Введение к работе
По теореме Силова конечная группа обязательно содержит подгруппы, порядок которых — степень простого числа р. Поэтому знания о детальном строении р -групп могут быть полезны при решении любых задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2 -групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.
Конечные р -группы являются весьма сложным объектом для изучения, так как с ростом порядка группы разнообразие в строении р-групп и их количество возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморф-ных 2-групп порядка 2е уже более тысячи. Поэтому особый интерес представляет поиск и изучение тех классов р -групп, которые поддаются детальному описанию.
К ним относится класс конечных р-групп с циклическим коммутантом, исследованию которых посвящены работы многих специалистов. Изучение этого класса представляет интерес еще и потому, что любая не-абелева р -группа содержит подгруппу с неединичным циклическим коммутантом.
Существует множество работ, в которых с разных точек зрения изучались конечные р-группы с циклическим коммутантом и некоторыми добавочными условиями (см., например, [1], [7], [15], и [19]). Наиболее широкий класс — р-группы с циклическим коммутантом при р > 2 и 2 -группы G с циклическим коммутантом и дополнительным условием [G, G, G] С [G, G]4 , исследован Я.Ченгом [1], показавшим, что эти группы представимы в виде центрального произведения 2 -порожденной группы и группы класса нильпотентности 2 .
Изучением строения конечных р -групп класса 2 с циклическим коммутантом, занимались многие авторы, и в [7] и [8] Леонгом получено описание (с точностью до изоморфизма) конечных р -групп класса 2 с циклическим центром (и значит, с циклическим коммутантом).
На пути описания с точностью до изоморфизма более широких классов групп В.В. Сергейчуком [15] обнаружено непреодолимое препятствие: получение описания конечных р-групп класса 2 с циклическим коммутантом порядка р2 (и без ограничений на центр) эквивалентно решению дикой матричной задачи — приведению к каноническому виду пары матриц одновременными преобразованиями подобия.
В диссертации получены следующие результаты: во-первых, исследовано строение 2 -групп с циклическим коммутантом, в которых не выполняется условие [G, G, G] С [G, G]* . Такие группы представимы в виде
IG'I < P2 ->
cl{G) < 2
.P = 2
+ [С,С,С][С,С)*
Z(G) циклический
Рис. 1. Конечные p -группы с циклическим коммутантрм
центрального произведения не более чем 4 -порожденной группы с группой класса 2.
Во-вторых, описаны с точностью до изоморфизма конечные р-группы с циклическим коммутантом, циклическим центром и классом нильпотентности больше 2 (при р = 2 описаны только группы с условием [G, G, G] С [G, G]* ). Такие группы представимы в виде центрального произведения 2 -порожденной группы одного из 13 типов, задаваемых пятью числовыми параметрами, с группой класса 2. Учитывая результаты В.В. Сергейчука, можно предположить, что это — максимальный естественно определяемый класс р -групп, допускающих приемлемое описание.
Другое направление исследований в диссертации — это установление связи между р -группами и кольцами Ли.
Конечную р-группу можно построить из абелевой, последовательно присоединяя автоморфизмы порядка р, поэтому коммутаторная структура р-группы в большой степени характеризует структуру всей группы, и коммутаторное исчисление — один из основных инструментов в изучении р -групп.
Известен следующий подход, облегчающий вычисления: на множестве элементов группы определяют операции кольца Ли, определенным образом связанные с групповой операцией, что позволяет линеаризовать некоторые коммутаторные вычисления в группе.
С 50'х годов был известен только один способ подобного превращения р -группы в кольцо Ли, основанный на формуле Бейкера - Хаусдорфа, которая возникла из следующих соображений.
Рассмотрим степенной ряд є1 = 1 + x/V. +х2/2'.... в ассоциативной алгебре А над полем характеристики 0 [12]. Операция х у = г , определенная по правилу exev = ег , является групповой операцией на множестве элементов А . Оказывается, если брать х и у из подалгебры L алгебры Ли, ассоциированной с А , то z тоже лежит в L . Более того, существует формула і0у = і + у+(х, у)/2 + ... (под (х, у) имеется в виду лиево коммутирование — (х, у) = ху — ух ), известная как формула Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа - Дынкина, позволяющая выразить групповую операцию 0 через сложение и лиево коммутирование. Таким образом, можно определить на некоторых алгебрах Ли групповую структуру [12].
