Содержание к диссертации
Введение
1 Конгруэнции полигонов над полугруппами специального вида 19
1.1 Конгруэнции полигона над группой 19
1.2 Конгруэнции полигона над полугруппой правых нулей 24
1.3 Конгруэнции полигона над полугруппой левых нулей 29
2 Подпрямо неразложимые полигоны 32
2.1 Общие понятия и определения 32
2.2 Подпрямо неразложимые полигоны над произвольными полугруппами 33
2.3 Подпрямо неразложимые полигоны над прямоугольными связками 41
3 Инъективность и проективность полигонов над сингуляр ными полугруппами 48
3.1 Общие свойства свободных, инъективных и проективных полигонов 48
3.2 Полигоны над группами 51
3.3 Полигоны над полугруппами правых нулей 55
3.4 Полигоны над полугруппами левых нулей
4 Полугруппы с финитно аппроксимируемыми полигонами 61
5 Условия модулярности решётки конгруэнции полигона над полугруппой правых или левых нулей 70
5.1 Полигоны над полугруппами левых нулей 73
5.2 Полигоны над полугруппами правых нулей 84
Литература 91
- Конгруэнции полигона над полугруппой правых нулей
- Подпрямо неразложимые полигоны над прямоугольными связками
- Полигоны над полугруппами правых нулей
- Полигоны над полугруппами правых нулей
Конгруэнции полигона над полугруппой правых нулей
Авдеевым А.Ю. и Кожуховым И.Б. в [24] было получено описание полигонов над регулярными рисовскими матричными полугруппами Ж (G,I, Л, Р) (т.е. вполне 0-простыми полугруппами). Все правые конгруэнции на этих полугруппах были описаны Р.Оэмке в [34]. Это можно считать описанием конгруэнции свободного циклического полигона над вполне 0-простой полугруппой. Описание конгруэнции произвольных полигонов над вполне 0-простыми или вполне простыми полугруппами представляется довольно сложной задачей. Поэтому естественно рассматривать частные случаи таких полугрупп. Данная работа делает первый шаг в построении теории конгруэнции полигонов над вполне (О-)простыми полугруппами. А именно, нами получены описания конгруэнции полигонов над группами и над полугруппами правых (левых) нулей.
Напомним, что универсальная алгебра называется подпрямо неразложимой, если она не разлагается в нетривиальное подпрямое произведение алгебр. Интерес к подпрямо неразложимым алгебрам объясняется классической теоремой Биркгофа, утверждающей, что любая алгебра пред ставима в виде подпрямого произведения подпрямо неразложимых алгебр. Таким образом, подпрямо неразложимые алгебры можно рассматривать как "строительный материал из которого получаются все алгебры. Подпрямо неразложимые алгебры легко характеризуются в терминах конгруэнции: а именно, это в точности такие алгебры, у которых существует наимень шая нетривиальная конгруэнция. Подпрямо неразложимые алгебры исследовались многими авторами, однако, полное описание подпрямо неразложимых алгебр заданного многообразия получено лишь для немногих многообразий. Это сделано для многообразий унаров [38] (название работы соответствует старой терминологии, в которой унарными алгебрами называются множества с одной унарной операцией, т.е. унары), многообразий абелевых групп (это несложное упражнение) и некоторых других. В [27] было получено описание подпрямо неразложимых коммутативных автоматов, т.е. фактически коммутативных полигонов над полугруппами (правый б -полигон X называется коммутативным, если xst = xts при всех х Є X, s,t Є S), а, значит, и описание подпрямо неразложимых коммутативных полугрупп. Описание подпрямо неразложимых (справа или слева) некоммутативных полугрупп пока не получено, некоторые результаты в этом направлении можно найти в [37]. Тем более неясно, как устроены подпрямо неразложимые полигоны над произвольными полугруппами. Исследование свойств таких полигонов проводилось в [21], где было, частности, установлено, что подпрямо неразложимый полигон имеет не более двух нулей. В диссертации мы сводим вопрос о подпрямой неразложимости произвольного полигона над полугруппой к вопросу о подпрямой неразложимости его ядра (наименьшего ненулевого подполигона - существующего у любого подпрямо неразложимого полигона). В случае прямоугольных связок нами получено исчерпывающее описание подпрямо неразложимых полигонов над ними.
