Введение к работе
Актуальность темы.
В алгебраической теории чисел важную роль играют формальные группы. Начало теории формальных групп было положено Лазаром и Дьедонне в 1964г. Развитие теории формальных групп привело к результатам, имеющим важное значение в алгебраической теория чисел.
Формальные группы позволяют обобщить понятие символа Гильберта в локальном поле, то есть построить спаривание (, )f между мультипликативной группой поля и формальной группой точек со значениями в группе корней п - степени изогении формальной группы F, обладающее ворменным свойством. Явные формулы для классического символа Гильберта в локальном поле были получены С.В.Востокоаым1. Ги Эньяр2 передоказал некоторые из них. В дальнейшем также СВ. Бостоновым3 была получена явная формула для спаривания Гильберта в многомерных полных полях нулевой характеристики с первым полем вычетов положительной характеристики. Для обобщенного символа Гильберта в случае формальных групп Любина-Твйта явные формулы получены С.В.Востоковым*.
Хорошие явные формулы для обобщенного символа Гильберта получаются в случае формальных групп, у которых есть полная классификация. Повтому, в частности, важной задачей в теории формальных групп является проблема классификации формальных групп (формальных групповых законов) над различными кольцами. Начало работам по классификации было положено Дьедонне. В последующем Хонда, Манив, Дьедонне, Кох, Лазар и другие получили классификации в различных случаях. Однако, работа по классификации формальных групп далека от завершения. В частности, значительный интерес вызывает возмож-
1Востоков С. В. Явная форма закона взаимности — Изв. АН СССР, сер. мат., 1978, т. 42, с. 1289-1321.
JHenniart G. Sur lee bit d« reciprocity explicitee.I. — J. reine und angew. Hath., 1981, v. 329, p. 177-202.
эВостоков С. В. Спаривание aa К - группах многомерных полных нолей — Труды Санкт-Петерб. Мат. общ., 1994, т. 3, с. 140-184.
4Востоков С. В. Символы на формальных группах — Изв. АН СССР, Сер. мат., 1981, т. 45, с. 985-1014.
ность обобщения идей и методов работы Т. Хонда9.
Не меньшее значение в алгебраической теории чисел имеют круговые поля. Это объясняется тем, что, во-первых, именно при переходе.от поля Q к круговым полям впервые возникают многие проблемы, определившие круг задач алгебраической теории чисел (такие, как, например, проблема однозначности разложения на простейшие). Во-вторых, круговые поля обладают сравнительно простой структурой и поетому служат основой для многих новых понятий и теорий.
Круговые поля естественно возникли в середине 19 века в основополагающих работах Куммера, посвященных Великой теореме Ферма, В настоящее время, после работ Леопольдта - Кубо-ты о ;>-адических .^-функциях, Ивасавы о Z^-расширениях, круговые поля являются объектом пристального изучения. Одним из направлений исследований, связанных с круговыми полями, являются вопросы, связанные с явной формой закона взаимности. Ивасава, Коутс, Коутс и Уайлс получили важные результаты в втом направлении. В отличие от работ С.В.Востокова здесь используются другие подходы иполучается абсолютно другой тип формул.
Важное место в теории круговых полей уделяется круговым
единицам. Различные группы круговых единиц определялись
Леопольдтом, Синнотом, Вашингтоном. Результаты, описыва
ющие образующие элементы группы круговых единиц и индекс
группы круговых единиц в группе всех единиц для поля 0(СР«)
восходят к Куммеру. В дальнейшем Синнотом6 был вычислен
в явном виде индекс группы круговых единиц Синнота в группе
всех единиц для случая произвольного кругового поля. Р. Ку
чера получил подобный результат для группы круговых единиц
Вашингтона. Одной из причин интереса к круговым единицам
является то, что они могут быть применены для получения ин
формации о числе классов. Этим вопросам посвящены многие
работы, среди которых — работа Р. Кучера7, -
"Honda Т. On the theory of commutative formal groups — J. Math. Soc. Japan, 1970, v. 22, p. 213-246.
'Sinnott W. On the Stickelberger ideal and the circular units of a cyclotomic field — Ann. of Math., 1978, v. 108, p. 107-134.
TKucera R. On the parity of the claee number of a biquadratic field —J. Number Theory, 1995, v. Б2, p. 43-62.
Таким образом, наличие интересных и многообещающих проблем делает данную тематику весьма актуальной для изучения.
Цель работы.
Ввести и описать структуру группы на множестве формальных групп, изучить вопросы классификации формальных групп с точки зрения введенной групповой структуры. Используя формальные группы, ввести понятие формального кольца и вычислить количество представлений элементов некоторых формальных колец в виде суммы /-ых степеней.
Основные результаты работы.
Главными результатами работы являются, во-первых, установление связи между структурой группы и действием строгих изоморфизмов на множестве FL(R). во-вторых, теоремы о количестве представлений элементов колец Z/p'Z в виде сумм 1-ых степеней обратимых элементов с ограничением на количество одинаковых слагаемых.
Методика исследований.
В работе использованы классификационная теорема Хонды, теоремы об образующих элементах группы круговых единиц круговых, а также общие методы алгебраической теории чисел и теории разбиений.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в вопросах классификации формальных групп над произвольными кольцами, вычисления числа представлений элементов в виде суммы степеней над произвольными формальными кольцами.
Апробация результатов диссертации.
Результаты работы докладывались на алгебраическом семинаре имени Д.К. Фаддеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова Российской Академии Наук.
Публикаиии.
По теме диссертации автором опубликованы 3 работы, указанные в конце реферата.
Объем в структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 11 параграфов, и списка литературы, содержащего 48 позиций. Нумерация формул, лемм и теорем, а также параграфов ведется отдельно для каждой главы. Диссертация занимает 93 страницы машинописного текста.