Содержание к диссертации
1 Введение 4
1 Reductio ad absurdum 20
2 Минимальная логика. Синтаксис и семантика. 21
3 Логика классической опровержимости
3.1 Свойство максимальности логики Le 39
3.2 Изоморфы логики Le 43
4 Класс расширений минимальной логики 50
4.1 Расширения логики Le 50
4.1.1 Интуиционистские и негативные напарники расширений логики Le 56
4.2 Интуиционистские и негативные напарники расширений минимальной логики 59
4.2.1 Негативные напарники как логики противоречий 65
4.3 Три размерности класса Par 66
5 Адекватная алгебраическая семантика для расширений минимальной логики 70
5.1 Логика Гливенко 70
5.2 Представление j -алгебр 73
5.3 Логики Сегерберга и их семантика 77
5.4 Семантика Крипке для паранепротиворечивых расширений логики Lj 98
6 Негативно эквивалентные логики 102
6.1 Определения и простейшие свойства 102
6.2 Логики, негативно эквивалентные промежуточным 106
6.3 Классы негативной эквивалентности 109
6.4 Структура Jhn+ с точностью до негативной эквивалентности 114
7 Абсурдность как унарный оператор 126
7.1 Введение 126
7.2 Le и модальная логика Лукасевича 130
7.3 Парадокс минимальной логики и обобщенная абсурдность 136
7.4 А- и С-представления 1
7.4.1 Определения и первые результаты 143
7.4.2 Логика CLuN 151
7.4.3 Логика Сета Р1 156
II Сильное отрицание 162
8 Различные виды семантики для паранепротиворечивой логики Нельсона 163
8.1 Логики N4 и N41 и их простейшие свойства 165
8.2 Семантика Фиделя 169
8.3 Твист-структуры 174
8.3.1 Вложение логики N3 в N4 178
8.4 N4-PemeTKH 182
8.5 Многообразие N4-pemeTOK 185
8.6 Логика N41 и N41 -решетки 194
9 N4x-PemeTKH 198
9.1 Структура N41-pemeTOK 201
9.2 Гомоморфизмы и подпрямо неразложимые N41-peineTKH 209
10 Класс расширений логики N41 222
10.1 Ш41 и lnt+ 222
10.2 Структура решетки 8N41 233
10.3 Избыточные и нормальные напарники 244
10.4 Структура решеток Ш4Сит4хС 251
10.5 Теоремы переноса для класса К41-расширений 265
Введение к работе
Как следует непосредственно из названия, проблематика данной работы сочетает концепции паранепротиворечивости и конструктивной логики. Поэтому в самом начале мы скажем несколько слов о двух упомянутых концепциях. Паранепротиворечивые логики — это такие логики, которые допускают противоречивые, но нетривиальные теории, т.е. логики, позволяющие осуществлять нетривиальные выводы из противоречивого множества гипотез. Логики, в которых все противоречивые теории тривиальны, будут называться избыточными (столь вольным способом мы переведем уже устоявшийся английский термин explosive, ввиду того, что дословный перевод, "взрывающийся", обладает степенью экспрессии чрезмерной для научного текста). Отмеченное свойство паранепротиво-речивых логик позволяет использовать их в разнообразных ситуациях, когда приходится иметь дело с феноменами, имеющими отношение, в той или иной степени, к логическому понятию противоречивости. К числу таких ситуаций мы можем отнести следующие: накопление информации в компьютерных базах данных; различные научные теории; законы и иные юридические документы; описание фантастических (и иных несуществующих) объектов; описание контрафактических ситуаций и т.д. Для первого знакомства с проблематикой паранепротиворечивости можно порекомендовать обзор Г. Приста [65], появившийся во втором издании Handbook of Philosophical logic. Изучение феномена паранепротиворечи-вости может быть основано на различных философских предпосылках (см., например, [66]). Мы отметим лишь один фундаментальный аспект исследований в области паранепротиворечивости, прекрасно выраженный Д. Нельсоном. В работе [60, с.209] Д. Нельсон отмечает: "Как в классической, так и в интуиционистской логике все противоречия эквивалентны. Это делает в принципе невозможным рассмотрение подобных сущностей в математике. Мне не ясно, действительно ли необходима столь радикальная позиция в отношении противоречия." Отвергая принцип "противоречие влечет все что угодно" (ex contraditione quodlibet), па-ранепротиворечивая логика позволяет изучать феномен противоречия сам по себе. Именно этот формально логический аспект паранепротиворечивости будет в центре внимания представленного исследования.