Кажется естественным изучение полигонов с заданными условиями на их решётки конгруэнции. Условиям дистрибутивности или модулярности решёток конгруэнции, а также условиям, когда конгруэнции образуют цепь, посвящено значительное количество статей. Цепные и дистрибутивные кольца и модули - это целое направление теории колец (см. [22], [23]). Унары с дистрибутивной, модулярной решёткой конгруэнции и с решёткой конгруэнции, являющейся цепью, полностью описаны в [2]. В работе [29] были описаны полугруппы, у которых левые конгруэнции образуют цепь. Для коммутативных полигонов, т.е. полигонов, у которых операции умножения на элементы полугруппы перестановочны друг с другом, условия модулярности и дистрибутивности решётки конгруэнции были исследованы в [3], а в [7] было получено полное описание коммутативных унарных алгебр (полигонов), решётка конгруэнции которых является цепью. Описание некоторых коммутативных унарных алгебр с дистрибутивной решёткой конгруэнции получено в [19]. Как уже отмечалось, решётки конгруэнции несвязных полигонов над полугруппами изучались в [20]. Там было получено одно необходимое условие модулярности решётки конгруэнции - отсутствие сквозных конгруэнции. В данной работе, используя это условие, мы получаем описание полигонов над полугруппами правых или левых нулей, имеющих дистрибутивную, модулярную или линейно упорядоченную решётку конгруэнции.
Понятие полигона над полугруппой аналогично понятию модуля над кольцом, ввиду чего теория полигонов развивается под большим влиянием теории колец и модулей. Инъективные и проективные объекты могут быть определены в любом многообразии универсальных алгебр, а в гомологической теории колец понятия инъективного и проективного модуля занимают центральное место. Аналогично модулям определяются инъективные и проективные полигоны (см. [31], III. 1 и III. 17), а также инъ-ективная оболочка и проективное накрытие полигона ( [31], определения III.1.22 и III.17.18). Как и в теории колец, инъективная оболочка существует у любого полигона, а проективное накрытие - нет.
В работе [25] была построена инъективная оболочка произвольного полигона над полугруппой (даже без предположения о наличии в полугруппе единичного элемента). Инъективные оболочки полигонов над полурешётками групп были построены в [32]. В работе [26] изучались инъективные полигоны над полугруппой левых нулей, а в [33] было получено описание сепарабельных инъективных полигонов и инъективных оболочек произвольных сепарабельных полигонов над полугруппами левых нулей (левый б -полигон называется сепарабельным, если для любых a j Ь из А суще ствует такое s Є S \ {1}, что sa j sb. В данной работе получено описание инъективных и проективных полигонов над группами, полугруппами правых и полугруппами левых нулей, а также построены инъективная оболочка и проективное накрытие произвольных полигонов над этими полугруппами.
В работах [10], [30] изучались полугруппы, все полигоны над которыми аппроксимируются конечными, а также полугруппы, полигоны над которыми аппроксимируются конечными ограниченных в совокупности порядков. Кожуховым И.Б. в [9] было доказано, что все полигоны над полугруппой S аппроксимируются полигонами из не более двух элементов в том и только том случае, когда S - полурешётка. Исследования диссертации продолжают упомянутые исследования. В частности, удалось доказать равномерную локальную конечность полугрупп, все полигоны над которыми аппроксимируются полигонами из не более, чем п элементов.
Объектом исследования в работе являются полигоны над группами и над полугруппами правых и левых нулей.
Описание конгруэнции полигонов над группами, над полугруппами правых и левых нулей, описание подпрямо неразложимых полигонов над произвольными полугруппами, нахождение условий модулярности и дистрибутивности решёток конгруэнции над полугруппами правых и левых нулей является предметом исследования.
