Классифицирующие пространства алгебраических групп и их инварианты НЕШИТОВ Александр Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. К-теория классифицирующих пространств расщепи мых редуктивных групп 21

1.1. Этальное классифицирующее пространство 21

1.2. Эквивариантная К-теория 24

1.3. /С-теория мотивных пространств 26

1.4. Формулировка основного результата 26

1.5. Доказательство основного результата 27

Глава 2. Когомологические инварианты и кручение в группе Чжоу версального многообразия флагов 41

2.1. Когомологические инварианты 41

2.2. Классифицирующее многообразие и версальный торсор 44

2.3. Абстрактный класс Черна 45

2.4. Основной результат 46

2.5. Полуразложимые инварианты простых групп 53

2.6. Пример полуразложимого инварианта, не являющегося разложимым 61

2.7. Некоторые приложения 62

Заключение 66

Литература

• Эквивариантная К-теория
• Формулировка основного результата
• Классифицирующее многообразие и версальный торсор
• Пример полуразложимого инварианта, не являющегося разложимым

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Классифицирующие многообразия являются мощным инструментом изучения топологических групп и позволяют определить большое число важных инвариантов топологических групп. В частности, топологическая теорема Атьи-Сегала о пополнении устанавливает изоморфизм между Ао-теорией классифицирующего пространства связной компактной группы Ли G и кольцом представлений (7, пополненным в идеале аугментации.

Алгебраическая версия классифицирующего пространства для аффинных алгебраических групп рассматривалась такими авторами как Ф. Богомолов, Б. Тотаро. Построение В. Воеводским и Ф. Морелем категории мо-тивных пространств позволило им определить этальное классифицирующее пространство, являющееся естественным аналогом классифицирующего пространства для торсоров в этальной топологии. Алгебраическая /С-теория является представимой в мотивной гомотопической категории Воеводского-Мореля, таким образом можно определить /С-теорию произвольного мотив-ного пространства, причем полученное определение будет согласовано с классическим определением /С-теории алгебраических многообразий, и полученная /С-теория будет обладать необходимыми функториальными свойствами. Таким образом, в контексте мотивных пространств естественным образом определены аналоги всех объектов, участвующих в формулировке теоремы Атьи-Сегала, и естественным становится вопрос, выполнен ли аналог теоремы Атьи-Сегала в алгебраической геометрии.

Другим важным инструментом в изучении алгебраических групп, связанным с классифицирующим пространством, является теория когомологических инвариантов группы. Для базового поля F и алгебраической группы G над F под когомологическим инвариантом группы G степени d со значени-

ями в модуле Галуа М понимается естественное преобразование функторов

на категории расширений полей над F. Будем обозначать через Inv (G, М) группу когомологических инвариантов степени d со значениями в М. Понятие когомологического инварианта было введено Ж.-П. Серром и развито в работах М. Роста, А. Меркурьева, С. Гарибальди ] и многих других. Когомологические инварианты могут быть отождествлены с классифицирующим пространством следующим образом. Для полупростой расщепимой алгебраической группы G рассмотрим ^-представление G, обладающее открытым G-эквивариантным подмножеством U С V, таким что действие G на U свободно, и фактор U/G существует в категории схем. Тогда U/G можно рассматривать как аппроксимацию этального классифицирующего пространства B_efG. В случае, когда F - бесконечное поле, схема U/G обладает следующим классифицирующим свойством: для любого расширения полей L/F и торсо-ра Е —> SpecL, в любой открытой подсхеме W С U/G найдется L-точка /: SpecL —> W, такая что обратный образ торсора U —> U/G вдоль / изоморфен Е:

f*(U) = Е.

В данном контексте слой торсора U —> U/G над общей точкой Specie = Spec F(U/G) называется версальным торсором и обозначается U^gen —> Specie. Соответствующее многообразие флагов U^gen/B, где В - Борелевская подгруппа (7, называется версальным многообразием флагов и обозначается Х^деп. Отображение эвалюации, вычисляющее значение когомологического инварианта на версальном торсоре Inv (G,M) —> H^d(K, М),а ь-> a{U^gen) является вложением. Когомологический инвариант а называется нормализованным, если он принимает нулевое значение на тривиальном торсоре. Обозначим через Inv (G, М)_погт группу нормализованных инвариантов. Мож-

но заметить, что для нормализованного инварианта а Є Inv (G, M)_norm значение на версальном торсоре a(U^gen) содержится в ядре отображения H^d(K,M) —> H^d(K(X^9en), М). При этом, для произвольного скрученного многообразия флагов X над полем L работы А. Меркурьева ] и Э. Пера ] устанавливают существование точной последовательности

Е^х -+ ker(#³(L,Q/Z(2)) - #³(L(X),Q/Z(2))) - CH²(X)_tors - О,

где і?-некоторая этальная алгебра над L, a Q/Z(2) - модуль Галуа, такой что Q/Z(2) = 0_pQp/Zp(2), где сумма берется по всем простым числам р, и Q_p/Z_p(2) = lim fipn при р т^ char F, где ц_рп - группа корней р^п степени из единицы. В дальнейшем будем обозначать Q/Z(2) через 2.