Обратимся теперь к конструктивной логике. Довольно часто конструктивная логика отождествляется с формализацией интуиционистской логики, предложенной А. Гейтингом [40]. Однако смысл этого понятия значительно шире. Конструктивная логика — это логика конструктивной математики, логика, ориентированная на работу с универсумом конструктивных математических объектов. Общим для различных вариантов конструктивной математики является отказ от использования концепции актуальной бесконечности и признание существования только таких объектов, которые построены на основе концепции потенциальной осуществимости. Различные способы понимания последней концепции дают начало различным направлениям конструктивной математики (см., например, [2]) и, соответственно, различным вариантам конструктивной логики. В любом случае, переход от классической логики к конструктивной сопровождается изменением смысла логических связок. Например, А.А. Марков [5] следующим образом определяет конструктивную дизъюнкцию: "Конструктивному пониманию существования математического объекта соответствует конструктивное понимание дизъюнкций — предложений вида "Р или Q". Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из предложений Р, Q установлено как верное." Разумеется, данное понимание дизъюнкции не позволяет признать закон исключенного третьего и приводит к отказу от классической логики. В рамках конструктивной логики сформировались две важнейшие концепции отрицания, которые и рассматриваются в данной диссертации. При этом стоит оговорится, что наши исследования носят классический, а не конструктивный характер.
Каким же образом понимается отрицание в контексте конструктивной логики? Есть два основных подхода. Во-первых, начиная с работ Л.Э.Я. Брауера отрицание утверждения Р, -iP, понимается как сокращение утверждения "предположение Р ведет к противоречию". Заметим, что такое понимание отрицания хорошо согласуется с концепцией па-ранепротиворечивости, так как оно вовсе не предполагает принципа ех contradictione quodlibet, влекущего за собой тривиализацию противоречивых теорий. Первый вариант формализации интуиционистской логики, предложенный А.Н. Колмогоровым [1] еще в 1925 году, был паранепро-тиворечивым. В этой работе Колмогоров резонно замечает, что принцип ex contradictione quodlibet (в форме - р — (р — q)) появился только в формальном представлении классической логики и не используется в обычной математической практике. Тем не менее, А. Гейтинг был уверен, что использование ex contradictione quodlibet допустимо в интуиционистских рассуждениях, и добавил аксиому -ip — (р — q) к своему варианту Li интуиционистской логики [40]. Только в 1937 году И. Иоганссон [43] вновь поставил под вопрос использование ex contradictione quodlibet в конструктивных рассуждениях и предложил систему, которая стала впо следствии называться логикой Иоганссона или минимальной логикой. Обозначим эту логику Lj. Аксиоматика Lj получается вычеркиванием ех contradictione quodlibet из стандартного списка аксиом интуиционистской логики, иными словами, имеет место соотношение Li = Lj + {- р — (р — q)}. В [43] Иоганссон доказал, что многие свойства отрицания, доказуемые в логике Гейтинга Li, сохраняются и в его системе Lj. Фактически, Иоганссон вернулся к Колмогоровскому варианту интуиционистской логики. Точнее, {—, - }-фрагмент логики Lj совпадает с пропозициональным фрагментом системы Колмогорова [1]. А.Н. Колмогоров рассматривал логику первого порядка, но в языке, который содержит только две пропозициональных связки, импликацию и отрицание.