Цели и задачи исследования данной работы заключаются в исследовании свойств полигонов над полугруппами специального вида (полугруппами правых и левых нулей): исследование их решёток конгруэнции, исследование условий инъективности и проективности таких полигонов, неразложимости в подпрямое произведение, финитной аппроксимируемости и т.д.
Подпрямо неразложимые полигоны над прямоугольными связками
Универсальная алгебра А называется подпрямо неразложимой, если она не разлагается в нетривиальное подпрямое произведение алгебр. Обозначим через Ах отношение равенства на множестве X, т.е. Ах = {(ж,ж) : х Є X}. Если понятно, о каком множестве идёт речь, будем писать просто А. Конгруэнцию р будем называть нетривиальной, если р ф А. Очевидно, алгебра подпрямо неразложима в том и только в том случае, если пересечение любого семейства нетривиальных конгруэнции также является нетривиальной конгруэнцией; алгебра А подпрямо неразложима в том и только в том случае, если она имеет наименьшую нетривиальную конгруэнцию. Будем называть эту конгруэнцию монолитом и обозначать Ро(А) (или просто ро)- Интерес к подпрямо неразложимым алгебрам объясняется теоремой Биркгофа, утверждающей, что всякая алгебра является подпрямым произведением подпрямо неразложимых алгебр [теорема.7.3] [13]. Таким образом, подпрямо неразложимые алгебры являются "строительным материалом из которого строятся все алгебры.
Подпрямо неразложимые коммутативные полигоны были описаны в [27]. Условия конечности для подпрямо неразложимых полигонов изучались в [10]. В [30] было доказано, что каждый подпрямо неразложимый полигон над полугруппой S состоит не более чем из двух элементов в том и только в том случае, если S - полурешётка (т. е. коммутативная полугруппа идемпотентов). В 1 главе уже были описаны конгруэнции произ вольного полигона над полугруппой правых и полугруппой левых нулей, а в [33] получены необходимые и достаточные условия подпрямой неразложимости правого полигона над полугруппой левых нулей. В данной главе будет полученаы характеризация подпрямо неразложимых полигонов над произвольными полугруппами. В случае полигонов с одним нулём или без нуля вопрос об их подпрямой неразложимости сводится к вопросу о подпрямой неразложимости 0-простых и простых полигонов, а в случае полигонов с двумя нулями решается до конца. Этим исчерпываются все случаи, так как согласно предложению 1 из [21] подпрямо неразложимых полигонов более чем с двумя нулями не существует. Кроме того, используя описание всех полигонов над вполне простой полугруппой М((7, /, Л, Р), полученное в [24], мы обобщаем уже упоминавшейся результат из [21] о наличии не более двух нулей на полигоны над М((7,/,Л,Р), устанавливая, что G-полигон Q (участвующий в описании полигонов над этими полугруппами) имеет не более двух конеразложимых компонент. Наконец, мы описываем подпрямо наразложимые полигоны над прямоугольной связкой. В качестве следствия получаются результат Г. Могаддаси [33] о полигонах над полугруппой левых нулей, а также описание подпрямо неразложимых полигонов над полугруппой правых нулей.
Из этих свойств следует отмеченное в [предложение 1] [21] утверждение: если X подпрямо неразложим, то 0 2 (действительно, так как любое отношение эквивалентности на G является конгруэнцией, при 0 3 можно найти такие конгруэнции рі,р25 что pi, р2 7 Д и Pi Р2 = Д)- В [теорема2.6] [37] этот факт доказан для полигона . Напомним, что для любых элементов х т у полигона X главная конгруэнция рх у определяется как конгруэнция, порождённая парой (ж,у). Из определений непосредственно следует, что пара (z,w) Є X х X принадлежит конгруэнции рх у в том и только в том случае, если имеет место цепочка равенств z = щві, ViSi = u2s2} (2.1) и-п—1$п—1 UfiSfij где Si Є Sl и {ui, v,j} = {x, у} при і = 1, 2,.. . , п. Если X - подпрямо неразложимый полигон над полугруппой 5 , то его монолит PQ{X), очевидно, является главной конгруэнцией. Пусть ро(Х) = рх у. Тогда из определений следует Утверждение 2.1. Полигон X подпрямо неразложим в том и только том случае, если существуют такие элементы х}у Є X, что х = у и для любых различных элементов z}w Є X имеет место цепочка равенств (2.1).
