Введение к работе
А^ту_альность_темы_5иссертации. Теория линейных групп -один из центральных разделов современной алгебры. Разрешимые группы являются важным направлением этой теории. Первые результаты о линейных разрешимых группах были получены еще К.Жорданом. изучавшим разрешимые группы матриц над конечными полями.
В середине нашего столетия линейные разрешимые группы применяются для исследования дискретных линейных групп ([1]), абстрактных разрешимых групп ([2]), а также в аналоге теории Галуа для дифференциальных уравнений - теории Пикара - Вессио(Ш). Тем самым изучение линейных разрешимых групп приобретает самостоятельный интерес.
Систематическое исследование разрешимых групп матриц впервые предпринимается в начале 50-х годов Д.А.Суп-руненко. Его работы содержат общие методы, позволяющие описать максимальные разрешимые подгруппы полной линейной группы. В результате этих исследований была в основном завершена классификация максимальных разрешимых подгрупп Gb(n,k), где у - алгебраически замкнутое поле, конечное поле или поле действительных чисел.
Новым стимулом для изучения линейных разрешимых групп над произвольным полем стал известный результат Я.Титса, согласно которому конечно порожденная линейная группа либо почти разрешима, либо содержит свободную подгруппу ранга 2. Принципиальное описание максимальных разрешимых подгрупп GL(n,k), где к - произвольное поле, было получено в серии работ В.С.Конюха (см., например, [4]). Заметим, что для окончательного решения этой задачи недостает классификации максимальных разрешимых подгрупп симплектической группы 5р(2т,р), поэтому полностью классифицированы только неприводимые максимальные разрешимые подгруппы GL(q,k), где q - простое.
Случай линейных групп, отличных от ОЬ(п,к), до сих пор остается менее изученным. Отметим принципиальный результат В.П.Платонова [5] о конечности числа классов сопряженности максимальных разрешимых подгрупп алгебраической группы над алгебраически замкнутым полем. В [6] методы Д.А.Супруненко были частично перенесены на полупростые комплексные группы
2 Ли, а в [7] - на классические группы над произвольным полем.
Исследования последних лат по гадгрупповой структуре групп Шевалле, а также завершение классификации конечных простых групп, еще раз подчеркивают актуальность изучения разрешимых подгрупп в классических группах над произвольным полем.
С9ь^абдта^_к^у_т1ыш_нау_чшш_щ>д Диссертация выполнена в рамках госбюджетных тем Полоцкого госуниверситета "Алгебраические структуры. Задача восстановления оператора" и "Математические структуры", финансируемых министерством образования и науки Республики Беларусь и входящих в Республиканскую комплексную программу АН Республики Беларусь.
йй_и_задачи_исследдвашя. Классифицировать, с точностью до сопрякенности, неприводимые максимальные разрешимые подгруппы классических групп простой степени над произвольным полем.
Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации является новыми.
ПЕктическая_значимость_пдлЧншхрезультатов. Работа представляет теоретическое значение. Ее результаты могут быть использованы в различных разделах теории групп и теории представлений, а также при чтении спецкурсов по теории линейных групп в университетах.
Основные положения диссертации, выносимые.на.защиту.
-
Классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп специальной линейной группы SL(q,k) простой степени q над полем к, где к совершенно или q*ohark, к* содержит елемент 1 порядка 4 при q=2.
-
Классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп группы автоморфизмов U(f,k) невырожденной билинейной или эрмитовой формы і на пространстве простой размерности q над полем к, где к совершенно ИЛИ q*ohark, iek при q=2.
-
Классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп группы su(f,k)= =SIi(q,k)nU(f,k).
Щ5Щ?_ШШЙ_22Кгапя."Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены без соавторов.
Аіпздбащя_р^зїльтатдв_дассертации. Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Свердловск, 1989 г.), II Международной конференции по алгебре (Барнаул, 1991 г.), VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992 г.), а также на семинаре по алгебре при институте математики АН Республики Беларусь.
0п^бликоващ9сть_результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях в научных журналах и 2 тезисах конференций.
Структща_и_объем_д^ссе2тации. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав основной части, выводов, списка использованных источников, содержащего 54 наименования. Объем диссертации - 121 страница машинописного текста.