Рассмотрение данной последовательности в случае L = К и X = Х^деп дает гомоморфизм

Inv (G,2)_norTO —> СН (X^gen)tors

Вызывает интерес вопрос о сюръективности данного отображения и описании его ядра, а также дальнейшее изучение взаимосвязи между когомологическими инвариантами степени 3 и циклами Чжоу коразмерности 2 версального флагового многообразия.

Таким образом, тематика диссертационной работы актуальна.

Цель диссертационной работы. Целью первой главы диссертационной работы является доказательство алгебраического аналога теоремы Атьи-Сегала для расщепимой связной редуктивной алгебраической группы G. Целью второй главы диссертационной работы является построение изоморфизма между подгруппой кручения группы Чжоу циклов коразмерности 2 версального флагового многообразия и фактор-группой нормализованных когомологических инвариантов степени 3 по модулю подгруппы полуразложимых инвариантов полупростой расщепимой группы G над полем, а также доказа-

тельство факта, что группа полуразложимых инвариантов совпадает с ранее хорошо изученной группой разложимых инвариантов в случае простой рас-щепимой алгебраической группы G.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены для решения различных вопросов, связанных с теорией представлений, когомологическими инвариантами полупростых расщепимых групп, а также для вычисления кручения в группах Чжоу версальных многообразий флагов.

Методы диссертационного исследования. Для исследования /С-теории этального классифицирующего пространства B_etG связной расще-пимой редуктивной группы G используется метод приближения гладкими многообразиями и мотивная точная последовательность Милнора, а также метод редукции к Борелевской подгруппе группы G.

Для исследования группы когомологических инвариантов полупростой расщепимой группы G используется техника мотивных когомологий, характеры Черна и комбинаторика решеток корней и весов полупростой расщепимой группы G.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

Доказано существование естественного изоморфизма

KS(Speck)%^K_n(B_etG)

между пополнением в идеале аугментации Iq кольца представлений Repk(G) эквивариантной /С-теории Томасона поля к и К-теорией этального классифицирующего пространства Воеводского-Мореля для связной расщепимой редуктивной группы G над базовым полем к.

Для полупростой расщепимой группы G над базовым полем к доказано
существование изоморфизма

Inv³(G, 2)_norm/ Inv³(G, 2)_sdec = CH(X^gen)_tors

Между фактор-группой группы нормализованных инвариантов 3 степени Inv (G, 2)_погто по модулю полгруппы полуразложимых инвариантов Inv (G,2)_sdec ^и подгруппой кручения группы Чжоу циклов коразмерности 2 на версальном многообразии флагов Х^деп.

Получено комбинаторное описание фактор-группы
Inv (G, 2)_adecf Inv (G_}2)_dec группы полуразложимых инвариантов
степени 3 по модулю хорошо изученной подгруппы разложимых
инвариантов степени 3, Inv (G, 2)_dec в терминах формального класса
Черна и решеток весов и характеров расщепимого тора Т* и группы
Вейля W полупростой расщепимой группы G:

Inv*(G,2)_sdec=c₂(I_wnZ[T*])
Inv³(G,2),_ec c₂(Z[T*D

Доказано совпадение групп полуразложимых и разложимых инвариан
тов для всех простых расщепимых групп G.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция "Structures of algebraic groups"(Лион, 2014)

Семинар по А -топологии и К-теории, Лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ (Санкт-Петербург, 2014)

Алгебраический семинар университета Оттавы (Оттава, 2012)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в двух печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, ], входящих в список ВАК. Работы [, ] написаны в соавторстве. В работе ] диссертанту принадлежат результаты параграфов 2 и 3: доказательства теорем 3.1, 3.2 и 3.3. В работе [] диссертанту принадлежат результаты параграфа 2: доказательство теоремы 2.10, а также результаты пунктов 3.2, 3.3, 3.4 и 3.5 в параграфе 3.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все основные результаты, представленные в диссертации, получены лично автором. Приложения в пунктах 2.7.2, 2.7.3, вычисления пункта 2.5.2, а также подход, использующий формальный класс Черна в пункте 2.4.1, получены совместно с соавторами. Пример в 2.6 был предложен В. Черноусовым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 45 наименований. Первая глава состоит из 5 параграфов, вторая глава состоит из 7 параграфов. Объем диссертации - 71 страница.