Утверждение 2.1 даёт необходимые и достаточные условия подпрямой неразложимости произвольного полигона. Однако оно не вполне удобно, так как длины цепей п могут быть сколь угодно большими. В следующих далее теоремах условия включают ограниченное число элементов Si,.. . , sn полугруппы S.
Теорема 2.2. Пусть X - полигон над полугруппой S, имеющий ровно два нуля, скажем, 6\ и 02- Тогда X подпрямо неразложим, в том, и только в том случае, если для любых элементов а = b полигона X найдётся такое s Є S, что {as, bs} = {6\, 6 }.
Доказательство. Достаточность очевидна, так как ясно, что в этом случае р0 = ро1в2 = {(0i,02),№,0i)} U Ах Необходимость. Пусть X подпрямо неразложим. Так как ре1е2 минимальная нетривиальная конгруэнция, ро = рв1,в2- Докажем, что для любого а ( {61,62} выполняется соотношение aSD{eu62}. (2.2)
Пусть а ф {#i, #2} и aS {61,62}. Если as = а для всех s Є S, то а - нуль полигона X, отличный от 61,62, чт0 противоречит условию. Следовательно, существует элемент s Є S, такой, что as 7 а- По предположению 9\ aS или в ї aS. Можно считать, что 92 aS. Тогда (61,62) Pa,as, откуда ро (/- pa,as, что также невозможно. Таким образом, условие (2.2) выполнено. Пусть a j Ь. Тогда раф ро = Ре1е2- Следовательно, имеет место цепочка равенств где Si Є Sl; {q, di} = {a, b} при і = 1, 2,... ,n. Пусть эта цепочка самая короткая из возможных. Без ограничения общности можно считать, что С\ = а. Тогда d\ = b. Если bs\ = 62, то {as\,bsi} = {61,62}, что и требовалось доказать. Если bs\ = 6\, то цепочка (2.3) может быть сокращена на одно звено, что противоречит её выбору. Таким образом, bs\ {6\, 62}. Взяв в качестве а элемент bs\ и применив условие (2.2), получим, что bS\t = 02 При НеКОТОрОМ t Є S. Кроме ТОГО, aS\t = C\S\t = 6\t = 6\. Следовательно, (a,b) S\t = (61,62), откуда следует требуемое. Полугруппу S назовём подпрямо неразложимой справа, если S имеет наименьшую нетривиальную правую конгруэнцию. В [37] отмечено, что подпрямо неразложимая справа полугруппа имеет ядро - наименьший правый идеал. Сформулируем аналогичное утверждение для подпрямо неразложимых полигонов. Полигон X назовём простым, если он не имеет подполигонов, отличных от X. Полигон X с нулём 9 назовём 0-простым, если X ф {9} и X не имеет подполигонов, отличных от {9} и X.
Лемма 2.3. Всякий подпрямо неразложимый полигон X имеет наименьший нетривиальный (т. е. содержаищй более одного элемента) под-полигон К; при этом К - простой полигон. Если X - подпрямо неразложимый полигон с нулём, то X имеет наименьший ненулевой подпо-лигон К, причём К - 0-простой подполигон. Доказательство. Для любого нетривиального подполигона А отношение РА = (Ах A)UАх, очевидно, является конгруэнцией (конгруэнцией Риса). Так как X подпрямо неразложим, ПІЯ4 : А - нетривиальный подполигон } ф Ах- Это означает, что пересечение К всех нетривиальных подполиго нов само является нетривиальным подполигоном. Его простота очевидна. В случае подпрямо неразложимого полигона с нулём аналогично полу чаем, что пересечение К всех ненулевых подполигонов есть наименьший ненулевой подполигон. Тот факт, что он 0-простой, очевиден.
