Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных и интенсивно развивающихся направлений теории групп является изучение строения групп по заданным свойствам некоторых систем их подгрупп. Результати, относятся к этому направлегата, широко представлены в работах многих алгебраистов.
Начало указанного направления связано с появлением работ Р.Дедекинда, Г.Миллера и Г.Морено, О.Ю.Цждта и других авторов. Общая задача описания строения групп с ограничениями для тех или иных систем их подгрупп явно с.Торкулкровака в работах С.Н.Черникова. На этом пути были выделены и детально описаны многие классы групп, обогатившие конкретную базу теории групп.
При таком подходе пре.тде всего выделяются и изучаются классы групп, у которых все собственные подгруппы обладают некоторым теоретико-групповым свойством \у . В этом случае сама группа не обязана быть $-группой. Не 6 -группа, у которой все собственные подгруппы являются 6?-группами, называется минимальной не 0-груп-псй. Хорошо известны следующие классы минимальных не &-групп: класс конечных минимальных неабелевых групп /групп Миллера - Морено/, введений в рассмотрение и изучавсийся Г.Миллером и Г.Морено в 1903 г; класс конечных минимальных ненильпотентных групп /групп Шмидта/, введенный в рассмотрение и изучавиийся О.Ю.Шмидтом в їй: 4 г. Дальнейшие исследования в этом направлении посвящаются выделению и изучении- классов групп, у которых свойством & обладает каздая подгруппа из некоторой системы 2 , содержащей не все собственные подгруппы рассматриваемой группы. В качестве 2-> монет выступать, например, система всех: ^-максимальных, 3-макси-мальных и т. д. подгрупп конечной группы.
Напомним, что подгруппа П группы G называется «--максимальной, если 0 содержит такую максимальную подгруппу /7 , что ИСМ и ^ является (к.--і)-максимальной подгруппой в группе G .
При этом для О-і под (М-^-максимальной подгруппой понимается вся группа.
Много работ посвящено решению подобных теоретико-групповых задач.
Так, например, в 1970-К7йг.г. появились две работы, дающие
описание конечных неабелевых примарних групп, в которых все 2-
максимальные по,дгруппы абелевы /Казарин Л.С. и Шериев В.А. /,
/случай П = 2 /.
В ІГ68 году Еелоногошн было получено описание конечных
разрешимых групп с нильпотентными 2-максимальными подгруппами. П. Пел "я в 1981 г. изучал непркмарные разрешимое группы с абелэ-2-і,іалСЕ:та";ьни:.2: подгруппаї.л.
Я.Г.Ееркович изучал конечные группы, у которых все /1-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта.
С.С.Лєеищєнко, Н.Ф.Кузенный изучали'строение групп с условиями дисперсивности для П-максимальнкх подгрупп.
К указанному направлению принадлежит и настоящая диссертация,
В качестве системы подгрупп > в данной работе выступает множество всех 3-:.:акси.\:альных подгрупп конечной группы G , а под теоретико-групповым свойством О понимается абелевость всех подгрупп из системы 51 . Обозначим через QL класс конечных групп, у которых существует хотя бы одна неабелева (и-1)-максимальная подгруппа, а все их /^-максимальные подгруппы являются абелевыми.
Пусть №р - класс конечных О -групп, содержащихся в CJL , таких, что их порядок больше ра . Такое ограничение на порядок групп :-1 класса ОТр оправдано, так как среди групп порядка не выше р не существует групп, содержащих неабелеву П.-максимальную подгруппу. Кроме того, для малых Сі эти группы ухе изучень 3 лемме 9 настоящей работы будет доказано, что при таком ограничении на порядок dp -группы G её нккниіі слои }\ъ) является элементарной абелеаой группой.
Класс СД. , как уде упоминалось, был введен в рассмотрение в 1903 году Г.Миллером и Г.Морено. Конструктивное описание групп класса Сл- , получивших в послздетвии название групп ыил-лера-Морено, было получено .в 1947 году Л.Редей. Описание групп класса СЯр было независимо получено Казариным-Л.С. и Шериевым В.А. Отметим таюпе, что непримарные разрешимые группы изучены П.Пелфи, а неразрешимые ОІ -группы - I.Редей и З.Янко. Непримарные СЯ, - ' группы ксследозали Г.Гагин, З.Янко, Я.Г.Ееркович, С.С.Левищенко, Н. Ф.Кузенный.
Целью р а б^о т ы является описание конечных регулярных 2-порог.денных ^р-групп с точностью до порогдаюших элементов и определяющих отношений. Напомним, что р-группа называется регулярной /или регулярной в смысле «.Холла/, если для любых её элементов 5-й 6 и любого /Z- Р , выполняется равенство \аЪ) =:&> 0^,.,0^, где Si/S^/ ,,.;Sf- некоторые элементы коммутанта подгруппы <а-,#> .
Общая методика исследования. При решении поставленной задачи осуществляется единый подход, состоящий в расширении tXp-группы
порядка р . Далее на полученную группу G накладываются такие ограничения, чтобы рассматривав?:ая группа включалась в класс CJLp и проверяется дос/аточность этих ограничений. В каждом конкретном случае устанавливается не изоморфна ли полученная группа ранее найденным О" р-группам.
Теоретическое значение и научная новизна работы. Тєоретітческое значение работы состоит в описании класса конечных регулярных 2-порогденкых СЛр -групп; доказано, что все группы из класса СЯр имеют не более четырех образующих; получены некоторые результаты, касающиеся З-поро.-ден-ных и 4-порозденнкх Оір -групп; установлено, что для простого числа р>3 все \Jit> -группы регулярны. Ряд результатов данной работы характеризует свойства Dtp -групп. В частности доказано, что ниглий слой регулярной іЛп -группы абелев, а таксе, что если группа п из класса СЛр~, то группа Ц*<С> t где 1с1~р, является Сд-р -группой. Определенный самостоятельный кнтетэес представляют факты, касающиеся надгрупп подгруппы 5раттини 4 (&). Так как изучаемые группы строились при помощи QJLp -группы, то автору пришлось уточнить список OZp-групп, получений В.А.Шерпе.Екм /были исключены из этого списка группыгке являющиеся Ctp -группами,, а такке в калдом типе оставлены липь неизомор'иие группы/.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах по теории групп. Института математики АН Украины /г.Киев 1990 г./, на киевском городском алгебраическом семинаре /г.Киев i?9i v./, на отчетных научных конференциях КГПИ им. М. П. Драг оманова /1S87-J.990 г.г./.
П у б л и к а ц. и- и. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і-4 ],
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 95 страницах машинописного текста. Она состоит из введения, семи параграфов, разбитых на две главы, и списка литературы, которьіі содержит 36 наименований.