Эквивариантная К-теория

Для этого построим очень обильный G-эквивариантный пучок ОхХ) вместе с G-экивариантное вложение і : X - - Рп, таким что OxiX) = 2 Ср(1). Пусть L— очень обильное линейное расслоение. Согласно [29, следствие 1.6] расслоение L является G-эквивариантным для некоторого к. Тогда определено действие G на V = Г(Х, Lk) и эквивариантный морфизм і : X — P(V), который является вложением, так как L очень обильно. Тогда положим ОхХ) = Lk. Стандартное вложение тавтологического расслоения тщу) У х P(V ) дает G-эквивариантное вложение локально свободных пучков ОщуЛ—1) - -Ощу) 0 0 Ощуу Применяя тензорное умножение на (9р(1), получим Ср(У) Ср(У)(1) 0 0 Ср(у)(1)- По индукции имеем (7-эквивариантное расслоение (9р(у) - - (9р(у)(п) 0 ... 0 (9р(у)(п). Применяя і , получим Ох Охіп)...Охіп). Определим OXXYX) = 7Г )х(1)- Применяя гомоморфизм обратного образа 7Г , получим эквивариантное вложение М М(п)@...@М(п). для произвольного локально свободного G-модуля М. Коядро этого вложения также является локально свободным G-модулем. Таким образом, для каждого локально-свободного G-модуля найдется резольвента, состоящая из модулей вида М(п). Согласно [28, Теорема 8.8], для каждого локально-свободного модуля (7-модуля М модуль Min) лежит в V-xiG] X х Y) при достаточно больших п. Проверим, что полученная резольвента конечна. Пусть N = dimX + dim У. Обозначим через (7 коядро первого шага резольвенты: О - М -+ Р -+ С0 -+ 0. Тогда имеем точную последовательность N+l, W„ пО ч DW„ / Ю О = іГтг,Ри - іГтг Си - іГ+ітг М. Пучок RN+l7i M ассоциирован с предпучком У ь- i7w+1(V х X, М) = О согласно [28, Теорема 2.7]. Тогда RNTT C = 0. Для следующего коядра С1 имеем точную последовательность 0 - С0 - Р1 - С1 - 0. Тогда 0 = Д тг.Р1 - д"-1 1 ЛVC7 = 0. Таким образом, R тг С =0. Продолжая по индукции, получим, что Rk7T,CN = 0 при всех к 0. Тогда CN Є Ob{V {G; X xY)). Лемма 7. Пусть (7,lG Sm м /: U X - плоский морфизм. Рассмотрим проекции рх X х G/B — X м р;у: U х G/B — [I. Тог 9а [/ (/ х idc/вУ = Г о рх : iC(G; х G/B) - i (G; С/) Доказательство. Пользуясь обозначениями леммы 5 рассмотрим диаграмму категорий V(G\U xG/B) (/xidG/J V{G]X xG/B) (/xidG/B) p VP{G] U х G/B) Vp{G]XxG/B) Ри Px M(G;U) M(G;X] Г Нижний квадрат коммутирует согласно лемме 5, верхний квадрат коммутативен, так как состоит из естественных вложений категорий. Применяя if-функтор, получим коммутативную диаграмму Kn{G] U х G/B) - Kn{G] X х G/B) (1.Г аи ax Kn(Vp(G; U x G/B)) « Kn(Vp(G; X x G/B)) K(G; U) - K n(G; X) Согласно теореме Квиллена о резольвенте [30, 4] отображения ац, ах являются изоморфизмами. По определению, эквивариантные гомоморфизмы прямого образа K n{G; X х G/B) - K n{G] X) и K n{G; U х G/B) - K n{G] U) равны композиции а-1 K n(G, X х G/B) Kn(G; X х G/B) Л Kn(Vp(G; X х G/B)) -+ K n(G; X) и K n(G, U x G/B) Kn(G; U x G/B) 4 Kn(Vp(G; U x G/B)) -+ K n(G; U). Таким образом, утверждение леммы следует из коммутативности 1.1. Лемма 8. Обозначим через pi: EG І Х G/B — EG І проекцию и через fi: EGi — EGi+\ вложение. Тогда / о pi+i = р о (/ х гйс/в) : Kn(G;EGt+l х G/B) - Kn(G; Ed) Доказательство. Заметим, что вложение /j: E Gj — EGi+\ раскладывает ся в виде E Gj - EGi х W - EGi+i, где И -аффинное пространство с G-действием, первое отображение - вложение нулевым слоем, а второе отоб ражение - открытое вложение. Тогда / = е о д . В силу гомотопической инвариантности имеем е = (7Г )-1, где ТІІ : EGi х W — E Gj - проекция. То гда / и (fi х idc/в) представляется в виде композиции обратных образов вдоль плоских морфизмов, и тогда утверждение следует из леммы 7. Напомним, что согласно 1.1 этальное классифицирующее пространство BefG изоморфно копределу гладких многообразий BGi, і 0 Доказательство следующей леммы использует аргументацию, сходную с [31, Предложение 15].