Полигоны над полугруппами правых нулей
Сингулярными полугруппами мы называем полугруппы правых и полугруппы левых нулей. В этой главе мы даём полный ответ на вопрос о строении инъективных полигонов и инъективных оболочек, а также проективных полигонов и проективных накрытий произвольных полигонов над группами, полугруппами правых нулей и полугруппами левых нулей.
Если р - отношение эквивалентности на множестве X и а X, то ар будет обозначать р-класс, содержащий а. Как обычно, Ах = {(ж, х)х X} - отношение равенства на X. Через 1х обозначим тождественное отображение X X.
Пусть S = {/аа: Г} - сигнатура, т.е. множество символов операций. Хорошо известно, что для любого множества М свободная алгебра F{M) любого многообразия универсальных алгебр данной сигнатуры представляет собой множество термов, записываемых в алфавите М с помощью символов из S, При этом М является множеством свободных образующих, а термы рассматриваются с точностью до преобразований, получен ных применением тождеств данного многообразия. В случае многообразия всех полигонов над полугруппой S тождества имеют вид x{st) = (xs)t, поэтому термами являются лишь слова вида х и xs, где х Є М, s Є S. Следовательно, F(M) = {ж, xs\x Є М, s Є S}. Нетрудно видеть, что свободный циклический полигон изоморфен полигону S , а произвольный -копроизведению таких полигонов: F(M) = U S 1. Если рассматриваются только унитарные полигоны, то F{M) = \\i S.
Полигон X над полугруппой S называется инзективным, если для любого инъективного гомоморфизма а : А — В и гомоморфизма ср : А — X существует гомоморфизм ifj : В — X такой, что оф = ср. Инъективпой оболочкой полигона X называется минимальное инъективное расширение полигона X. Полигон X называется проективным, если для любого сюръективного гомоморфизма а : А — В и гомоморфизма tp \ X —) В существует гомоморфизм г\) : X — А такой, что фа = ср. Проективным накрытием полигона X называется проективный полигон У, имеющий сюръективный гомоморфизм 7Г : У — X такой, что для любого собственного подполигона Y\ С У ограничение 71"! не является сюръективным.
Доказательство. Необходимость следует из леммы 3.1. Докажем достаточность. Пусть X - полигон над группой G и z - его нуль. Обозначим через е единицу группы G. Используя лемму 3.4, представим X в виде (3.2): X = \1іЄІХг, где Хг = Мг U {G/Щ) и МгС С G/Щ. Так как X имеет нуль, то Hi0 = G для какого-либо іо Є /. Без ограничения общности мы можем считать, что ХІ0 = МІ0 U {Z}, причём Mi0G = {z}. Пусть a : A — В - инъективный гомоморфизм G-полигонов и Lp : А — X - произвольный гомоморфизм. Представим полигоны А и В аналогично полигону X : А = \ljeJA3, где А3 = Mj U (G/Щ), В = Uk =Kвк, те Вк = M l U {G/Щ). Полигоны G/Щ и G/Щ - циклические. Более того, каждый из них порождается любым своим элементом. Следовательно, (GJ Щ)а С G/Щ. Так как G/Щ - простой полигон (не имеет собственных подполигонов), то (G/Hj)a = G/Щ, т.е. а изоморфно отображает G/Щ на G/Щ. Отсюда следует, что а осуществляет вложение М - в М /,. Таким образом, для каждого j Є J существует к Є К такое, что AjCt С Вк. Пусть L = {к Є К\Вк П Аа ф 0}. Определим отображение ф : В — X следующим образом: ж, если х Є Mi, g, если х = g или х = g". Очевидно, а - сюръективный гомоморфизм. Проверим, чтоо = ср. Пусть а Є А. Тогда ааф = (аа)а 1(р = аїр. Осталось доказать, что ф - гомоморфизм. Пусть х Є -В, g Є G. Если х Є Аа, то х = аа при некотором а Є А, поэтому (хд)ф = (аа д)ф = (ад)аф = (ад)(р = ар) д = ааф д = хф д. Если х Є Bk \ Аа при к Є L, то хд Є G/Щ, поэтому (хд)гр = (хд)а 1р) = (хе д)а 1р) = (хе)а 1р) д = хф д.