К сожалению, логика Lj в течение долгого времени находилась вне внимания специалистов по паранепротиворечивости. Традиционно это мотивировалось следующим "паранепротиворечивым парадоксом" логики Lj. Хотя формально логика Lj не является избыточной, т.е. допускает нетривиальные противоречивые теории, мы можем доказать в Lj для любых формул (риф, что
Это означает, что связка отрицания теряет смысл в противоречивых Lj-теориях, поскольку в таких теориях доказуемо отрицание любой формулы. Таким образом, противоречивые Lj-теории — это, по существу, позитивные теории. Следует отметить, что исследования в области паранепротиворечивости в течение долгого времени были направлены на поиск "наиболее естественной системы" паранепротиворечивой логики (см. [42, с. 147]), в наибольшем объеме сохраняющей свойства классической логики. Что привело, впрочем, к созданию достаточно экзотических логик. В известной логике Н. Да Косты, например, нельзя определить логическую связку, обладающую свойствами конгруэнции, что делает весьма проблематичным развитие математики над такой логикой. Поэтому в последнее время все большее внимание уделяется изучению паранепроти-воречивых аналогов известных логических систем. И в этом отношении логика Иоганссона Lj безусловно заслуживает внимания как паранепро-тиворечивый аналог интуиционистской логики Li.
Перейдем ко второму главному подходу к понятию отрицания в конструктивной логике, концепции сильного отрицания. Отметим, что именно сильное отрицание является действительно конструктивным.
Как это часто случается с наиболее фундаментальными понятиями, концепция сильного отрицания была развита независимо несколькими авторами, использовавшими различные мотивации. Конструктивная логика с сильным отрицанием была предложена впервые Д. Нельсоном в 1949 году [59]. Истинность негативного утверждения может быть установлена в интуиционистской и минимальной логике только опосредованно, через сведение к абсурду. Вследствие этого интуиционистское и минимальное отрицания обладают следующим свойством, не удовлетворительным с конструктивной точки зрения. Если доказуемо отрицание конъюнкции -i(ip Л ф), то из этого факта не следует, что одна из формул -чр или - ф доказуема. В упомянутой работе Д. Нельсон предлагает новую конструктивную концепцию отрицания. Основная идея состоит в том, что ложность (фальсифицируемость) атомных утверждений может быть установлена непосредственно, так же, как их истинность (ве-рифицируемость). Это приводит к двум параллельным конструктивным процедурам, сводящим истинность и ложность сложных утверждений к истинности или ложности их компонент. В результате Д. Нельсон получает логическую систему, обладающую таким свойством: если Ь { р Л ф), то Ь ip или Ь ф, где обозначает связку отрицания, ah — выводимость в системе Нель сона. В настоящее время данное свойство рассматривается как характеристическое свойство конструктивного отрицания, а отрицания Нельсо-новского типа называются сильными. Генценовское исчисление, эквивалентное системе Нельсона, было разработано независимо Ф. фон Кучера [50]. Системы, близкие к логике с сильным отрицанием, появляются также в работе Ж.П. Клива [24], который строил логику первого порядка, соответствующую алгебре неточных множеств С. Кернера [47]. Пара-непротиворечивый вариант системы Нельсона был предложен лишь в 1984 году в работе [9], где было коротко упомянуто, что вычеркивание схемы аксиом (р —» ( р —»• ф) из системы Нельсона приводит к конструктивной логике, которая может успешно применяться для работы с противоречивой информацией. Стоит отметить также, что сам термин "сильное отрицание" связан не с идеей непосредственной фальсификации утверждений, а с соотношением между сильным и интуиционистским отрицанием в избыточном варианте системы Нельсона [59]. В этой логике интуиционистское отрицание -і определяется через сильное следующим образом -чр := ір —» (р. Как следствие верна импликация (р —» -up, показывающая, что отрицание сильнее, чем интуиционистское отрицание. В паранепротиворечивой версии логики Нельсона интуиционистское отрицание не может быть определено через сильное, а упомянутое соотношение между этими отрицаниями не имеет места. Тем не менее, термин "сильное отрицание" употребляется по традиции и в этом случае. Теперь несколько слов об обозначениях рассматриваемых логик. Логику с сильным отрицанием и ее паранепротиворечивый вариант Нельсон обозначал N и N (см. [59, 9]). В системе обозначений М. Дана [32] эти логики получают имена N и BNi, соответственно. Мы же будем следовать иной традиции, наиболее распространенной в данное время (см., например, [88]), и обозначать избыточную логику Нельсона через N3, а паранепротиворечивую логику Нельсона через N4. Эти обозначения связаны с семантикой Крипке для данных логик, которая была разработана для N3 Р.Томасоном [83] и Р. Роутли [75]. Как и в случае интуиционистской логики, N3-niKajibi — это предпорядки. Однако ввиду того, что верификация и фальсификация трактуются в N3 независимо, NS-модели имеют две оценки, v+ для верификации и v для фальсификации, с дополнительным условием v+(p) П v (p) — 0, т.е. атомное утверждение не может верифицироваться и фальсифицироваться одновременно. Опуская это условие, мы получим семантику для N4. Нетрудно проверить (см. [72]), что пара оценок (v+,v ) может быть заменена многозначной оценкой, трех-значной (true, false, neither) для N3 и четырех-значной (true, false, neither, both) для N4. Именно это определяет выбор обозначений для данных логик.
