Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Конструктивная компактификация при наличии универсального семейства 18
Вводные замечания 18
1.1. Промежуточное раздутие 21
1.2. Основная конструкция. Доказательство теоремы 1 26
1.3. Структура проекции 7г: доказательство теоремы 2 36
Глава 2. Конструктивная компактификация при отсутствии универсального семейства 41
Вводные замечания 41
2.1. Промежуточное раздутие 45
2.2. Основная конструкция: разрешение в плоские семейства 50
2.3. Отношение эквивалентности и его этальность 58
2.4. Алгебраическое пространство Мс и его схемность 62
Глава 3. Объекты параметризации. Стабильность (полустабильность) 66
Вводные замечания 66
3.1. Особенности пучка Е 69
3.2. Устранимость особенности 71
3.3. Структура схем S 72
3.4. Когерентные пучки и их разрешения 76
3.5. Стандартное разрешение и грассманианы 81
3.6. Выделенная поляризация схемы S 93
3.7. Изоморфизм H0(S, ELm) H0(S, Е Lm) 94
3.8. Стабильность (полустабильность) 98
Глава 4. Построение Mred 101
Вводные замечания 101
4.1. М-эквивалентность полустабильных пар 108
4.2. о-Произведение и разрешение в моноиде (}[Е] 119
4.3. Ограниченность семейств полустабильных пар 122
4.4. РСЬ(У)-действия, РСЬ(У)-стабильность и РСЬ(У)-факторы 126
4.5. Морфизмы приведенных компактификаций и проективность Mred 137
4.6. Сравнение эквивалентностей 140
4.7. Mred как пространство модулей 143
Глава 5. Неприведенная схема модулей 145
5.1. Редукция функтора модулей и его схемы модулей 147
5.2. Неприведенная схема модулей для f 149
5.3. Подфункторы и подсхемы модулей 157
Глава 6. Существование универсального семейства 160
6.2. Главное расслоение и теория спуска 169
6.3. Проверка свойства универсальности 173
6.4. Псевдосемейство и его универсальность 177
Глава 7. Об одном изоморфизме компактификаций схемы модулей векторных расслоений 183
7.1. Морфизм функторов модулей: доказательство теоремы 13 185
7.2. Изоморфизм схем модулей: доказательство теоремы 14 192
Глава 8. Критерий плоскости над неприведенной базой 196
8.1. Примеры 199
8.3. Доказательство для когерентного С т-модуля 204
Глава 9. Морфизм неприведенных функторов модулей. Морфизм схем
9.1. Функторы и модули 208
9.2. Стандартное разрешение для семейства с неприведенной базой 209
9.3. Построение морфизма функторов 216
9.4. Морфизма схем модулей 218
Глава 10. Изоморфизм компактификаций модулей векторных расслоений: неприведенные схемы модулей 221
10.1. Морфизм функторов модулей 222
10.2. Изоморфизм функторов модулей 227
Заключение 234
Литература
- Основная конструкция. Доказательство теоремы 1
- Отношение эквивалентности и его этальность
- Когерентные пучки и их разрешения
- Морфизмы приведенных компактификаций и проективность Mred
Введение к работе
Актуальность темы. Основным стимулом к поиску тех компак-тификаций модулей векторных расслоений, которые используют только локально свободные пучки, является исследование модулей связностей в векторных расслоениях. Соответствие Кобаяши - Хитчина позволяет применять алгебро-геометрические методы к задачам дифференциально-геометрического и теоретико-калибровочного содержания, сводя работу с модулями связностей в векторном расслоении к работе с модулями векторных расслоений, стабильных в смысле наклона, а также наоборот, вовлекать средства и результаты калибровочной теории в алгебро-геометрический контекст.
Рассматриваются компактная комплексная алгебраическая поверхность X, дифференцируемое комплексное векторное расслоение Е на X, эрмитовы метрики д на X и h на Е. Пусть Мд1(Е) - пространство модулей классов изоморфизма ^-стабильных голоморфных структур на Е, MfE{E,h) - пространство модулей классов калибровочной эквивалентности /г-унитарных #-эрмитово-эйнштейновых связностей в расслоении Е. Усилиями многих математиков (С. Дональдсон, Ш. Кобаяши, Дж. Ли, М. Любке, К. Уленбек и С.-Т. Яу, Н. Бухдал, М. Ито и Х. Нака-джима и др.) развита в различных аспектах теория, основной результат1 которой может быть сформулирован следующим образом:
Существует вещественно-аналитический изоморфизм M^E(E,h) ^М^(Е).
Если X - проективное многообразие и ходжева метрика д ассоциирована с гиперплоским сечением Н, то ^-стабильность совпадает с ^-стабильностью векторного расслоения Е в смысле наклона.
Для расслоений ранга 2 Дж. Ли2 показал, что компактификация Дональсона-Уленбек пространства (классов калибровочной эквивалентности) антиавтодуальных связностей допускает такую комплексную структуру, что на нем индуцируется структура приведенной проективной схемы. При этом компактификация Гизекера - Маруямы схемы модулей стабильных векторных расслоений обладает морфизмом на схему антиавтодуальных связностей.
lLubke М., Teleman A. The Kobayashi - Hitchin Correspondence. Singapore: World Scient. Publ. Co., 1995. 254 p.
