Классификация р-локальных формаций длины <=3 Джарадин, Джехад Джумах

Введение к работе

Актуальность_гещ_д^ссеЕтащ. Совокупность групп- g называ
ется классом (или иначе абстрактным классом)_f -едли-вее-ивеморфные—
образы груш из $ принадлежат $. Как впервые заметил проф.
Л. А. Шеметков, значение понятая класса в теории групп связано
прежде всего с тем, что большинство теорем теории групп являются
по существу утверждениями о. том, что группы одного класса '3? при
надлежат другому классу групп JQ. Несмотря на это обстоятельство >
теория классов "в чистом виде" начала сво развитие лишь в 30-ые і
годы после выхода работ Г.Биркгофа и Б.Х.Неймана, связанных с
изучением многобразий алгебраических систем. «Следует отметить,
что первоначальный этап развития теории классов был в основном
связан с'изучением различных классов групп, заведомо содержащих
бесконечные группы ( многообразий, квазимногообразий групп, ради- ;
кальных классов групп и' др.). После- выхода в 1963 г. знаменитой
работы В. Гашюца "Zur THeorie der endlioften auflosbarqn Gruppen" _;
началось" интенсивное изучение различных классов конечных групп
ключевую роль среди которых заняли формации групп.о

Напомним, что класс групп 8-называется формацией, если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных под-прямых произведений. В вопросах приложений теорий⁵ формаций к исследованию непростых конечных групп нашли широкое применение так называемые насыщенные и ' р-насыщенныв: - формации, которые соответственно * можно определить .как формации - конечных групп, замкнутые относительно фраттиниевых и р-фраттиниевых расширений. Проблема конструирования и классификации насыщенных и частично насыщенных формаций является одной из центральных задач современной теории классов конечных групп.

Было предложено много различных подходов к проблеме изучения насыщенных и р-насыщенных формаций (см. книги [1], [2] а также обзор І.А.Шеметкова [3]), среди которых выделились два. Первый связан с так называемым локальным заданием формации g. Напомним;

2 что локальным экраном (Л.А. Шеметков [4]) f называется функция f, заданная на множестве простых чисел Р и со значениями во множестве всех формаций конечных групп. Если данная формация $ состоит из тех и только тех конечных групп С'для которых имеет место

G/P_p(G) Up)

при всех р і %{G), то говорят, что і - локальныйоэкран формации g. Формация называется локальной, если она<даеет хотя бы один локальный экран. Значение понятия локальной формации состоит в том, что согласно теореме Гашюца-Любезедер-Шмидта, класс непустых насыщенных формаций совпадает с классом локальных формаций. В раооте [5] А.Н. СкиОа и Л.А. Шеметков доказали следующий аналог этой теоремы для класса р-насыщеяных формаций: формация $ р-насыщена тогда и только тогда, когда имеет место

. '. . Ногш J s зі_р| g . ^^1}

Здесь iform g обозначает пересечение всех локай>шх формаций, содержащих g, 51 , - класс нильпотентных р'-групп и 31 , g - класс всех групп, являющихся расширениями групп из К , при помощи групп из $ Формация $, удовлетворяющая условию (1) была названа Л.А. Шеметковым [G] р-локальной.

Второй подход к изучению формаций связан с идеей изучения формаций с заданными системами подформаций. Такая идея, как известно, была впервые рассмотрена в книге Л.А. Шеметкова [1], где под номером 9 была поставлена следующая проблема: перичислить все те локальные формации, у которых каждая подформация является Sn-замкнутой (т.е. замкнута относительно взятия нормальных подгрупп). Решение этой задачи дало толчок целому кругу новых идей и, в часности, это привело к возникновению таких важных понятий как минимальные локальные не ^-формации [7], п-кратно локальные формации [8], g-дефект локальной формации [9],дополняемость подформаций [10], длина локальной формации [11] и др.. В настоящее