Разумеется, логика N4 более привлекательна с прикладной точки зрения, так как она позволяет работать с противоречивой информацией. Кроме того, она может быть использована для разрешения некоторых известных логических парадоксов (см. [87]). В то же время, ее изучению было уделено несравненно меньше внимания, чем избыточной N3. В частности, семантические исследования N4 ограничиваются семантикой Крипке. Отсутствует какая-либо специфическая информация о классе 1М4-расширений, за исключением сведений о классе расширений логики N3. Стоит отметить, что последний класс изучался достаточно интенсивно ( см.[39, 48, 77, 78, 79]).
Итак, имеются две избыточные логики Li и N3, и их паранепроти-воречивые аналоги Lj и N4. В диссертации установлено, что Li точно вкладывается в Lj, а N3 точно вкладывается в N4. Таким образом, отказ от аксиомы избыточности не приводит к потере выразительных возможностей логики. Здесь встает вопрос о том, какими новыми вы разительными возможностями обладают логики Lj и N4 по сравнению с избыточными Li и соответственно N3, а также насколько регулярно устроен этот набор новых возможностей? В настоящей работе мы постараемся дать ответ на этот вопрос исследуя решетки расширений логик Lj и N4.
Изучение классов расширений различных логик таких, например, как интуиционистская логика Li (см., например, [22]), нормальная модальная логика К4 [36, 37] и т.д., играет чрезвычайно важную роль в развитии современной логики. В первой части диссертации представлен первый опыт систематического изучения решетки расширений паранепро-тиворечивой логики, а именно логики Lj. Установлена важная черта, отличающая класс Lj-расширений от классов расширений избыточных логик Li и К4. Класс Jhn имеет нетривиальную и интересную глобальную структуру (он трехмерный, в некотором смысле), что позволяет свести его описание, до определенной степени, к хорошо изученным классам промежуточных и позитивных логик. Точнее, класс Jhn является дизъюнктным объединением трех классов: класса промежуточных логик Int, который содержит только избыточные логики; класса Neg, состоящего из негативных логик, т.е. логик с вырожденным отрицанием, содержащих схему - р; и класса Par собственно паранепротиворечивых расширений логики Lj, содержащего все логики, не попавшие в первые два класса. Jhn = Int U Neg U Par.
Заметим, что негативные логики дефинициально эквивалентны позитивным.
Для любой логики L Є Par, можно определить ее интуиционистский напарник Ljnf (негативный напарник Lneg) как наименьшую логику из класса Int (соответственно, из класса Neg), содержащую логику L. Имеются сильные трансляции (т.е. трансляции, сохраняющие отно шение следования) логик Lint и Lneg в исходную паранепротиворечивую логику L. Логика Lint может быть получена также присоединением ех contradictione quodlibet к L. Таким образом, упомянутая трансляция логики Lint показывает, что обычные избыточные рассуждения моделируются в паранепротиворечивой логике. В то же время, как было отмечено выше, важным преимуществом паранепротиворечивых логик является возможность различать противоречия, которые не эквивалентны друг другу. В случае класса Lj-расширений структура противоречий паранепротиворечивой логики L эксплицируется в виде формальной системы, а именно, в виде ее негативного напарника Lneg. Сильная трансляция логики Lneg в L может быть задана посредством оператора противоречия С( р) := р А -кр. Поэтому логика Lrae5 действительно может рассматриваться как логика противоречий логики L.