Лемма 9. Пусть X Є Sm X — X гладкое отображение, локально тривиальное в топологии Зарисского, слои которого изоморфны аффинным пространствам, и Х-аффинно. Пусть р: L — X векторное расслоение, Z С L замкнуто, codim Z = d dimX. Тогда существует морфизм f:X — L\Z в гомотопической категории НА1 (к), такой что композиция X — L\ Z — X является тождественным отображением. Доказательство. Пусть L = L Xj X обратный образ L вдоль р. Тогда Z = Z Хх X имеет коразмерность d. Так как Х-аффинно, существует на крытие q: X х А — L тривиальным раслоением. Тогда q l(Z) имеет кораз мерность d dimX в X х AN, следовательно dim q l(Z) N, тогда при проекции на AN существует рациональная точка вне образа q l(Z). Это даст сечение X — X х Aw \ q l{Z) — L\ Z — L\ Z. Так как отображение X — X является изоморфизмом в ҐИ.А1(к)і получим сечение X — L \ Z в гомотопической категории. П Пусть г обозначает ранг тора Т. Можем считать, что в представлении W, использованном для построения набора EG І в 1.1 для каждого сомножителя Gm в Т, имеем разложение W = W\ 0 Wo, где W\ - одномерное подпространство в W, на котором GTO действует с весом 1, а остальные сомножители действуют тривиально.

Зафиксируем некоторый сомножитель GTO в Т. По построению, EG i = Sur{W 0 k2\ W) - пространство сюръективных отображений из W 0 к2г в W. Тогда композиция с проекцией на W\ дает отображение EGii = Sur(W 0 k2\W) - Sur(W 0 k2\Wi) = Adw+2t \ 0, где dw = dimW. Взяв фактор по действию Gm получим отображение EG iilGm -Л р +2«-і_ далеЄ5 заметим, что EG2i является открытым подмножеством в тривиальном расслоении Sur{W 0 k2\Wi) х Hom(W 0 ft2 , Wo), причем коразмерность дополнения в каждом слое больше 2г. Пусть Е - ограничение этого расслоения на Sur{W 0 kl dw,Wi). Тогда (EG2i П E)/Gm - открытое подмножество в расслоении E/Gm — Sur{W 0 kri dw ,Wi)/Gm = P _1, причем дополнение имеет коразмерность больше чем 2г. Согласно конструкции Жуана-лу ([32, Лемма 1.5]), можем выбрать аффинное многообразие Р -1, размерности 2г — 2, удовлетворяющее условию леммы 9. Тогда найдется отображение в гомотопической категории Р — EG2i/Gm, такое что композиция Р -1 — EG2i/Gm -л pdw+2«-i _ вложенИе5 индуцированное отображением Sur{W 0 к1 , Wi) - Sur{W 0 ft2\ Wx).

Таким образом, для каждой копии Gm построена система отображений EGi/Gm — р +а! _1) согласованная с вложениями, и сечения в НА1 (к) Р -1 — EG iijGm. В силу того, что Т действует на И-7! посредством одной копии Gm, проекция EGi/Gm — p +dw-i пропускается через EGi/T — Р + и/_ . Рассмотрев проекцию для каждой копии GTO в Т, получим отображения EGi/T — (р +а! _1)г. Заметим, что они согласованы с вложениями /і и вложениями (Р )г — (Р7)7 . Сечения в гомотопической категории дают (Рг_1)г - {EG2l/Gm)r - EG2ir+du,(r-i)/Gm, гДе вторая стрелка индуцирована отображением Sw W Ш Д)х Sur{W 0 # , W) - Sb W 0 ki+j+dw,W). Таким образом, для каждого і имеем коммутативную диаграмму EGi-dw/T— EG2ir+dw{r-i)/T ( ) /рг —1\г /Tn 2ir+dwr—l\r где диагональное сечение существует в Н.А1(к). Лемма 10. Для любого п 0 lim Kn{EG{/T) = 0 и последовательность отображений EGi/T — p +dw-i индуцирует изоморфизм Ит/Сп((Р )г) — mKn(EGi/T). Доказательство. Заметим, что набор (А \ 0)г задает допустимую систему с хорошим Т-действием, аппроксимирующую пространство BJT. В силу того, что EG І = EGi/T Хші+dw-iy (At+dw)r, каноническое отображение EGt/T -+ BetT представляется как EGt/T -+ (pi+dw 1)r -+ BetT. Согласно вычислению Кп((г)г) = Kn(k)[xi,.. . жг]/(ж 1+1,.. . хгг+1) получим что Кп((г)Т) — І П((Р _1)Г) сюръективно, следовательно І КпЦГУ) = 0. Алгебраическая /С-теория представима в стабильной гомотопической категории спектром BGL [5, Теорема 6.9]. Тогда согласно короткой точной последовательности Милнора [33, Предложение 2.2.11(c)] имеем, что каноническое отображение индуцирует изоморфизм Kn(BetT) — ])шКп((г)г)). Тогда имеем следующую коммутативную диаграмму:

