виноградова», составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида Jk(ct;x,y, M,N) = У а(т) Ь(п)е(а(тп) ), М т 2М u n 2N х—у тпКх где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, N U 27V, х хо, у - вещественные числа.

В первой главе для суммы Js(a] ж, у, М, N) была получена нетривиальная оценка в случае, если она является двойной тригонометрической суммой с «длинным» сплошным суммированием. При сведении суммы 5з(а; ж, у) к двойным суммам J ot] ж, у, М, 7V), кроме двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием, возникает также задача получения нетривиальной оценки двойных сумм Js(a] ж, у, М, N), в которых суммы, составляющие двойную сумму, «близки» по порядку, то есть ху 1 N у. Такие суммы назовём короткими кубическими двойными тригонометрическими суммами, имеющие близкие по порядку суммы.

Суммы J\{a; ж, у, М, N), имеющие близкие по порядку суммы, также были изучены в работах И. М. Виноградова [1], Хейзелгроува [19], В. Статулявы-чуса [20], Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо [21], Т. Жана [22] при получения нетривиальных оценок коротких сумм fi(a;x,y) и Si(a;x,y).

Суммы J2{ot i ж, у, М, N), имеющие близкие по порядку суммы, изучили Jianya Liu и Zhan Tao [23] и получили нетривиальную оценку сумм (ск; ж, у) и /2(0;; ж, у) при у х в+.

Основным результатом второй главы является доказательство теоремы 2.1 об оценке короткой двойной тригонометрической суммы Js(a] ж, у, М, N), имеющей близкие по порядку суммы.

Теорема 2.1. Пусть ху 1 N у, М N, у xJ l, \ат\ T$-k(m), \bn\ _ T k(n), А: =1,2,3,4. Тогда справедлива оценка \Js(a]x,y, M, 7V) C J2A xJ2b NAJ AY2,2_Ah уА У 1 —I л - ZiK+1 если 0, 5q —/ q yN уА xN (x q f x J N \ E 1 о ЛТО " Л yb yzNz у4 xq f x J N f32,2 _,,,-, у E 1—о лто " - "t 1 если 0, 5q — yb yzNz y4 xN Доказательство теоремы 2.1 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работ [23, 24].

Из этой теоремы вытекает нетривиальная оценка суммы Js(a] ж, у, М, N), имеющей близкие по порядку суммы в малых дугах

Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах, имеющих близкие по порядку суммы В этом параграфе для удобства короткую кубическую двойную тригонометрическую сумму Js(a] х,у, М, N), имеющие близкие по порядку суммы, обозначим через J% то есть J3 = У а(т) У Ь(п)е(а(тп) ). М т 2М u n 2N х—у тпКх Теорема 2.1. Пусть ху 1 N у, М N, у х 1, \ат\ r -kijn), \bn\ _ T k(n), А: =1,2,3,4. Тогда справедлива оценка J31 С У % q + х 25 NA Л yN уА 32 &к Ак+12 если 0, 5q У xN ; x2qJ2b x2J2 NAJ уЪ y2N2 уА к2- кЛ-у2,если М 2/4 xN Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что MN х х и N л/х. Возводя сумму J% в квадрат, применяя неравенство Коши и лемму 1.2, получим

Разбивая двойную сумму по п\ и п2 на три части, для которых соответственно выполняются условия п\ П2, п\ = П2, Пі П2, и воспользовавшись соотношением r+1( ) (fc+2), -т О ю ҐО T tl + ГП П / 1І І x—y t x М т 2М N n 2N х—у тп х x—y t x mn=t M m 2M N n 2N а также имея в виду, что модули сумм соответственно с условиями П\ ГІ2 и п\ ri2 равны, получим J32 MJZ 5- -1 ТкЫ) Yl n N ni 2N 0 n2-n1 2N-n1 e(am3(nl-nl)) M m 2M х—у тпі,тп2 х + +yMJ 2к2-8к+24 Положим r = ri2 — n\ и n\ = n, тогда правая часть последнего неравенства принимает вид У e(am ((n + r) — n )) 771 771 771 771 М Возводя J:n в квадрат, дважды применяя неравенство Коши и воспользовавшись леммой 1.2, имеем

Разбивая двойную сумму по пі\ и ЇЇІ2 на три части, для которых соответственно выполняются условия 777,1 2, ТПі = 7772, " 1 2, и воспользо вавшись соотношением Разбивая двойную сумму по rri\ и ЇЇІ2 на три части, для которых соответственно выполняются условия 777,1 2, " 1 = 2, " 1 2, и воспользо вавшись соотношением