Введение к работе
Актуальность темы. Гомологическая алгебра как самостоя -тельный раздел алгебры оформилась в 50-ые года. В монографии А.Картана и С.Эйленберга \~1^ были намечены перспективные направления ее развития.
В 1955 г. Ж.Ж.-П.Серром [2^ была выдвинута гипотеза: Все ли проективные модули над кольцом многочленов от конечного числа коммутирующих переменных над полем являются свободными. Эта гипотеза и программа в области гомологической классификации колец, выдвинутая в 1961 г. Л.А.Скорняковым [з]. определили основные направления исследований в гомологической алгебре.
Основная цель этой программы - исследовать^каким образом свойства категорий модулей над кольцом отражаются на свойствах самого кольца. В этой классификации важнейшая роль -отводилась свободным, проективным, инъективным, плоским, конечно-связанным и полусвободным модулям.
За прошедший период усилиями ряда отечественных и зарубежных математиков гипотеза Ж.Ж.-П.Серра была полностью решена. Окончательное положительное решение гипотезы дали одновременно А.Суслин [4J и Д.Квиллен [VJ.
Проблему свободное проективных модулей над некоторыми классами колец изучали И.Капланский Гб], Х.Басс [1J , У.Хиноха-ра Гв! , Д.Лазар Гэ1, В.А.Артамонов ГI0J. Например, И.Каплан -ский [б] установил, что всякий проективный модуль является прямой суммой счетно порожденных модулей.
Все эти годы продолжались интенсивные исследования по программе Л.А.Скорнякова. Они продолжаются и в настоящее время.
Основополагающей в идейном аспекте для гомологической классификации колец является следующая теорема Х.Басса ["ilj. Для кольца (I следующие условия эквивалентны:
- 4 -С a). ft -с свершенное справа кольцо. ( ё XВсякий плоский правый Я-модуль является проективным. (С ), Прямой предел проективных, правых ft-модулей проективен. (а). Кольцо R. удовлетворяет условию минимальности для левых главных идеалов. Ж.Б.Бьёрк |l2J дал характеристику совершенных справа колец в терминах условия минимальности для конечно порожденных подмодулей модуля, а Д.Джахан [l3j в терминах, условия максимальности циклических подмодулей модуля.
Квази^фробениусово кольцо исследовал К.Фейс flV] и установил эквивалентность следующих условий: ( CL). R. является квази-фробениусовым кольцом. С 6 ). Всякий иньективный правый л_-модуль проективен. ( С ). Всякий счётно порожденный проективный правый R. -модуль иньективен.
Г.М.Бродский [l5j охарактеризовал квазифробениусово кольцо /2 через кольцо эндоморфизмов вполне проективного (вполне иньективного) К. -иодуля.
Х.Йешен |іб} установил, что если ядро эпиморфизма Р —> —* П—*0 , проективный модуль г и плоский модуль П счётно порождены, то Н?ЇУ проективен.
Целый ряд работ был посвящен вопросу проективности конечно порожденных плоских модулей. С.Монг [l7j доказал, что над коммутативным кольцом проективность всех циклических плоских модулей влечёт проективность всех конечно порожденных плоских модулей. Этот- результат передоказал В.Васкошелос [I&J. Автор Гі9І установил, что проективность всех циклических плоских, правых К -модулей эквивалентна стабилизации всякой право-регулярной возрастающей цепи главных правых идеалов кольца /с .
С.Йондруп [2Qj ,[2Ij н Г.В.Чирков [22] показали, что проективность всех циклических плоских правых Ft -модулей не влечёт проективность всех конечно порожденных, плоских правых R, -модулей.
Д.іазар [9J .изучая свойства проективных, модулей, выдвинул следующую гипотезу:
2А. Бели для проективного правого гь-модуля Р фактор модуль P/PJ(R.)конечно порожден, то Л -модуль Р конечно порожден. В случае коммутативного кольца справедливость этой гипотезы доказана им самим.
X.J5acc {її} установил, что если Q и Р^ конечно порожденные проективные правые Ц_ -модули и фактор модули PlJQ'JXQ) и PxIQJ'tR.) изоморфны, то модули^ и Pj^ изоморфны.. И.Бек [zS] усилил этот результат, предполагая конечную порожден-ность только одного из модулей ^ и Ц_ ; с последним результатом перекликается утверждение Ф.Сандомирского [2і/] о конечной порожденности проективных правых идеалов кольца /с с нулевым сингулярным идеалом T-(fZ) . М.Валетт [25J и С.ЙондрупІ2б7 указали, что над PJ -кольцом гипотеза Д.Лззара решается юложительно.
Изучая вопрос о проективности конечно порожденных плоских юдулей автор и Г.Чирков [VlJ выдвинули гипотезу:
2. Всякий конечно порожденный плоский правый л. -модуль іад полулокальным кольцом проективен.
Справедливость этой гипотезы в случав полулокального кольца ! единственным примитивным идеалом доказана ими самими [Vj , , в случае коммутативного кольца В.Васконселом [SiFj и С.Эндо
[so].
Цель работы - решение сформулированных выше двух гипотез. Установление их взаимосвязи, разработка необходимых и достаточных условий для кольца /с , при которых эти две гипотезы (Д.Лазара и упомянутая гипотеза автора с Г.В.Чирковым) решаются положительно; конструкция классов колец, для которых они решаются отрицательно; исследование конечной, порожден-ности проективных модулей над некоторыми типами колец.
Основные методы. Для доказательства основных результатов используются методы; теории колец и крлец с ft -членным слабым алгоритмом, локализации и универсальных расширений ассоциативных кодец. Во второй главе работы разработан способ редукции соотношений.между элементами кольца, определенными исследуемыми проективными модулями.
В третьей главе развита техника исследования проективных модулей над РХ -кольцами, которая опирается на наличие стандартного тождества. Результаты четвертой главы опираются на конечность ранга группы Гротендшса категории конечно
порожденных проективных модулей над полулокальным кольцом, на метод локализации В.Н.Герасимова.
В исследованиях пятой главы используется слабое
условие Гротендика.
Апробация. Результаты работы докладывались на научных
семинарах кафедры алгебры и итоговых научных конференциях Казанского университета, кафедр алгебры Московского и Санкт-Петербургского университетов, отдела теории .колец Института математики СО РАН, отдела теории колец и модулей Института математики с ВЦ АН Молдовы, на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.Мальцева, на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.й.Ширщова, на
- 7 -Х.ІУ - XJX Всесоюзны» алгебраически* конференциях:, на Всесоюзных коллоквиумах; и шкалах; пат алгебре.
Совместный, результат В.Н.Герасимова » автора W] вошел в "ЬЕготк науки и техники". Современные проблемы математики [40.1. Все основные- результаты диссертации опубликована б статьях [*Hj~
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пятв глав, разбитых на 13 параграфов, списка литературы, насчитывающего- 117 наименований. Общий, абъем работы - 226 страниц.