Формулировка основного результата

Вертикальные отображения сюръективны, а горизонтальные строки диаграм мы точны( [37, Ex. 15.3.6]). Тогда утверждение леммы следует из диаграмм ного поиска. Следствие 3. кеггсн = Oi{Iw П I2) Заметим, что композиция с2: I2 -+ r2(U/B) -+ CR2(U/B) = Sym2(T ) совпадает с абстрактным вторым классом Черна, определенным в разделе 2.3. Следуя [23], обозначим

Для гладкой F-схемы X рассмотрим пучок T L (2) в топологии За-рисского, ассоциированный с предпучком W ь- H t(W,Q/Z(2)). Теорема Блоха-Огуса-Габбера ( [40], [41]) позволяет отождествить глобальные сечения HZar{X T-Ci{2)) с ядром отображения вычета tf3(F(X),2) 0xX(1)#i(X,2) Рассмотрим отображение вычисления на версальном торсоре: в: W(G,2) -+Н3(К,2), в: а aK(Ugen). Согласно [20, Теорема А], отображение в индуцирует вложение Invi{G) 2) — HiJU/GM3(2)) Лемма 20. Для любого а Є Inv3(G, 2)погт имеем 0(a) Є кет(Н3(К, 2) — Н3(К(Хдеп),2)). Доказательство. Рассмотрим композиции q: SpecK(Ugen) — Ugen — 7/(7. Заметим, что гомоморфизм обратного образа представляется в виде композиции q : HZar(U/G,n3(2)) - Н3(К(Хдеп), 2) - H3(K(Ugen),2). Так как 75 еп — Х5 еп - -торсор, следовательно K(Ugen) - чисто трансцен дентное расширение К{Хдеп\ таким образом последнее отображение в ком позиции инъективно. Так как торсор Ugen тривиализуется над K(U9en), полу чим, что q (a(Ugen)) = a(Ugen х к К (Ugen)) = 0 для любого нормализованного инварианта а. Тогда a(Ugen) Є кег(Я3(іС, 2) - H (K(Xgen),2)). Лемма 21. Пусть У — SpecL - G-mopcop и X = Y/B. Пусть Lsep обозначает сепарабельное замыкание L, VL - группу Галу а, и Xsep = X Xi Lsep. Тогда действие VL на PicXsep тривиально.

Доказательство. Пусть \\ Т — Gm - характер максимального расщепимого тора Т. Характер х задает действие Т на Y х А , откуда получим расслоение V(x) = Y х А1 /Т — У/Т. Рассмотрим отображение Т — Ріс(У/Т), сопоставляющее х класс расслоения V(x)- Композиция с расширением скаляров Т - Ріс(У/Т) - Pic(ysep/T) = Pic(G/T) совпадает с сужением отображения Л — Pic(G/T) = Pic(G/T), которое является изоморфиз-мом( [42, Предложение 2.2]). Так как действие Г на образе Ріс(У/Т) тривиально, получим что действие Ті на Л тривиально на Т . Тогда для любого о" Є Г и х Є Л имеем пх Є Т для некоторого п, следовательно О = пх — а пх = п(х — а х), откуда х = а х, так как в Л нет кручения. Таким образом, действие Г на Л = Pic(Ysep/T)- тривиально. Так как каноническое отображение Pic(Xsep) — Pic(Ysep/T) - изоморфизм, получим, что действие Г І на Pic(Xsep) тривиально.

Доказательство. Если а полуразложим, a(U9en) Є іт(рия ) = ker(5ijgen). В обратную сторону, пусть а - инвариант степени 3, и 5jjaen(ci(Ugen)) = 0. Пусть Y — SpecL - G-торсор. Покажем, что у(а(У)) = 0. Можем считать, что поле L бесконечно (заменяя на L(t) в противном случае). По лемме 15 найдется L-точка у Є U/G(L), такая что Y изоморфно слою U — U/G над у. Обозначим через R пополнение локального кольца OIJ/QV, и пусть К обозначает поле частных R. По теореме Гротендика, торсор UR над полным кольцом R изоморфен обратному образу Y вдоль проекции Spec R — у. Тогда торсоры Y и Ug?n над К изоморфны. Согласно построению морфизма 5 в [12] имеем