2Li J. Algebraic geometric interpretation of Donaldson polynomial invariants // J. Diff. Geom. 1993. Vol. 37, №2. P. 417-466.
Схемы модулей стабильных векторных расслоений на алгебраических многообразиях обычно непроективны (и некомпактны)34, и для применения методов алгебраической геометрии полезно включить схему (многообразие) модулей векторных расслоений как открытую подсхему в некоторую подходящую проективную схему. Такая задача традиционно называется задачей компактификации пространства модулей. Классическим (но не единственным) ее решением является компактификация Гизекера – Маруямы. Для ее построения необходимо разрешить вырождение в полустабильные не локально свободные когерентные пучки без кручения с тем же полиномом Гильберта на том же многообразии. Ввиду указанного вырождения компактификация Гизекера – Маруямы может оказаться не всегда удобной.
Впоследствии можно надеяться на реализацию аналога конструкции, данной в этой диссертации, в категории комплексно-аналитических пространств и построение соответствия Кобаяши – Хитчина на комплексно-аналитических пространствах, соответствующих допустимым схемам. Это позволит изучать пространства связностей в терминах построенной компактификации.
Степень разработанности темы. Обзор результатов по теории стабильных векторных расслоений и стабильных главных расслоений в связи с общей теорией относительности, квантовой теорией поля, пространствами модулей и их компактификациями до 2009 года дан в статье Т. Гомеза и И. Солза 5. Своим содержанием теория обязана в первую очередь таким исследователям, как И. В. Артамкин, Ф. А. Богомолов, Л. Гeттше, Д. Гизекер, Ж.-М. Дрезе, Ж. Ле Потье, Дж. Ли, М. Маруяма, В. Б. Мехта и А. Раманатхан, К. О’Грэйди, С. А. Стрeмме, А. Хиршовиц, К. Хулек, Х. Шпиндлер, Р. Шварценбергер, Г. Эллингсруд и другие. В настоящее время интерес математиков к исследованию векторных расслоений и их пространств модулей не ослабевает, о чем может свидетельствовать вышедший в 2012 году тематический выпуск Центрально-Европейского Математического Журнала (Central European Mathematical Journal. 2012. Vol.10. №4).
Наиболее детально изучена классическая компактификация
3Maruyama M. Moduli of stable sheaves, I // J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). 1977. Vol. 17, №1. P. 91–126.
4Maruyama M. Moduli of stable sheaves, II // J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). 1978. Vol. 18, №3. P. 557–614.
5Gomes, T., Sols,I. The Hermite–Einstein Equation and Stable Principal Bundles (an updated survey) // Geom. Dedicata. 2009. Vol. 139. P. 83 – 98.
Гизекера – Маруямы. Известны также компактификация Дональдсона– Уленбек 6 (использующая так называемые идеальные связности) и ее алгебро-геометрический аналог для пучков с оснащением, построенный У. Бруццо, Д. Маркушевичем и А.С. Тихомировым 7, компактификация Таубса–Уленбек–Фихана 8 и анонсированная в общем случае и построенная в ранге два Д. Маркушевичем, А.С. Тихомировым и Г. Траутманном 9 алгебро-геометрическая компактификация деревьями раздутий. Она является полным алгебраическим пространством.
Цели и задачи работы. Целью исследования является интерпретация вырождения полустабильных локально свободных пучков на поверхности в плоских семействах в терминах вырождения поверхности, в то время как локально свободные пучки должны вырождаться в локально свободные пучки. Для этого ставились и решались следующие задачи: разработка процедуры преобразования плоского семейства полустабильных по Гизекеру когерентных пучков на поверхности S в семейство пар поляризованная проективная схема – векторное расслоение; построение проективных схем, получающихся при таком вырождении поверхности S; описание класса объектов (полустабильных пар), получаемых при вырождении, построение основных компонент соответствующих функтора/схемы модулей и исследование морфизма основных компонент функтора/схемы Гизекера – Маруямы на построенные основные компоненты функтора/схемы модулей. Также ставились и решались задачи о существовании и построении универсального семейства (псевдосемейства) объектов параметризации для полученной схемы модулей. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Здесь впервые:
предложено преобразование (названное стандартным разрешением) плоского семейства когерентных полустабильных пучков без кручения на поверхности, содержащего локально свободные пучки, в плоское семей-6Donaldson S.K. Compactification and completion of Yang – Mills moduli spaces // Differential Geometry, Peniscola, 1988. Lecture Notes in Math, 1410. Berlin: Springer. 1989. P. 145 – 160.
7Bruzzo, U., Markushevich,D., Tikhomirov,A. Uhlenbeck–Donaldson Compactification for Framed Sheaves on Projective Surfaces // Math. Z. 2013. Vol. 275. №3–4. P. 1073 – 1093.
8Feehan P.M.N. Geometry of the ends of the moduli space of anti-self-dual connections // J. Diff. Geom. 1995. Vol. 42, №3. P. 465–553.
