Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Кольцо косых формальных лоранов-ских рядов было впервые использовано в работах Шура, Диксона и Гильберта в начале XX века, частности, Гильберт использовал кольцо косых лорановских рядов от одной переменной для построения тела, бесконечномерного над своим центром, при изучении независимости аксиом в геометрии. Обобщающая конструкция рядов Мальцева-Неймана была создана в 1948 году А.И.Мальцевым (и независимо в 1949 году Б.Нейманом) для доказательства вложимости групповой алгебры над полем в тело. Поначалу в качестве кольца коэффициентов рассматривались только тела (см. например, [1] ). Первые результаты для колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана над произвольным кольцом коэффициентом были получены М.Лоренцем [2] и Рисманом [3] в конце 70-х - начале 80-х годов. Как оказалось, эта конструкция является чрезвычайно удобным инструментом при изучении свойств других кольцевых конструкций — групповых колец и скрещенных произведении. Многие вычисления заметно упрощаются при переходе к кольцам лорановских рядов или рядов Мальцева-Неймана'. Например, Макар-Лиманов [4] использовал кольцо косых лорановских рядов от двух переменных, чтобы показать, что кольцо частных алгебры Вейля содержит свободную некоммутативную подалгебру. В [5] с помощью неоднократного перехода от колец коэффициентов к CO-op] G.M.Bergman, Conjugates and п th Roots in Hahn-Laurents Group Rings. Bull. Malaysian. Math. Soc. - 1978. - 1 (2). - P.29-41; Historical addendum - 1979. - 2 (2). - P.41-12.
[2] M.Lorenz, Division Algebras Generated by Finitely Generated Nilpotent Groups, J. Algebra, 85 (1983),368-381.
[3] L.Risman, Twisted Rational Functions and Series. J. Pure and Applied Algebra. - 1978. - V.12. -
P. 181-199.
[4] L.Makar-Limanov, The Skew Field of Fractions of the First Weyl Algebra Contains a Free Noncom-
mutative Subalgebra, Comm. Algebra, 11 (17), 1983, 2003-2006.
[5] D.R.Farkas, A.H.Schofield, R.L.Snider, and J.T.Stafford, The Isomorphism Question for Division Rings of Group Rings, Proc. Amer. Math. Soc, 85 (1982), 327-330.
ответствующим кольцам Мальцева-Неймана было доказано, что если тела частных групповых колец нильпотентных групп изоморфны, то изоморфны и сами группы. В [6] Гудерл и Смолл использовали кольцо обыкновенных лорановских рядов для получения оценки для размерности Крулля и глобальной размерности нетеровых P.I. колец. Их результаты о размерности Крулля колец лорановских рядов над истер овым кольцом коэффициентов были перенесены на произвольные кольца рядов Мальцева-Неймана в [7] . Эти и многочисленные другие интересные приложения конструкции вызывают естественный интерес к более тонким алгебраическим свойствам лорановских рядов.
Диссертация посвящена исследованию кольцевых свойств колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана. Наибольшее внимание уделено радикалу Джекобсона, свойствам, близким к регулярности в смысле фон Неймана, а также случаю, когда кольцо коэффициентов нетерово. Дано полное описание радикала Джекобсона кольца рядов Лорана в случае коммутативного кольца коэффициентов (исследованию этой и смежных проблем посвящена вторая глава). Регулярные кольца лорановских рядов (третья глава) R((x,
Кроме колец лорановских рядов и рядов Мальцева-Неймана, в четвертой главе диссертации рассматривается конструкция кольца формальных линейных псевдо-дифференциальных операторов и одно
[6] K.R.Goodearl, L.Small. Krull vs. Global Dimension in Noetherian Pi-rings, Proc. Amer. Math. Soc, 92 (1984), 175-177.
[7] I.Musson, K.Stafford, Malcev-Neumann Group Rings, Comm. Algebra, 21 (6), 1993, 2065-2075.
обобщение колец формальных степенных рядов. Алгебра псевдо-дифференциальных операторов была введена также Шуром в 1904 году и с тех пор неоднократно использовалась в теории дифференциальных уравнений и операторных алгебр. В структурной теории колец она используется для копструктнвизации вычислений в алгебрах дифференциальных операторов [8] , а также как источник многочисленных примеров. Мы рассматриваем ее как еще один пример применения методов, разработанных в диссертации для лорановских рядов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение кольцевых свойств колец лорановских рядов и колец Мальцева-Неймана.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ. В диссертации используются методы теории колец и модулей, теории идеалов, теории упорядоченных групп. Отметим, что при изучении размерностей Крулля и Голди приходится развить некоторую технику для модулей коэффициентов (для многочленов и формальных степенных рядов подобное обобщение уже доказало свою эффективность).
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Результаты работы являются новыми. Основными являются следующие:
-
исследованы свойства радикала Джекобсона кольца лорановских рядов; получено описание радикала Джекобсона в случае коммутативного кольца коэффициентов.
-
получено описание регулярных колец лорановских рядов в том случае, когда скручивающий автоморфизм имеет конечный порядок; описаны строго регулярные и бирегулярные кольца лорановских рядов.
[8] K.R.Goodearl, Centralizers in Differential, Pseudo-differential, and Fractional Differential Operator Rings, Rocky Mountain J. Math., 4 (1983), v.13, p. 573-618.
-
доказано, что кольца лорановских рядов и кольца Мальцева-Неймана обладают правой размерностью Крулля тогда и только тогда, когда они нетеровы справа.
-
полученные для колец лорановских рядов результаты применены к близким конструкциям, в частности, к кольцам формальных псевдодифференциальных операторов и кольцам обобщенных формальных степенных рядов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в структурной теории колец и теории модулей.
СТРУКТУРА РАБОТЫ. Работа состоит из четырех глав (четырнадцати параграфов) и содержит 94 страницы. Все основные результаты (теоремы, предложения, примеры и т. п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер параграфа внутри главы, и третье — на номер пункта в параграфе.