Наконец, если х Є Bk при к L, то (хд)ф = z = z д = хф д. Следствие 3.7. Если X - полигон над группой, то его инъективная оболочка совпадает сХ, если X имеет нуль, и равна XUO, если X не имеет нуля.
Замечание 3.8. Как уже говорилось во введении, в работе [32] были описаны инъективные оболочки полигонов над полурешётками групп (а значит, и над группами), однако, выделить случай групп в этой работе весьма затруднительно.
Перейдём теперь к проективным полигонам и проективным накрытиям полигонов над группами. Докажем сначала одну лемму технического характера.
Лемма 3.9. Если полигон X над группой G имеет вид X = М U (G/H), где М П (G/H) = 0 и MG С (G/H), то на множестве М U G также можно определить структуру G-полигона так, что естественное отображение 7Г : М U G — М U (G/H) (т ь-» т, g ь-» Нд) будет гомоморфизмом G-полигонов.
Доказательство. Обозначим через е единицу группы G. Нам надо опре делить действие группы G на множестве М. Пусть т Є М. В полигоне X мы имеем: те = Ндо при некотором до Е G и тд = Нд д при всех д Є G. На множестве MUG полагаем т д = дод. Аналогично поступим с другими элементами из М. Докажем, что MUG - полигон над G. Имеем: m gig2 = #o(#i#2) = (#o#i)#2 = (rn gi)g2. Для доказательства того, что7г является гомоморфизмом, достаточно проверить справедливость импли кации mi gi = vfi i g i = т\д\ = m ig i для т\, т2 Є М и ?і, #2 Є G. Пусть ттце = Ндо, т2е = Нд 0. Тогда ггц gi = g0gi, т2 д2 = д оЯ т\Я\ = Нд0д\, т2д2 = д0д2. Но если g0gi = д 0д2, то Hg0gi = Нд {)д2. Теорема 3.10. Полигон X над группой G проективен в том и только том случае, если X = Ц ; где для каждого і Є I либо Х{ = G, либо Х{ = G U {1} (здесь 1 - новая единица, отличная от единицы е группы G). Доказательство. Необходимость. Пусть X проективен. Представим X в виде 3.2: X = UieiWi и У ) гДе МгС\г = 0, МгС С Уг и Уг G/Я, для некоторой подгруппы ii/j группы G. Нам надо доказать, что Y{ = G (т.е. ii/j = {е}) и Mj 1. Согласно предложению 3.2 полигон Mi U Y проективен для каждого і Є I. Следовательно, полигон М{ U (G/Н{) проективен. По лемме 3.9 существует сюръективный гомоморфизм а : Mi U G — М U (G/Hi). Так как полигон Mj U (G/ Н/) проективен, то существует гомоморфизм : Mi U (G/НІ) — МІ U G такой, что a = iMMG/tfi)- Так как тефт для m Є Мг, то (G/Н ф С G. То есть k/Я; : G/НІ — G - гомоморфизм. По лемме 3.5 существует элемента Є G такой, что аНіа 1 С {е}. Это влечёт равенство ii/j = {е}. Так как G - простой полигон, то неравенство \М{\ 1 следует из леммы 3.3.
Полигоны над полугруппами правых нулей
Конгруэнции универсальной алгебры, т.е. отношения эквивалентности, сохраняющие операции, играют важную роль в структурной теории. Это объясняется тем, что конгруэнции - это то же самое, что ядра гомоморфизмов данной алгебры в другие. Хорошо известно, что конгруэнции всякой универсальной алгебры А образуют решётку (обозначим её через Con Л), и эта решётка является подрешёткой решётки EqA всех отношений эквивалентности на множестве А. Кажется естественным изучение универсальных алгебр с заданными условиями на их решётки конгруэнции.