Мы завершим исследование класса Jhn изучением отношения негативной эквивалентности между логиками из Jhn. Логики L\,Li Є Jhn негативно эквивалентны, если они имеют одно и то же негативное отношение следования, т.е. X Ь -чр, если и только если X \ i2 -up для любых множества формул X и формулы р. Негативная эквивалентность логик из класса Lj эквивалентна также утверждению, что эти логики имеют то же самое семейство противоречивых множеств формул. С конструктивной точки зрения эти факты означают, что две негативно эквивалентные логики имеют одинаковые концепции отрицания и противоречия.
В заключительной главе первой части диссертации мы предложим способ преодолеть вышеупомянутый парадокс минимальной логики. Это будет сделано заменой константы ± на унарный оператор абсурдности А( р) и последующим определением отрицания как редукции к такой обобщенной абсурдности: - р:=(р- А((р).
Идея подобного определения возникает из сравнения оператора противоречия в логике классической опровержимости КарриЬе [28], наибольшем паранепротиворечивом расширении минимальной логики, и оператора необходимости в модальной логике Лукасевича L [52, 53]. Мы докажем, что один из модальных парадоксов логики L в точности соответствует тому факту, что оператор абсурдности является константой, как в Le. Более того, оказывается, что в некоторых хорошо известных системах паранепротиворечивых логик отрицание может быть задано именно этим способом. Например, в логике CLuN Д. Батенса [13, 14] и в максимальной паранепротиворечивой логике Сета Р1 [80, 67] отрицание может быть представлено как сведение к унарному оператору абсурдности.
Во второй части диссертации исследуется решетка расширений пара-непротиворечивой логики Нельсона. Здесь существенную роль играет не только интерес к логике Нельсона как альтернативной формализации интуиционистской логики, но и желание проверить, применим ли к этому новому объекту подход, разработанный в первой части работы? И ответ на этот вопрос является положительным, хотя будет обнаружено также существенное отличие структур решеток расширений минимальной логики и паранепротиворечивой логики Нельсона.
В связи с паранепротиворечивой логикой Нельсона возникает вопрос, в каком языке следует рассматривать эту логику. Избыточная логика рассматривается обычно в языке (V, Л, —, , -і) с символами для двух отрицаний, сильного и интуиционистского -і. Причем интуиционистское отрицание, вообще говоря, излишне, так как может быть определено через сильное. При переходе к паранепротиворечивой логике N4 интерпретация -і не ясна, поэтому кажется естественным рассматривать язык с единственным отрицанием . Такой вариант паранепротиворечивой логики Нельсона мы будем обозначать N4. Тем не менее, как мы увидим, присутствие в языке интуиционистского отрицания наряду с сильным естественно и желательно. Консервативное расширение логики N4 в языке (V, Л, — , , _1_) с дополнительными аксиомами для константы ± будет обозначаться N41. Интуиционистское отрицание определяется в N4X обычным образом, -мр := ср — __.
Для изучения класса "N4 (1441) расширений логики Нельсона N4 (N41) необходима адекватная алгебраическая семантика. Нужно найти определяющее логику N4 (N41) многообразие алгебр такое, что существует дуальный изоморфизм между решеткой подмногообразий данного многообразия и решеткой N4(N41)-pacnrapeHHft. Для избыточной логики N3 такую семантику задает многообразие N3-penieTOK, которое достаточно хорошо изучено [69, 34, 35, 39, 77, 78, 86]. N4-penieTKH, введенные автором в [116], определяют семантику этого типа для логики N4. Алгебраическая семантика для N41 задается N41-peuieTKaMH, естественной модификацией N4-peuieTOK. Интересная особенность N4(H N41)-penieTOK состоит в том, что они имеют целый фильтр выделенных значений.