Основываясь на этой формуле А.И.Мальцев [13], установил связь между полными нильпотентными группами без кручения и нильпотентными алгебрами Ли над полем рациональных чисел, а Лазар в [6], установивнл связь между конечными р-группами класса нильпотентности, меньшего р , и соответствующими кольцами Ли.
Следует заметить, что группы и кольца Ли, связанные формулой Бейкера - Хаусдорфа, обладают похожими алгебраическими свойствами, так как групповой гомоморфизм одновременно является кольцевым гомоморфизмом, подгруппа является подкольцом и т.п. Этот факт был успешно использован Сановым [14], Магнусом [9], Хухро [16] и некоторыми другими авторами для получения значительных результатов о строении р -групп, в частности, при решении ослабленной проблемы Бернсайда.
Возникает естественный вопрос: существует ли другой способ определять на р-группе структуру кольца Ли, при котором сохраняются основные алгебраические свойства.
В диссертации доказано, что на конечных р-группах класса нильпотентности, меньшего р, может быть определена только одна пара лиевых операций со свойствами:
А1) a + b = ab (mod (а, Ь)') и (а, 6) = [а, Ь] (mod 7з((а,6»),
А2) каждый групповой гомоморфизм является кольцевым гомоморфизмом.
Начало следующему этапу исследований в этом направлении положил Куппер, когда ввел в [2] понятие вербалъно-абелевой группы. Это — группа, на которой можно ввести при помощи группового слова W(а,Ь) операцию a +b~ W(a,b) , относительно которой множество элементов группы является абелевой группой. Там же Куппер доказал, что вербально-абелевыми являются р -группы класса 3 при р > 3 (вербальная абелевость р-групп класса 2 при р > 2 была известна уже давно). В [3] Гроуз установил вербальную абелевость конечных р -групп класса нильпотентности, меньшего р, не используюя формулу Бейкера - Хаусдорфа. Им же было замечено, что вербально-абелевы р-группы регулярны. В действительности, из доказательства Гроуза следует, что р-группа с определенной на ней нарой лиевых операций, удовлетворяющих условиям А1 и А2, регулярна.
Но не на всякой регулярной р -группе можно определить лиевы операции с нужными нам свойствами, что было показано Е.И.Хухро в [17], построившим пример регулярной 3-порожденной р-группы экспоненты р и класса р, обладающей автоморфизмом, который не может быть автоморфизмом абелевой группы.
В связи с этим представляет интерес поиск других классов регулярных р-групп, допускающих превращение в кольца Ли с сохранением основных алгебраических свойств.
В диссертации найден достаточно широкий класс р-групп (содержащий, в частности, все конечные р-группы с циклическим коммутантом), допускающих подобного рода превращение в кольцо Ли.
Кроме того, в диссертации приводится новое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, точнее, доказательство регулярности р-групп, класса нильпотентности, меньшего р , -— утверждения, с которого началось изучение регулярных р-групп. Все предыдущие доказательства этого факта [5], [12], [4] основаны на использовании собирательного процесса1, и поэтому в них необходимо применение специфических комбинаторных вычислений. Предлагаемое доказательство не использует собирательный процесс, а основано на методах, развитых при изучении строения минимальных нерегулярных р -групп [10] [11], благодаря чему оно небольшое по объему и содержит только стандартные теоретико-групповые рассуждения.
В работе используются методы, конструкции и результаты теории конечных р-групп.
Это процесс перестраивания слова арЬр в слово (аЬ)р ср ..., используя тождество ab = ba[a, b] .
Все перечисленные результаты являются новыми.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении конечных групп и р -групп.
Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), IV Международной Алебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), заседании семинара "Алгебра и логика" СО РАН, заседании семинара "Алгебраические системы" (УрГУ) и заседаниях алгебраического семинара отдела алгебры ИММ УрО РАН.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]-[24].
Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 31 наименование. Общий объем диссертации составляет 68 страниц.