9Markushevich D., Tikhomirov A. S., Trautmann G. Bubble tree compactification of moduli spaces of vector bundles on surfaces // Cent. Eur. Math. J. 2012. Vol. 10, №4. P. 1331–1355.
ство допустимых схем, несущее локально свободные пучки и, тем самым, вырождение полустабильных локально свободных когерентных пучков в плоском семействе на алгебраической поверхности интерпретировано в терминах вырождения базисной схемы (поверхности) [1, 2,3, 4,10] ;
введено понятие стабильности (полустабильности) пар ((S,L),E) "поляризованная допустимая схема (S, L) - локально свободный пучок Е" и установлена связь такой стабильности (полустабильности) со стабильностью (полустабильностью) по Гизекеру для (не локально свободных) когерентных пучков, получаемых вырождением в том же семействе локально свободных пучков на поверхности S [5];
введено понятие М-эквивалентности на множестве полустабильных пар "допустимая схема - локально свободный пучок" и изучена его связь с S-эквивалентностью полустабильных когерентных пучков [5];
дано построение тех компонент схемы модулей полустабильных пар, которые содержат пары с5 = 5 [5,7];
доказано, что построенные компоненты являются проективными алгебраическими схемами, бирациональными соответствующим компонентам схемы модулей когерентных пучков по Гизекеру - Маруяме [5, 7];
изучено, когда построенная схема модулей обладает универсальным семейством и универсальным псевдосемейством [8,11];
установлен изоморфизм основных компонент функтора модулей полустабильных когерентных пучков без кручения и основных компонент функтора модулей допустимых полустабильных пар [10,11];
доказано, что построенная схема модулей изоморфна схеме модулей Гизекера - Маруямы [7,10,11];
доказано обобщение на случай неприведенной базы известного критерия, позволяющего заключить, когда когерентный пучок является плоским относительно проективного морфизма схем, и использующего полиномы Гильберта ограничений пучка на слои морфизма [9].
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты ее могут быть использованы в исследованиях схем модулей когерентных пучков, векторных расслоений и пространств модулей связностей в расслоенных пространствах.
Методология и методы исследований. Работа относится к алгебраической геометрии. В ней используются методы теории алгебраических схем А. Гротендика, теории алгебраических пространств, теории пространств модулей, геометрической теории инвариантов, теории спуска и теории квазикогерентных алгебраических пучков.
Положения, выносимые на защиту. Результаты, выносимые на защиту, составляют 15 теорем и 2 следствия: в главе 1 теоремы 1 (существование конструктивной компактификации в случае, когда схема Ги-зекера – Маруямы обладает универсальным семейством пучков, а также морфизм конструктивной компактификации на многообразие модулей Гизекера – Маруямы) и 2 (структура семейства схем над конструктивной компактификацией), в главе 2 теорема 3 (существование конструктивной компактификации в случае, когда схема Гизекера – Маруямы не обладает универсальным семейством, а также морфизм конструктивной компактификации на многообразие модулей Гизекера – Маруямы), в главе 3 теоремы 4 (строение слоев семейства схем над конструктивной компактификацией) и 5 (взаимосвязь стабильностей, взаимосвязь полу-стабильностей), в главе 4 теорема 6 (существование приведенной компак-тификации как схемы модулей приведенного функтора полустабильных пар, а также морфизмов между конструктивной, приведенной компак-тификацией и многообразием Гизекера – Маруямы), в главе 5 теорема 10 (существование неприведенной компактификации как схемы модулей неприведенного функтора полустабильных пар), в главе 6 теоремы 11 (существование универсального семейства) и 12 (существование универсального псевдосемейства), в главе 7 теорема 13 (морфизм приведенного функтора модулей когерентных полустабильных пучков без кручения на приведенный функтор модулей полустабильных пар) и 14 (изоморфизм приведенной компактификации и приведенной схемы Гизекера – Маруямы), в главе 8 теорема 16 (обобщение критерия плоскости проективного морфизма, использующего полиномы Гильберта его слоев, на случай неприведенной базы морфизма) и 17 (критерий плоскости когерентного пучка относительно проективного морфизма с неприведенной базой), в главе 9 теорема 18 (существование морфизма функтора модулей когерентных полустабильных пучков без кручения в функтор модулей допустимых полустабильных пар) и ее следствие 13 (существование морфизма схем модулей), в главе 10 теорема 20 (существование морфиз-ма функторов модулей, обратного к морфизму теоремы 18, и тем самым изоморфизм функторов модулей) и следствия 14 (изоморфизм схем модулей) и 15 (существование универсального семейства на построенной схеме модулей). Перечисленные результаты не являются независимыми; их логические связи представлены в следующей таблице:
Достоверность результатов. Апробация работы. Все результаты работы снабжены строгими доказательствами. Они излагались на следующих конференциях и семинарах в России и за рубежом: семинар Института Миттаг - Леффлера, Дьюрсхольм, Швеция, февраль 2007 г.;
Международная конференция "Анализ и особенности", посв. 70-летию В.И. Арнольда, МИАН им. В.А. Стеклова, Москва, 20 – 24 августа 2007 г.;
Международный конгресс, посвященный Л. Эйлеру: семинар "Модулярные формы и пространства модулей", С.-Петербург, 2 – 7 июля 2007 г.; Международная алгебраическая конференция, посв. 100-летию проф. А.Г. Куроша (1908–1971), МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 28 мая – 3 июня 2008 г.;
семинар отдела алгебры МИАН им. В.А. Стеклова 24 июня 2008 г.; Conference on Moduli Spaces (MOD workshop), Центр Математических исследований, Уорвик, Великобритания, 6 – 11 июля 2008 г.; Современные проблемы математики, механики и их приложений. Международная конференция, посв. 70-летию В.А. Садовничего, МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 30 марта – 2 апреля 2009 г.; VII Международные Колмогоровские чтения, ЯГПУ им. К.Д. Ушинско-го, Ярославль, 18 – 21 мая 2009 г.;
Международная конференция "Мальцевские чтения", посв. 100-летию со дня рождения А.И. Мальцева, Новосибирск, 24 – 28 августа 2009 г.; Международная конференция "Инстантоны в комплексной геометрии", МИАН им. В.А. Стеклова, Москва, 13 – 18 марта 2011 г.; 7 Конгресс румынских математиков, Брашов, Румыния, 29 июня – 5 июля 2011 г.;
"Моделирование и анализ информационных систем", ЯрГУ им. П.Г. Демидова, Ярославль, 6 – 7 февраля 2012 г. ;
X Международные Колмогоровские чтения, ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, Ярославль, 15 – 18 мая 2012 г.;
Международная конференция "Мальцевские чтения", посв. 80-летию со дня рождения В.П. Шункова, Новосибирск, 12 – 16 ноября 2012 г.; семинар отдела алгебры МИАН им. В.А. Стеклова, 14 мая 2013 г. ;
Международная конференция "Алгебра и приложения", посв. 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6-11 сентября 2014 г.; 8 Конгресс румынских математиков, Яссы, Румыния, 26 июня - 1 июля 2015 г.;
The International Conference and PhD Summer School "Groups and Graphs, Algorithms and Automata", Екатеринбург, 9-15 августа 2015 г.
Публикации. Все результаты диссертации изложены в 12 статьях автора [1] - [12]. Основные результаты опубликованы в изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий ВАК России (11 работ, [1] - [11]). Кроме этого опубликовано 11 тезисов. Совместных публикаций нет. Все результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору диссертации.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, 10 глав, разбитых на 50 параграфов, и заключения. Введение содержит характеристику работы и обзор результатов. В заключении сформулированы некоторые открытые вопросы. Диссертация снабжена библиографическим списком (95 названий). Полный объем работы 244 страницы.
Основная конструкция. Доказательство теоремы 1
Тогда положительная образующая (9 с(1) группы Пикара грассманиана G дается равенством OQ(1) = Р1 0(1). Вложение j : Е — G индуцирует равенство пучков ЛГ(Ё 0 т) = j 0G (l). Обозначим символом Ш схему Гильберта Hilbp(n)G подсхем в многооб разии G, многочлен Гильберта которых равен Р(п). Будем говорить, что под схема j : Z G имеет многочлен Гильберта, равный Р(п), если и только если xCf 0 с(п)) = Р{п). Согласно общей теории схем Гильберта, существует универсальная подсхема U := Univp(n)G С Ш х G. Универсальная подсхема U снабжена двумя проекциями индуцированными соответству ющими проекциями прямого произведения IxG. Проекция рги : U — EI -плоский морфизм. Рассмотрим слой композиции Е - Sred - Mred над точкой у Є Mred0 С Mred. Согласно изоморфизму ЬЕ0 = M XS, этот слой изоморфен т исходной поверхности S и будет обозначаться как у х S. Заметим, что для любой точки у Є Mred0 многочлен Гильберта Р{п) = x{J 0G{n)\yxS) образа слоя у х S при морфизме j не зависит от выбора точки у Є Mred0. Следовательно, по универсальному свойству схем Гильберта, имеет место сохраняющее слои вложение семейства So в универсальную подсхему схемы Гильберта подсхем в многообразии С с тем же многочленом Гильберта Р(п):
Обозначим Sco = i o(So). Тогда имеется локально замкнутое вложение ho : Mredo — И схемы Mredo в схему Гильберта Ш, такое, что диаграмма