Inv3(G,2)norm СН2(с//Б)/СН2(с//С). Отображение Хдеп — U/В — U/G раскладывается в композицию Хдеп — Specie — U/G, следовательно композиция гомоморфизмов обратного образа CR2{U/G) - CR2{U/B) - СН2(Х еп) равна нулю. Это дает гомоморфизм д: Inv3(G,2)norm - СЯ2{U/В)/ СЯ2{U/G) - СЯ2{Хдеп), который согласно теореме Б. Кана ( [24, 8, с. 124-125]) пропускается через отображение дцяеп. Согласно [23, 3.9] отображение g может быть включено в коммутативную диаграмму

Пусть простое число и = SLps/pr для некоторых 0. Если нечетно, положим = min(, — ). Если = 2 предположим что + 1 и положим = min(, — — 1). Согласно [44, 4] группа Inv (, 2) циклическая порядка . Для многообразия Севери-Брауэра общей центральной простой алгебры деп, согласно [10, Example 4.15] группа СН ()t0rs также является циклической порядка . Естественное отображение деп — получается как последовательность проективизированных расслоений, откуда СН (9en)tors = СН ()tors циклическая группа порядка/. Тогда согласно 2 получим Dec() = SDec(). В общем случае, пусть G = SLn//im, где т \ п. Пусть рТ и ра - наибольшие степени простого р, делящие пит соответственно. Рассмотрим гомоморфизм Н = SLps//ip — G. Докажем, что этот изоморфизм индуцирует изоморфизм между р-примарными компонентами Inv (G, 2)inrj и Inv (Н} 2)inrj. Пусть Н = SLn//ipr. Согласно [44, Теорема 4.1], естественный гомоморфизм Inv (Н , 2)ind — Inv (Н, 2)ind является изоморфизмом. Таким образом, достаточно показать, что гомоморфизм обратного образа вдоль канонической сюръекции Н — G индуцирует изоморфизм между р-примарными компонентами Inv (G, 2)ind и Inv (Н , 2)ind. Заметим, что ядро Н — G изоморфно /it, где t = т/рг взаимно просто ср. Пусть Л С Л - группы характеров максимальных торов G и Н соответственно. Фактор Л /Л изоморфен /i = Z/Z.. Тогда ядро и коядро гомоморфизма Inv3(G,2)w, = Sym2(A)M//Dec(A) Sym2(M)w/Т ж(М) = Inv3(# ,2)ind уничтожаются умножением на . Так как t взаимно просто ср, гомоморфизм индуцирует изоморфизм между р-примарными частями. Пусть Хд п обозначает версальное многообразие флагов для Н. Так как согласно [10, Предложение 1.3] р-примарные компоненты CH(X5 en)tors и CH(X 3n)tors изоморфны, то исходя из точной последовательности теоремы 2 получим Dec(G) = SDec(G).

Классифицирующее многообразие и версальный торсор

Пусть G = PGSp2n расщепимая проективная симлектическая группа. Для расширения полей L/F множество Н (L, G) изоморфно множеству классов изоморфизмов центральных простых L-алгебр степени 2п с симплектиче-ской инволюцией о" (см. [35, 29]) разложимый инвариант сопоставляет алгебре {А, а) элемент (ф) U [А] для фиксированного ф Є Fx. В частности, значение разложимого инварианта не зависит от инволюции. В случае 4 п. Тогда согласно [23, Теорема 4.6] группа неразложимых инвариантов Inv (G, 2)inrj циклическая порядка 2. Если характеристика F не равна 2, в [18, Теорема А] был сконструирован инвариант Д2п степени 3 с коэффициентами в Z/2Z. Было показано, что если а Є А является сг-симметричным элементом Ах и а = Int(a) о о", то Д2п(Д а ) = А2п(А, а) + Nrp(a) U [А], (2.4) где Nrp- пфаффиан-норма. В частности, A2n зависит от инволюции, следовательно не является разложимым. Тогда согласно теореме 2, этот инвариант не является полуразложимым. Тогда класс А2п(А) Є H3(L, Z/2Z)/LX U [A] элемента A2n(A, о"), зависящий только от центральной простой алгебры Л, нетривиален для какой-то алгебры А. Это дает ответ на вопрос, поставленный в [18].

Пусть G = SLn//im, где тип имеют одинаковый набор простых делителей и т п. Для расширения полей L/F естественная сюръекция G — PGLn дает отображение a: Hl{L,G) - H\L,PGLn) С Br{L), сопоставляющее каждому торсору Y класс некоторой центральной простой алгебры A(Y) в группе Брауэра. По определению, разложимый инвариант имеет вид Y ь- (ф) U [Л(У)] для некоторого фиксированного ф Є Fx.