Напомним, что решётка L называется дистрибутивной, если (х V у) А z= (xAz)\/(yAz) для любых ж, у, z Є L, и модулярной, если это равенство выполнено при х z. Хорошо известно (см. [1], глава II, теоремы 1, 2), что решётка L модулярна тогда и только тогда, когда L не содержит под-решётки, изоморфной пентагону, и дистрибутивна тогда и только тогда, когда в L нет пентагонов и диамантов (см. рис. 5.1).
Решётки конгруэнции универсальных алгебр некоторых многообразий являются модулярными. Такими многообразиями являются, в частности, группы (решётка конгруэнции группы, т.е. решётка нормальных подгрупп группы всегда модулярна), а также кольца и модули. Условиям дистрибутивности или модулярности решёток конгруэнции, а также условиям, Рис. 5.1: а - диамант, b - пентагон когда конгруэнции образуют цепь, посвящено значительное количество статей. Цепные и дистрибутивные кольца и модули - это целое направление теории колец (см. [22], [23]). Унары с дистрибутивной, модулярной решёткой конгруэнции и с решёткой конгруэнции, являющейся цепью, полностью описаны в [2]. В [29] были описаны полугруппы, у которых левые конгруэнции образуют цепь. Решётки конгруэнции произвольных полигонов над полугруппами изучались в [20]. Там было получено одно необходимое условие модулярности решётки конгруэнции - отсутствие сквозных конгруэнции.
Далее будут использоваться следующие обозначения: А А = {(а, а) а Є А} - отношение равенства на множестве A, EqA - решётка отношений эквивалентности на А. Если ясно, о каком множестве идёт речь, вместо Ад будем писать просто А. Наибольшее отношение эквивалентности А х А на А будем обозначать V или просто V. Если ср : А — В - отображения множеств, то ядро kercp и образ тар отображения (р определяются обычным образом: keicp = {(а,а )\(мр = a tp}, imcp = Аср. Через Т(Х) мы будем обозначать полугруппу всех отображений а:Х Хс умножением х(а/3) = (ха)/3 при х Є X, а, [5 Є Т(Х). Если р - отношение эквивалентности на множестве А, то ар (для а Є А) - класс отношения р, содержащий элемент а, а А/р - фактор-множество (множество р-классов).
Отметим следующее хорошо известное свойство произвольных полиго нов над полугруппами. Доказательство приводим для полноты изложения. Предложение 5.1. Если X - полигон uY - его подполигон, то решётка ConY изоморфно вкладывается в решётку СопХ. Доказательство. Нетрудно проверить, что отображение р ь-» р U Ах (р єСопУ) является решёточным вложением СопУ в СопХ. В работе [20] было введено понятие сквозной конгруэнции полигона. Напомним это определение. Конгруэнция р полигона X называется сквозной если X представим в виде X = Y U Z и существуют такие элементы 2/1,2/2 Є У, 2і,22 Є Z, что (г/і,2/2), (zhz2) g р, a (yi,zi),(y2,z2) Є р. Следующее утверждение будет часто использоваться в дальнейшем. Предложение 5.2. (лемма 2.4 [20]) Если полигон X имеет сквозную конгруэнцию, то решётка СопХ не модулярна. Пусть X - полигон над полугруппой S. Будем говорить, что полугруппа S действует на множестве (полигоне) X эффективно, если выполняется импликация (Ух Є X xs = xt) = s = t.