з время теория локальнні формаций является.: весьмаразвитымучением*.г.. .. обогащенным большим:, числом ярких, теорем; и '-содержательных. ,нри-т , меров. В; тоеє время; частично локальные; формации и,, в. частности, ;,.. рьлокальные формации взучены сравнительно мало;- Следует отметить,,-, что как показывают/результата.ряда авторов,/полученные в последние годы (см. , например,- [53, [12], . [13],, {,14}, [15]) р-локальше формации весьма полезны при-анализа ^многих, вопросов; и, в частности, при исследовании-:нормального .строения. груш^; . . Изучению р-локальннх форапий и посвящена.'данная.диссертация.>,

При изучении того или:иного нового объекта всегда;.полезно. .' иметь .набор, конкретных,., хорошо изученных..-.объектов родственного, .-.' типа. В связи с этим :в данной г; диссертащж дается- описание ^ р-локальных формаций.длины < 3, т.е. таких,р-локальвж.фориаций,;. у которых длина решетки р-локальных подформаций не превосходит-3.; Кроме того, на пути решния.такой:задачи,в,.дассертаїщ ошсано,, много новых интересных классов р-лока^ьных.-формадий.','. В частности*,.. .' в диссертации описаны. минимальные 'pf локальные -. шнильпотентша- -, формации, р-локальныа „формации с 'системаш,;таследстве]шых;^:лодт-формаций ж р-локальше.. формации- с мшшишльной.нильштентной-. . р-локальной подформациейіі

Связь работы. с.крупйшнаулныт;:^:я]х>1фам^ .дис-..

сертация .выполнена в рашах госбюджетной, теш -Ромельсі^ого госуни-; верситета .'Фазвитие.формационвш;. методов .reopen групп..и других;- ! алгебраических, систем",-;. входящей в- перечень .важнейшихшаучных тєйг ; > по Республике -Беларусь.,,

Цель и задачи:исследования.' Основная цель .диссертации., г. полная классифисация р-лшавьвж'формаций.удлини; <3. Для; достижения., поставленной цели в диссертации решаются -следущие задачи;, дано .^ полное описание. іс-лсжальвжгфоршщійі-у-.которнг ШЭ Я-ЛОКаЛЬННй ; подформаций. наследственна;', -дано -описание;р-гЛокальных формаций с,;. максимальной нильлотенттай р-локальной.шдфордащей;. дано.описание минимальных х-локальннх ненильпотентшх.формаций*,,

Научря новизна полученных .результатов.-, Все- полученные' ре^ зультаты являются новыми-и; могут; использоваться в теоретических. -., \

4 исследованиях.. .

Ш?ІШская_значі№^^ Результат

диссертации могут быть использованы при изучении-локальных форм цей конечных груш, а также при чтении спецкурсов, преподаваем в госуниверситетах и пединститутах:.

1. описание р-локалышх формаций длины $ 3;

2. описание it-локальных формаций, у которых все тс-локальнь подформации наследственны;,

3. описание р-локальшх формаций с максимальной.нильпотени ной р-локальной подформацией:; ..

4. описание.минимальных гс-локальных ненильпотентных формг ций;

5. теорема о существовании у р-локальных формаций длины ^ р-локальных подформации .длины.3.

Личный вклад соискателя.- Все основные, результаты диссе] тащи./получены автором самостоятельно.

Апробация результатов..диссертации. Основные результаты дис сертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрі Гомельского государственного, университета и на . Мевдународнс математической- конференции, посвященной памяти- акадеші С.А. Чунихина.

Шїбликованность_результатов. Основные результаты диссертг ции опубликованы в 5 статьях [23, 25, 26, 28, 29], .3 препринт? [27, 30, 31] ив тезисах. [24].

Структура и. объем диссертации. .Диссертация . состоит і перечня определений, и условных обозначений, введения, обще характеристшш работы,-пяти, глав основной части, выводов и списі использованных, источников в алфавитне порядка в количестве { наименования. Объем диссертации - 89 страниц..