Преимущество языка с интуиционистским отрицанием становится явным, когда мы начинаем исследование класса К41-расширений. Его строение существенно отличается от строения класса Jhn. Прежде всего, в отличие от Jhn, содержащего целый подкласс Neg противоречивых логик, логика N41 не имеет нетривиальных противоречивых расширений. Несмотря на то, что логика N41 паранепротиворечива, она допускает только локальные противоречия. Присоединение к N41 противоречия как схемы формул имеет своим результатом тривиальную логику. Тем не менее, класс SN41 разбивается на подклассы избыточных, нормальных логик и логик общего вида. Это разбиение отражает локальную структуру противоречий в К41-моделях и подобно разбиению класса Jhn на подклассы промежуточных, негативных и собственно паранепротиворе-чивых логик. Именно присутствие в языке константы _L позволяет определить класс нормальных логик, соответствующий классу негативных логик в решетке Lj-расширений.
Заметим, что отношение негативной эквивалентности, играющее важную роль при изучении класса расширений минимальной логики, вырождается при переходе к К4-расширениям. Два расширения логики N4 (N41) негативно эквивалентны, если и только если они равны.
Опишем теперь более точно структуру диссертации. Глава 2 содержит определения важнейших логик из класса Jhn и необходимые сведения об алгебраической семантике и семантике Крипке для расширений минимальной логики. Глава 3 посвящена логике классической опровер-жимости, наибольшему паранепротиворечивому расширению логики Lj, играющему ключевую роль в исследовании класса Lj-расширений.
В главе 4 мы исследуем логику Le = Lj + {J_ V (± — р)} и доказываем, что класс расширений этой логики совпадает с классом всех возможных пересечений промежуточных и негативных логик. Более того, каждая логика L, расширяющая Le , имеет единственное представление в виде пересечения промежуточной логики L\ и негативной логики Li- Логику L\ (соответственно, L2) мы назовем интуиционистским (соответственно, негативным) напарником логики L. Далее, понятия интуиционистского и негативного напарников обобщаются на класс всех Lj-расширений. При этом класс Par собственно паранепротиворе-чивых Lj-расширений разбивается на попарно непересекающиеся семейства Spec(Li,L2), СОСТОЯЩИе ИЗ ВСЄХ ЛОГИК ИМеЮЩИХ ЛОГИКИ L\ И 1/2 в
качестве своих интуиционистского и, соответственно, негативного напар ников. Каждое из семейств Spec(Li, Li) образует интервал в решетке Par с наибольшей точкой L\C\L2. Таким образом, изучение структуры класса Jhn сводится к изучению интервалов вида Spec(Li,L,2).
Следующая глава посвящена нахождению удобного представления j-алгебр, которое позволяло бы определять положение различных логик внутри интервалов Spec(L\,L2)- Эффективность полученного представления демонстрируется его применением к многочисленным расширениям минимальной логики, рассматривавшимся К. Сегербергом [76].
В главе 6 мы вводим отношение =пед негативной эквивалентности логик и, модифицировав технику формул Янкова, доказываем, что решетка 5рес(ЬІ51/г)/ =пед изоморфна интервалу 5pec(Lk, L-i). Мы покажем также, что каждый интервал Spec{Li,L,2) содержит бесконечно много классов негативной эквивалентности, а в Jhn имеется континуум различных классов негативной эквивалентности.
Последняя глава первой части диссертации, глава 7, посвящена изучению унарного оператора абсурдности.
Глава 8 начинает вторую часть диссертации, посвященную сильному отрицанию. В первом параграфе определяются два варианта пара-непротиворечивой логики Нельсона. Логика N4 определяется в языке (V, Л, —, ), где — символ для сильного отрицания, а логика N41 — в языке (V, Л, — , , -L) с дополнительной константой _1_. При этом N41 — консервативное расширение как N4, так и интуиционистской логики. Избыточная логика N3 получается присоединением к N4 аксиомы избыточности р — • (р — q). Причем, полагая _1_ := (ро — Ро) можно доказать в N3 дополнительные аксиомы логики N41.