Отображение SLm — SLn, сопоставляющее матрице М тензорное произведение с единичной матрицей М 8 1п/т дает гомоморфизм PGLTO — С Индуцированный гомоморфизм согласно [23, Теорема 4.4] ф: Inv3(G,2) norm J-HV yr VJJ_JTO, )norm даст расщепление вложения Fx jFxm = Inv (G, 2) ec — Inv (G,2)norTO Рассмотрим группу неразложимых инвариантов G: Inv3(G, 2)md m/kZq/mZq} (2.5) где & равен наибольшему общему делителю чисел п/т и т в случае нечетного п/т и чисел п/2т и т в случае четного n/m. Тогда существует единственный инвариант Ащт в Inv (G, 2)погто, такой что его класс в Inv (G, 2)jnc совпадает с m/kq + mZq и 0(АП;ТО) = 0. Заметим, что Ащт имеет порядок к в Inv (G, 2)погт. Таким образом, AnjTO принимает значения в i73(—, Z/kZ{2)). Рассмотрим G-торсор У над F и скрученные формы yG и 5Хі(А(У)). Группа Fx действует транзитивно на слое отображения а над A(Y). Для 0 Є Fx обозначим Y соответствующий элемент в слое. Согласно 2.5 образ Ащт при композиции Inv3(G,2)norm 9 Inv3(yG,2)norm - Inv3(SL1(A(Y)),2)norm равен ш/А;-кратному инварианту Роста. Напомним, что инвариант Роста отправляет класс ф Є Fx/Nrd{A{Y)x) = Hl{F, SLi(A(Y))) в ф U [A(Y)] є H3(F, 2). Тогда получим щт(фУ) »,т(Л Є Fx U т/Л[А(У)]. (2.6) Для центральной простой L-алгебры А степени п и экспоненты делящей т определим элемент ff3(L,Z/fcZ(2)) n m( ) LxUm/fc[i] следующим образом: Выберем G-торсор Y над L, такой что A(Y) = А и положим П;ТО(Л) равным классу П;ТО(У) в фактор-группе. Из равенства 2.6 следует, что щт(А) не зависит от выбора Y. Предложение 2. Пусть А центральная простая L-алгебра степени п и экспоненты, делящей т. Тогда порядок щт(А) делит к. Если А общая алгебра, то порядок щт(А) равен к. Доказательство. Если А; -делитель к, то инвариант А/П;ГП не является разло жимым. Следовательно, к п т не является полуразложимым, следовательно к щт(А) = 0.

Приведем следующий пример: пусть А-центральная простая алгебра степени 2п, делящейся на 8 и экспоненты 2. Выберем симплектическую инволюцию о" на А. Группа PGSp2n является подгруппой в SL2n/M2, откуда, если характеристика поля не равна 2, сужение инварианта 2п,2 на PGSp2n совпадает с инвариантом 2П(А, т), рассмотренному в предыдущем разделе. Тогда 2п,2( 4) = 2п(А) в группе #3(F,Z/2Z(2))/(FX U [А]). При этом класс щт тривиален на разложимых алгебрах:

Предложение 3. Пусть Пі,П2,т-натуральние числа, такие чтот делит п\ и ri i- Пусть А\ и А2- центральные простые алгебры над F степени щ и ri i соответственно, причем их экспонента делит т. Тогда П1П2 т(А\ g А2) = 0 Доказательство. Гомоморфизм тензорного произведения SLni х SLn2 — SLniri2 порождает гомоморфизм

В диссертации была исследована /С-теория этального классифицирующего пространства BetG в категории мотивных пространств Воеводсокого-Мореля для связной расщепимой редуктивной группы G. А именно, был доказан мотивный аналог классической топологической теоремы Атьи-Сегала о пополнении кольца представлений связной компактной группы Ли. Представляет интерес дальнейшая разработка данной темы и исследование аналогичного вопроса в случае нерасщепимой группы G. Решение данного вопроса позволило бы получить новые результаты в теории представлений нерас-щепимых групп. Построение связи между когомологическими инвариантами степени 3 и кручением в группе Чжоу коразмерности 2 версального флага полупростой расщепимой группы G позволило вычислить некоторые ранее неизвестные кручения в группах Чжоу скрученных многообразий флагов. В дальнейшем представляет интерес рассмотрение случая G - группы не-внут-реннего типа и выяснение вопроса, выполняется ли аналогичный результат в данном случае.

