Введение к работе
Актуальность тематики.
Описание пересечения двух матричных классов — типичная задача линейной алгебры. Известным примером служит критерий Сильвестра, устанавливающий условия, при которых вещественная симметричная матрица является одновременно положительно определенной.
Множество нормальных матриц представляет собой матричный класс, обладающий целым рядом замечательных свойств, самым важным из которых является наличие орто- нормированного базиса из собственных векторов. Сопряженно-нормальные матрицы играют в матричном анализе ту же роль по отношению к преобразованиям унитарной конгруэнции, какую нормальные матрицы выполняют по отношению к унитарным подобиям.
На практике часто имеют дело с теплицевыми, ганкелевы- ми матрицы и их обобщениями. Их роль велика в алгебре, теории функций, гармоническом анализе, проблеме моментов, функциональном анализе, теории вероятностей и многих прикладных вопросах.
С алгебраической точки зрения возник интерес к изучению пересечения нормальных и сопряженно-нормальных матриц с матрицами той или иной структуры. Несмотря на некоторые имеющиеся множества требуемых матриц, найденные из различных соображений, хотелось получить полные характери- зации нормальных и сопряженно-нормальных матриц среди матриц фиксированной структуры в рамках единого подхода.
Цель исследования заключается в выделении из множеств теплицевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых матриц классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц.
Методология исследования опирается на традиционный аппарат линейной алгебры и конечномерную теорию преобразования Фурье. Важными инструментами решения нормальной ганкелевой задачи являются введенные в диссертации новый класс двухпараметрических циркулянтов и класс линейных преобразований, для которого множество таких циркулянтов является инвариантным.
Научная новизна и теоретическая значимость. В работе представлены полные решения нескольких задач описания пересечения матричных классов: выделяются десять классов нормальных ганкелевых матриц и семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц и устанавливается отсутствие других видов матриц таких типов; на основе анализа классов нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц выведена характеризация матриц, являющихся одновременно теплицевыми, нормальными и сопряженно-нормальными матрицами. Для множества матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой, найдены частные решения задач описания нормальных и сопряженно-нормальных матриц, когда теплицево и ганкелево слагаемые являются соответствующими циркулянтами или косыми циркулянтами.
Практическая ценность заключается в том, что получена параметризация всех представленных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, выделенных среди тепли- цевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых. Это дало возможность сконструировать генераторы матриц исследуемых видов, обладающих свойствами нормальности или сопряженной нормальности.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором: на 1-ой международной конференции "Матричные методы и операторные уравнения" (Москва, 2005), 2-ой международной конференции "Матричные методы и операторные уравнения" (Москва, 2007), международной конференции ILAS (Италия, 2010), на всероссийской школе- конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2009), на научно-исследовательских семинарах механнико-математическо- го факультета Московского Государственного Университета, Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Санкт-Петербургского Государственного Морского Технического Университета, Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 16 в рецензируемых журналах, 1 в материалах конференций.
Личный вклад автора. Вклад автора в совместные работы заключался: предложении идеи решения [2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17], совместном теоретическом обосновании [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы изложен на 172 страницах, содержит библиографию из 67 наименований.