Нетрудно увидеть, что всегда можно добиться эффективности действия 5 на X путём "склеивания" элементов из 5 , действующих на элементы из X одинаково. А именно, для каждого s Є S обозначим через (ps отображение X — X такое, что X(ps = xs при х Є X. Тогда отображение Ф : S — Т(Х), si-y s будет являться гомоморфизмом полугруппы S в полугруппу Т(Х). Пусть кегФ = р. Тогда р - конгруэнция полугруппы S. Пусть 7Г : S — S/р, s ь-) sp - естественный гомоморфизм. Положим S/р = S, s = sp. Тогда X можно рассматривать как б -полигон относительно действия xs = xs при х Є X, s Є S. Нетрудно увидеть, что конгруэнции у полигонов Xs и Xs одни и те же, т.е. Con X = CongX. При этом полугруппа S действует на X эффективно. Кроме того, полугруппу S можно рассматривать как подполугруппу полугруппы Т(Х). 5.1 Полигоны над полугруппами левых нулей
Перейдём теперь к рассмотрению условий модулярности решётки конгруэнции. Всюду далее в этом разделе X будет обозначать полигон над полугруппой левых нулей S, Y = XS - его подполигон. Заметим, что множество Y имеет тот же смысл, что в предложении 5.2. Положим А = X \ Y (множество А может быть пустым). Очевидно, что Y является множеством нулей полигона X. Поэтому любое отношение эквивалентности на множестве Y является конгруэнцией.
Для дальнейшего нам понадобится ряд вспомогательных лемм. В целях сокращения записи отношение эквивалентности р, имеющее неодноэлементные классы К\, i 2, Kf, будем обозначать следующим образом: р = (Ki)(K2)... (Kt). Исходя из этого, получаем, что р = \Ji=1 (КІ Х Ki)U Ах- Для случая К{ = { 2і,... , ап} или К{ = { 2і,... , ап} U В наряду с (КІ) будем такие использовать обозначения (а\... ап) и (а\... апВ) соответственно. Далее элементы множества А будем обозначать латинскими буквами, а множества Y цифрами: А = {а, 6, с,...}, Y = {1, 2,3,...}.
Лемма 5.3. Пусть X - полигон над полугруппой левых нулей S, Y = XS, А = X \ Y. Если решётка СопХ модулярна, то \Y\ З, \А\ 2.
Доказательство. Так как Y состоит из нулей, то СопУ =Eqy. Согласно предложению 5.1 решётка СопХ содержит подрешётку, изоморфную решётке СопУ. Хорошо известно, что решётка Eqy при У 3 немо-дулярна. Следовательно, так как решётка СопХ модулярна, то \Y\ 3. Далее, пусть а - произвольное отношение эквивалентности на множестве А. Нетрудно увидеть, что тогда отношение crU {Y х Y) будет конгруэнцией полигона X, причём отображение а 4 d U (F х У) является решёточным вложением решётки EqA в решётку СопХ. Так как решётка СопХ модулярна, то \А\ 3.
Осталось доказать, что \А\ 2. Если \А\ = 3, т.е. А = {а Ь с}, то отношения эквивалентности (У), (aY), (bc)(aY), (abcY), (ab)(cY) являются конгруэнциями полигона X и образуют пентагон (см. рисунок 5.2). Это противоречит модулярности решётки СопХ. Таким образом, \А\ 2. {abcY) ab){cY) Рис. 5.2: Подрешётка решётки СопХ в лемме 5.3 Следующая лемма даёт ещё одно необходимое условие модулярности решётки СопХ. Лемма 5.4. Пусть X - полигон над полугруппой левых нулей S, Y = XS, А = X\Y и пусть а}Ь Є А, а = Ь. Если решётка СопХ модулярна, то aSnbS ф 0. Доказательство. Пусть aS П bS = 0. Возьмём какое-нибудь s Є S. По ложим у = as, z = bs. Рассмотрим отношение р = (ab)(Y). Очевидно, что р - конгруэнция. Так как aS П bS = 0, то мы имеем разложение X = aS1 U bSl(L\Y ), где Y = Y \ (aS U bS), скобки означают, что тре тье слагаемое отсутствует, если Y = 0. Мы имеем (a,b),(y,z) Є р, а (а, у), (6, z) р, при этом а, у находятся в одном слагаемом, а 6, z - в дру гом. Следовательно, конгруэнция р сквозная. Согласно предложению 5.2 решётка СопХ не модулярна.