Во втором параграфе логика N4 характеризуется с помощью структур Фиделя [35]. Это непосредственное обобщение результата М. Фиделя из [35] для логики N3. Структуры Фиделя представляют собой импли кативные решетки с выделенным семейством одноместных предикатов.
В третьем параграфе семантика N4 задается с помощью твист-структур над импликативными решетками (см. [34, 86]). Причем теорема полноты следует из доказанной здесь же эквивалентности структур Фиделя и твист-структур. Твист-структура — это алгебраическая система, задаваемая на декартовом квадрате импликативной решетки. Причем операции этой структуры согласованы на первой координате с операциями импликативной решетки и "скручены" на второй.
Далее, в 4-м параграфе устанавливается, что класс алгебр изоморфных твист-структурам допускает теоретико-решеточное определение. Введен класс N4-penieTOK. Доказано, что всякая твист-структура является N4-penieTKOfi, а всякая N4-penieTKa Л изоморфна твист-структуре над Дх,, импликативной решеткой, определяемой как фактор-решетка Л по конгруэнции специального вида. Откуда следует, что N4 характеризуется N4-решетками.
В следующем параграфе доказывается, что N4-penierKH образуют многообразие Уш И устанавливается дуальный решеточный изоморфизм между решеткой N4 расширений логики N4 и решеткой подмногообразий многообразия VN4 В заключительном параграфе главы 8 ранее полученные результаты переносятся на логику N41 и решетку ее расширений SN41. При этом твист-структуры определяются над алгебрами Гейтинга и для любой N41-peineTKH Л фактор-структура Д также будет алгеброй Гейтинга. Назовем Д , базисной алгеброй N41-penieTKH Л.
В главе 9 развиты начала алгебраической теории N41-peineTOK в объеме, необходимом для исследования решетки расширений логики N41. В частности получено представление N4_L-pemeTOK в виде алгебр Гейтинга с выделенными фильтром и идеалом. Определена пара сопряженных функторов между категориями N4 -решеток и алгебр Гейтинга. Доказано, что если гомоморфизм базисных алгебр может быть поднят HaN41-решетки, то это делается единственным образом. Показано, что конгруэнции на N41-pemeTKe находятся во взаимно однозначном соответствии с импликативными фильтрами. Установлен изоморфизм решеток конгруэнции N41-penieTKH и ее базисной алгебры. Как следствие, описаны подрямо неразложимые N41-peineTKH как решетки с подпрямо неразложимой базисной алгеброй. В терминах описанного выше представления сформулирован критерий вложимости и описаны фактор-алгебры N41-решеток.
В заключительной 10-й главе изучается строение решетки N41-pac-ширений, при этом обнаруживается несомненное сходство со строением класса расширений минимальной логики. Хотя различия в строении этих двух классов логик также существенны. Первое из этих отличий состоит в том, что N41 не содержит противоречивых нетривиальных расширений. Минимальная же логика имеет целый класс противоречивых расширений, изоморфный классу расширений позитивной логики.
В главе исследованы связи между логикой L, расширяющей N41, и ее интуиционистским фрагментом. В решетке N4± расширений логики N41 определены подклассы избыточных логик Ехр, нормальных логик Nor и логик общего вида Gen, играющие роль аналогичную классам Int, Neg и Par в решетке расширений минимальной логики. Исследованы связи между классами Exp, Nor и Gen с помощью определения избыточных и нормальных напарников для логик из класса Gen.
Даны первые приложения развитой теории решетки N41-pacurapeHHE. Во-первых, полностью описана решетка расширений логики N41C, получающейся присоединением аксиомы Даммета к N41. Доказано, что все ее расширения разрешимы и конечно аксиоматизирумы, а по произ вольной формуле можно определить, какое расширение логики N4 С она аксиоматизирует.
Во-вторых, описаны табличные, предтабличные логики и логики, обладающие интерполяционным свойством Крейга в решетке расширений логики N4"1.