Доказательство. Пусть Мс - замыкание образа схемы Mred0 в схеме Гильберта Є. Семейство Sc - это расслоенное произведение Sc = U хи Мс. Это обеспечивает правый расслоенный квадрат диаграммы (11). Теперь нужна следующая Лемма 7. Sc - приведенная неприводимая схема. Доказательство. Достаточно показать, что схема Sc изоморфна теоретико-схемному замыканию образа //o(Sco). Пусть Со - гладкая пунктированная кривая в подсхеме MCQ С Мс, С - ее теоретико-схемное замыкание в схеме Мс. Тогда тг Со обратный образ в схеме U. В силу [11, глава III, предложе ние 9.8] его теоретико-схемное замыкание - плоская над базой С под схема в U, и тг Со = ті 1 С. Теперь имеется композиция замкнутых вложений 7Г_1С - Яо(Егеао) Я(ЕС), и слои схемы совпадают с соответствующи ми слоями образа Я(ЕС). Следовательно, схемы Я0(ЕгесЮ) и Я(ЁС) послойно равны. Для глобального изучения пусть г : Яо(Еге(ю) Я(ЕС) - замкнутое вложение. Возьмем ассоциированную точную С ? -тройку
Многочлены Гильберта слоев схем Я0(ЕгесЮ) и Я(ЕС) равны, и, следовательно, схема Я0(Егесю) является плоской над Мс. Тогда оба пучка О и чОщ плоски над схемой Мс. Значит, пучок G плоский с общим слоем, равным нулю. Теперь имеем: в = 0, и г изоморфизм. Окончание доказательства предложения 2. Очевидно, поскольку мор физм prG собственный, образ рГ(Е(Я(Ёс)) замкнут в j(S). Также имеет место равенство на открытых подмножествах: рг(К(Яо(Есо)) = j(So). В силу лем мы 7, имеем равенство полных образов рг(С(Я(Ес)) = j(), и следовательно, индуцированный сюръективный морфизм 7Г : с - Е, что доказывает предло жение. Обозначим за (h,j) : Мс х - Є х G морфизм вложения, индуцированный вложениями на сомножителях. Следствие 2. Подсхема Я(с) в семействе U может быть представлена следующим образом:
Доказательство. Шаг 1. Отображение множеств. Положим по определению фc := (poor о7г)7г-1. Для проверки корректности определения достаточно убедиться в том, что проекция 7Г сохраняет слои. Это означает, что слой проекции 7Г при морфизме 7Г переходит в слой композиции р о дг.
Рассмотрим открытое подмножество Мc0 С Мc, М Mred0, точки которого соответствуют локально свободным пучкам. Подмножество MQ порождает в универсальной подсхеме U подсемейство Я(Гесю) С Еc С U, изоморфное Mred0 х S. По построению, prG(tf (Eredo)) = jo(redo), причем по конструкции проекция 7Г на подмножестве i7(Sredo) сохраняет слои над Mredo.
Пусть у Є Mc\/io(Mredo). Выберем в Мc гладкую кривую Со, такую, что ho(Co)\ho(Co) =у.В силу плоскости морфизма 7Г и универсальности схемы U, 7г"1/г0(С0) = ii-l{ho{Co)), слой семейства 7г"1/г0(С0) над точкой у совпадает со слоем 7г_1(у) и не зависит от выбора кривой С0.
Теперь рассмотрим вложение IQ : CQ Mredo С Mred кривой Со, та кое, что проекция 7Г осуществляет сохраняющий слои изоморфизм локально замкнутых подсхем 7г_1Со С c и дг_1р Чо(Со), расслоенных над Со и /о(Со) соответственно. Образуя замыкания, имеем индуцированный проекцией 7Г би рациональный морфизм замкнутых подсхем ж ЧСо) - о-1р-1/0(С0). Мор физм F Cb) - «г :р Чо(Со) сюръективен, поскольку - компонента в прообразе тг- ет-ір-ЧоССо)), которая доминирует схему «у Чо(Со). Пусть у = С\С0 Є Мc, и также у = /0(Со)Уо(Со). Следовательно, проекция тг отображает слой 7г_1(у) семейства c на слой схемы nr-lp-ll0(C0) над точкой у. Далее будем пользоваться обозначением / := р о от о тг. Шаг 2. Непрерывное отображение топологических пространств. Для этого достаточно показать, что прообраз замкнутого по Зарискому множества при отображении фc замкнут. В самом деле, композиция / : c — Mred -настоящий морфизм, и поэтому непрерывна в топологии Зариского. Пусть Z С Mred - замкнутое по Зарисскому подмножество в схеме Mred; тогда его прообраз f-\Z) замкнут в схеме Еc . Морфизм тг собственный и, следовательно, образ irf-\Z) замкнутого множества замкнут
Отношение эквивалентности и его этальность
Первая стрелка в (55) является изоморфизмом, поскольку т 0 [7, лекция 7, п. 3]. Вторая стрелка - морфизм локально свободного пучка, и оба пучка совпадают на открытом подмножестве. Следовательно, вторая стрелка - мономорфизм. Морфизм пучков, индуцированный вложением в рефлексивную оболочку, является вложением, поскольку пучок слева не имеет кручения. Последний морфизм имеет место в силу следствия 6. Итак, при т 0 имеем вложение OQ- пучков Т : тг (Ед Lg) р (ф х ids) (Eg 8 Lm р Спт). (56) Оба пучка локально свободны ранга гр(т), поскольку пучок Eg Lg плоский над Q, а пучок Eg Lm плоский над Q. Поскольку 7Г - проективный морфизм нетеровых схем, пучок Eg Lg - плоский над Q, и функции dim Нг(ТГ 1 (q), Ё Zm) при га » О постоянны как функции точки q Є Q, то по [11, глава III, следствие 12.9] имеет место изоморфизм 7r (EgLg)% Я(, Zm), где = тг"1 , q Є Q, E = El -i . По аналогичной причине p (EQ Lm) kq H{S, ELm), где 5 = p l(q), q Є Q, E = Щр-і у Полагая, что точки q и q таковы, что ф(с[) = q, имеем индуцированный вложением (56) гомоморфизм векторных пространств глобальных сечений v : H(S, Ё Lm) H(S, Е Lm).
