Введение к работе
Актуальность темы. Одним из наиболее интересных направлений современных исследований в классе абелевых групп без кручения конечного ранга являются кольца квазиэндоморфизмов. Кольца квазиэндоморфизмов были введены в рассмотрение в 1961 г. Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом в совместной работе [23] . В этой же работе Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом указаны все алгебры над полем рациональных чисел, являющиеся алгебрами квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 2.
В 1963 г. Дж. Рейдом [30] было доказано существование взаимно-однозначного соответствия между сервантными вполне характеристическими подгруппами группы С- без кручения конечного ранга и <2 (G-) -подмодулями делимой оболочки группы (г . Большую роль в исследованиях Дж. Рейда играет псевдоцоколь Soc группы С- без кручения конечного ранга (сервантная подгруппа, порожденная всеми минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами группы). Подобный подход оказался очень плодотворным для изучения групп без кручения конечного ранга и их колец эндоморфизмов, потому что кольца квазиэндоморфизмов этих групп являются артиновыми справа. Так, например, развивая идеи теории квазиразложений, П.А. Крылов установил глубокие связи между свойствами группы 0- без кручения конечного ранга и свойствами ее колец E(fr),c((r) [33 , L43 .
Все вышесказанное позволяет считать задачу классификации колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3 актуальной.
Методы исследования. В работе используются методы и идеи теории абелевых групп, теории колец и модулей, методы линейной алгебры.
Цель диссертационного исследования. Получить полную классификацию колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3.
Новизна результатов. »
-
Получено описание колец квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3.
-
Получено описание колец квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 3, разложимых-в квазипрямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2.
-
Получена классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3.
Все результаты работы являются новыми.
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории абелевых групп в МШУ, в Томском университете, а такає в алгебраических центрах, в которых ведутся исследования, широко использующие теорию абелевых групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ПТ Международной конференции по алгебре памяти М.И. Каргополова в Красноярске в 1993 г., на симпозиуме
по абелевым группам, посвященном 80-летию Л.Я. Куликова в Бийске в 1994 г., а также неоднократно обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры в МЇЇГУ им. В.И. Ленина.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и 2 тезисах докладов. Их список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, 8 параграфов и списка литературы из 32 наименований. Диссертация содержит 71 страницу машинописного текста.