Заметим, что по построению морфизма а : S — S с помощью раздутия семейства поверхностей имеет место изоморфизм (T Os = Од. Таким образом, принимая во внимание равенство Е = а Е/tors , рассмотрим отображение пространств глобальных сечений Я(а ) : H(S,E Lm) - H(S,(T (E Lm)). Оно индуцировано формированием обратного образа. Также рассмотрим отображение С : H(S, а (Е Lm)) - H(S, Ё a Lm), индуцированное морфиз-мом а Е -» Ё, и вложение : H{S,E Lm) H{S,E а Ьт), индуцированное морфизмом обратимых пучков Lm - a Lm. Тогда имеет место коммутативная диаграмма гомоморфизмов векторных пространств
Доказательство леммы 16. Заметим, что имеет место аналог формулы [0 EQ]VV = Eg, доказываемый рассуждениями, в точности аналогичными проведенным в разделе 2.2. Для обратимых пучков Lg и L таких, что [0 Lg]vv = L, справедливо равенство [0 (Ёд L )]vv = Eg Lm Пусть Си С- очень обильные обратимые пучки такие, как указано в формулировке леммы. Рассмотрим пучок Доказательство следствия 6. Заметим, что EgL = /?(ELm). Поскольку С очень обильный обратимый С -пучок, то имеет место вложение [Ф /?(Ё Lm)]vv - [Ф (Д (Ё Lm) 0 Znm]vv. Замена базы, примененная к первому пучку, и применение леммы 16 дают
Замечание 11. Если S S, то б -стабильность (б -полустабильность) пары (S, Е) равносильна стабильности (полустабильности) векторного расслоения Е по Гизекеру на поверхности S относительно поляризации L Є Pic S.
Для исследования связи б -стабильности (б -полустабильности) пары (S, Е) со стабильностью (полустабильностью) по Гизекеру соответствующего ей пучка Е на поверхности S заметим, что при т 0 гр(т) = h(ELm). Для определения стабильности по Гизекеру важно поведение многочлена Гильберта при т 0, поэтому будем считать т достаточно большим.
Определение 15. Будем говорить, что локально свободный пучок Ё на допустимой схеме S получается стандартным разрешением из пучка Е, если существует плоское семейство Е когерентных С -пучков с базой Т = Spec k [t] такое, что (i) при гф 0 пучки Et = E\txS локально свободны; (ii) при t = 0 пучок Е{) = EoxS изоморфен пучку Е; (iii) стандартное разрешение приводит к раздутию a:TxS TxS, оснащенному локально свободным пучком Е, причем слой композиции TXSATXSATв точке t = 0 изоморфен S и несет локально свободный пучок Eoxs — Е. Замечание 12. Это определение, в частности, означает в силу предложения 20, что для локально свободного (%-пучка Е найдется когерентный С -пучок Е такой, что Е = а Е/tors.
Доказательство теоремы 5. Пусть Е полустабилен по Гизекеру на (5, Ь),иЁ - локально свободный пучок на схеме S, получаемый из Е стандартным разрешением. Очевидно, Е квазиидеален на дополнительных компонентах схемы S, если он получается из когерентного пучка стандартным разрешением. Зафиксируем (любую) точку q Є Quot rp(n\V Ь У), соответствующую факторпуч-ку Е. Рассмотрим собственный подпучок F С Ё. Поскольку т 0, считаем, что оба пучка Е S Lm и F S Lm порождены глобальными сечениями. Зафиксируем эпиморфизм H(S,E Ьт) L("m) -» Е. Подпучок F порождается подпространством глобальных сечений Vp = H(S, F S Lm) С H(S, E S Lm). Тогда подпространство Vp С H(S, E S Lm), изоморфное подпространству Vp и порождающее некоторый подпучок F Є Е, дается с помощью выделенного изоморфизма v : H(S}E Lm) A H(S,E Lm) выражением V F = v(Vp). Поскольку пучки F и F канонически изоморфны на соответствующих открытых подмножествах схем S и S, то их ранги равны; пусть они равны г . Ясно, что VF = H(S, F Lm), и тогда
Когерентные пучки и их разрешения
Теперь можно рассматривать семейства полустабильных (не обязательно локально свободных) когерентных пучков на слоях морфизма тг. Полустабильность понимается как обычная полустабильность по Гизекеру, без требования квазиидеальности. Предполагается, что пучки имеют полином Гильберта, равный гр(п) и вычисляемый относительно поляризации L. Согласно теореме 7 множество полустабильных когерентных пучков с фиксированным полиномом Гильберта на слоях морфизма 7Г ограниченно. Это множество равно множеству всех пар ((S, L),E), где (S, L) - двумерная проективная поляризованная схема, причем поляризация L индуцирует замкнутое вложение j : S Р схемы S как подсхемы с полиномом Гильберта х{п), Е – полустабильный по Гизекеру когерентный пучок с полиномом Гильберта, равным гр(п).
Поскольку допустимые полустабильные пары образуют подмножество во множестве всех пар с полустабильными по Гизекеру когерентными пуч ками Е, это завершает доказательство ограниченности семейств допустимых полустабильных пар. В силу предложения 46 существует (общее для всех полустабильных пучков без кручения Е) целое число т 0 такое, что пучки Е 0 Lm порождены глобальными сечениями и для всех Е векторные пространства глобальных сечений H(S}E Lm) изоморфны /с-векторному пространству V размерности гр{т). Это пространство V далее фиксировано.
Теперь обратимся к многообразию Грассмана G(V,r), чтобы провести построения, выполненные для приведенного случая в главе 3. Каждая пара ((S,L),E) с полустабильным локально свободным пучком Е поставляет замкнутое вложение j : S G(V,r). Пусть 0G(y,r)W положительная образующая группы PicG(V,r), Р(п) := xU 0G(y,r)(n)) полином Гильберта замкнутой подсхемы j(S). Образуем схему Гильберта Rilhp{n)G(V, г) и подсхему Н, составленную всеми допустимыми полустабильными парами. Эта подсхема определяется теоретико-схемными образами всевозможных баз Т семейств S 153 полустабильных допустимых пар, относительно индуцированных морфизмов в схему Гильберта HilbP(n)G(!/,r). Поскольку мы не требуем, чтобы схемы Т были приведенными, то понятно, что Я может быть неприведенной.
Теперь рассмотрим связную компоненту Щ схемы Я, содержащую подсхему fi(Q), построенную в главе 3, и состоящую из пар, принадлежащих под-стеку, указанному во вводных замечаниях. Действительно, fi(Q) является редукцией схемы Я0. Предложение 47. Щ - квазипроективная подсхема в mhP nG(V,г). Доказательство. Для доказательства квазипроективности схемы Я0 необходим топологический результат из [34, глава 1, предложение 4.5.14]. В частности, это предложение утверждает, что морфизм схем / : X — Y открыт (соответственно, замкнут, гомеоморфен на свой образ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для его редукции /red. Возьмем локально замкнутое вложение fi(Q) НИЬP(n)С(У,г). Схема Ні1ЬP(n)С(У,г) является проективной k-схемой конечного типа и fi(Q) ква зипроективная подсхема в ней. Схема Щ - другая подсхема в Hilb n G(V,r) такая, что (H0)Ted = fi(Q). Чтобы убедиться в том, что Я0 квазипроектив на, образуем теоретико-схемные замыкания fi(Q) и Но для fi(Q) и Щ соот ветственно. Замыкания берутся в схеме HilbP(n)G(y,r). Поскольку подсхемы /J,(Q) и Но замкнуты в проективной схеме, то они проективны. По построе нию_(Я0)гесі = M(Q). Теперь рассмотрим вложения I: Ho Hoи iied KQ) /J,(Q). В силу [34, глава 1, предложение 4.5.14] поскольку ired открыт, то і также открыт. Отсюда следует, что Щ - квазипроективная схема. Группа PGL(V) действует на многообразии Грассмана G(V,r) линейными преобразованиями векторного пространства V и индуцированным обра-зом на произведении RiihP nG(V,r) х G(V,r). Подсхема Я0 С RiihP nG(V,r) является РСЬ(У)-инвариантной.
Далее мы покажем, что существует хороший Р(3(У)-фактор М = H0//PGL{V), который является схемой модулей для функтора f. При этом схема М - проективная алгебраическая нетерова схема конечного типа.
Схема Но снабжена действием той же алгебраической группы PGL(V), что и ее редукция /i(Q), и геометрическая теория инвариантов также применима.
Пусть S универсальное факторрасслоение на грассманиане G(V,r), по-прежнему GG(v,r)W положительная образующая его группы Пикара. Для проекций универсальной подсхемы Univp(n)G(y,r) будем использовать обозначения Riihp G(V,r) PL Univp G(y,r) G(V,r). Образуем на схеме Гильберта пучки If = det7rH GS(l). В силу того, что проекция тгя : Univp(n)G(y,r) Ні1Ьр(п)С(У,г) - плоский морфизм и пучки S(l) локально свободны, то и пучки If обратимы. Согласно предложению 35, пучки If очень обильны при I 0.
Пусть ж - любая из точек в прообразе ц -\х) С Q ; х = ф (х ). Согласно [42, лемма 4.3.8], определяемый точкой х морфизм /3(A) : А1 \ 0 - Q продолжается до морфизма Щ) : А1 - Q. Рассмотрим действие а : Q х G - Q и индуцированный морфизм аА : //_1(ж) Х (А1 \ 0) - Q .
Морфизмы приведенных компактификаций и проективность Mred
В главах 1,2 была развита процедура преобразования плоского семейства Еу полустабильных когерентных пучков без кручения на поверхности S, параметризованного неприводимой приведенной схемой Т, в семейство ((7Г : Е — T,L),E) полустабильных допустимых пар, параметризованное приведенной неприводимой схемой f, которая бирациональна Т. Поскольку мы интересуемся именно компактификациями пространства модулей векторных расслоений, предполагается, что семейство Еу содержит хотя бы один локально свободный пучок.
Указанная процедура преобразования плоского семейства полустабильных когерентных пучков без кручения в плоское семейство допустимых полустабильных пар названа стандартным разрешением. Она приводит к бира-циональному морфизму базисных схем Г - Т, который при ограничении на прообраз Т0 открытой подсхемы Т0 локально свободных пучков является изоморфизмом. Чтобы выполнить стандартное разрешение в виде, описанном в главах 1 и 2, необходимо, чтобы базисная схема Т была приведена и неприво-дима.
Известно, [68, 67, 31] что для произвольной поверхности S схема М асимптотически (в частности, при больших значениях С2) приведена, непри-водима и имеет ожидаемую размерность. Однако при произвольном выборе численных инвариантов пучков эта схема может быть неприведенной.
В этой главе разработана версия стандартного разрешения для семейства полустабильных когерентных пучков без кручения в случае, когда базисная схема не приведена. Для наших целей достаточно ограничиться классом схем Т таких, что их редукции Tred неприводимы.
208
Используя развитую версию стандартного разрешения, мы построим естественное преобразование функтора Гизекера - Маруямы (76),(77)) в функтор f допустимых полустабильных пар (58), (59). Это естественное преобразование приводит к морфизму схем модулей.
Глава состоит из четырех параграфов. В 9.1 приведено описание того, каким образом морфизм функторов модулей определяет морфизм их схем модулей. 9.2 посвящен процедуре стандартного разрешения семейства когерентных пучков, имеющего неприведенную базу. 9.3 содержит конструкцию естественного преобразования fGM — f, использующую стандартное разрешение из 9.2. Дополнительно, в 9.4 морфизм схем модулей, соответствующий построенному морфизму функторов fM - f, построен "вручную", без использования теоретико-категорных рассуждений.
В этой главе доказан следующий результат. Теорема 18. Функтор Гизекера Маруямы fM полустабильных когерентных пучков без кручения, имеющих ранг г и полином Гильберта гр(п) на поверхности (S,L), обладает естественным преобразованием к в функтор f допустимых полустабильных пар ((S,L),E), где локально свободный пучок Е на проективной схеме (S, L) имеет те же ранг и полином Гильберта.
Следствие 13. Существует морфизм схем модулей к:М М, ассоциированный с этим естественным преобразованием.
Как показано в главе 3, определено отображение, переводящее любой полустабильный когерентный пучок без кручения Е в допустимую полустабильную пару ((S,L),E) следующим образом. Если Е локально свободен, то ((, L),E) = ((S, L),E). В противном случае S = Proj фв 0 (/й + (t))8/(t8+1), где / = Fitt0Sxt\E,Os), L = L (a lI 0) and E = a E/tors и tors понимается в уже описанном смысле. Это отображение соответствует морфизму KW : Mred - Mred.
Пусть даны два функтора f,f : С0 - Sets и естественное преобразование к : f — f, причем для любого Т Є С6С коммутативна диаграмма
Пусть Т - произвольная (возможно, неприведенная) /с-схема конечного типа. Предполагается, что ее редукция Tred неприводима. Если Е - семейство когерентных пучков без кручения на поверхности S, имеющее неприведенную базу Т, то гомологическая размерность пучка Е как С х -модуля не превышает 1. Доказательство этого факта для случая приведенной равноразмерной базы приведено в главе 1 (лемма 1).
Теперь нам необходима следующая простая лемма о гомологической размерности семейства Е с неприведенной базой.
Здесь учтено, что поскольку Е является Т-плоским, то ToriT(E,C Tred) = 0, и точность слева сохраняется. Поскольку hdTredXsEred 1, то Eiied локально свободен как С тгес1х5-модуль. Также поскольку Е и Е0 являются Т-плоскими и имеют конечный тип, то Еі также Т-плоский и конечного типа. Остается заключить, что Е\ локально свободен. Применим теоретико-пучковую версию результата из SGA Гротендика [36, глава IV, следствие 5.9]:
Предложение 60. Если X Л У Л Т - морфизмы нетеровых схем и f - плоский морфизм, то когерентный Ох-пучок является плоским над Y тогда и только тогда, когда он является плоским над Т, и для любой замкнутой точки t Є Т ограничение (/0ff)-i(t) является плоским над Of-i .
Пусть X = Y = TxS,g:X У - тождественный изоморфизм, S := Еъ f=p:TxS T- проекция, p l{t) = t х S. Тогда для любой замкнутой точки t Є Т (мы имеем в виду, что для схемы Т и ее редукции Tred множества замкнутых точек совпадают, а поля вычетов соответственных замкнутых точек изоморфны) E s = Elnd\txS, и Elied\txS является плоским над OtxS в силу локальной свободы. Отсюда заключаем, что Ех локально свободен как 0TxS модуль. Это завершает доказательство леммы.