Пример полуразложимого инварианта, не являющегося разложимым

Для гладкой F-схемы X рассмотрим пучок T L (2) в топологии За-рисского, ассоциированный с предпучком W ь- H t(W,Q/Z(2)). Теорема Блоха-Огуса-Габбера ( [40], [41]) позволяет отождествить глобальные сечения HZar{X T-Ci{2)) с ядром отображения вычета tf3(F(X),2) 0xX(1)#i(X,2) Рассмотрим отображение вычисления на версальном торсоре: в: W(G,2) -+Н3(К,2), в: а aK(Ugen). Согласно [20, Теорема А], отображение в индуцирует вложение Invi{G) 2) — HiJU/GM3(2)) Лемма 20. Для любого а Є Inv3(G, 2)погт имеем 0(a) Є кет(Н3(К, 2) — Н3(К(Хдеп),2)). Доказательство. Рассмотрим композиции q: SpecK(Ugen) — Ugen — 7/(7. Заметим, что гомоморфизм обратного образа представляется в виде композиции q : HZar(U/G,n3(2)) - Н3(К(Хдеп), 2) - H3(K(Ugen),2). Так как 75 еп — Х5 еп - -торсор, следовательно K(Ugen) - чисто трансцен дентное расширение К{Хдеп\ таким образом последнее отображение в ком позиции инъективно. Так как торсор Ugen тривиализуется над K(U9en), полу чим, что q (a(Ugen)) = a(Ugen х к К (Ugen)) = 0 для любого нормализованного инварианта а. Тогда a(Ugen) Є кег(Я3(іС, 2) - H (K(Xgen),2)). Лемма 21. Пусть У — SpecL - G-mopcop и X = Y/B. Пусть Lsep обозначает сепарабельное замыкание L, VL - группу Галу а, и Xsep = X Xi Lsep. Тогда действие VL на PicXsep тривиально.

Доказательство. Пусть \\ Т — Gm - характер максимального расщепимого тора Т. Характер х задает действие Т на Y х А , откуда получим расслоение V(x) = Y х А1 /Т — У/Т. Рассмотрим отображение Т — Ріс(У/Т), сопоставляющее х класс расслоения V(x)- Композиция с расширением скаляров Т - Ріс(У/Т) - Pic(ysep/T) = Pic(G/T) совпадает с сужением отображения Л — Pic(G/T) = Pic(G/T), которое является изоморфиз-мом( [42, Предложение 2.2]). Так как действие Г на образе Ріс(У/Т) тривиально, получим что действие Ті на Л тривиально на Т . Тогда для любого о" Є Г и х Є Л имеем пх Є Т для некоторого п, следовательно О = пх — а пх = п(х — а х), откуда х = а х, так как в Л нет кручения. Таким образом, действие Г на Л = Pic(Ysep/T)- тривиально. Так как каноническое отображение Pic(Xsep) — Pic(Ysep/T) - изоморфизм, получим, что действие Г І на Pic(Xsep) тривиально.

Лемма 22. Инвариант а полуразложим, тогда и только тогда, когда a(Ugen) Є kei(5Ugen).

Доказательство. Если а полуразложим, a(U9en) Є іт(рия ) = ker(5ijgen). В обратную сторону, пусть а - инвариант степени 3, и 5jjaen(ci(Ugen)) = 0. Пусть Y — SpecL - G-торсор. Покажем, что у(а(У)) = 0. Можем считать, что поле L бесконечно (заменяя на L(t) в противном случае). По лемме 15 найдется L-точка у Є U/G(L), такая что Y изоморфно слою U — U/G над у. Обозначим через R пополнение локального кольца OIJ/QV, и пусть К обозначает поле частных R. По теореме Гротендика, торсор UR над полным кольцом R изоморфен обратному образу Y вдоль проекции Spec R — у. Тогда торсоры Y и Ug?n над К изоморфны. Согласно построению морфизма 5 в [12] имеем

Для классических присоединенных все нормализованные инварианты степени 3 разложимы: Inv (, 2)norm = Inv (,2) ec согласно [23, 4b], таким образом Inv (, 2)rjec = Inv (, 2)scfec. Для исключительных групп, согласно [24, с. 135] и [23, 4Ь] имеем Dec() = Dec() = 6Z для Q И Dec() = Dec() = 12Z для j, откуда Dec() = SDec() согласно включениям 2.3. Для специальной ортогональной группы = S02n согласно [24, с.14515] имеем Dec(S02n) = Dec(Spin2n) = 2Z, откуда Dec() = SDec().

Пусть простое число и = SLps/pr для некоторых 0. Если нечетно, положим = min(, — ). Если = 2 предположим что + 1 и положим = min(, — — 1). Согласно [44, 4] группа Inv (, 2) циклическая порядка . Для многообразия Севери-Брауэра общей центральной простой алгебры деп, согласно [10, Example 4.15] группа СН ()t0rs также является циклической порядка . Естественное отображение деп — получается как последовательность проективизированных расслоений, откуда СН (9en)tors = СН ()tors циклическая группа порядка/. Тогда согласно 2 получим Dec() = SDec(). В общем случае, пусть G = SLn//im, где т \ п. Пусть рТ и ра - наибольшие степени простого р, делящие пит соответственно. Рассмотрим гомоморфизм Н = SLps//ip — G. Докажем, что этот изоморфизм индуцирует изоморфизм между р-примарными компонентами Inv (G, 2)inrj и Inv (Н} 2)inrj. Пусть Н = SLn//ipr. Согласно [44, Теорема 4.1], естественный гомоморфизм Inv (Н , 2)ind — Inv (Н, 2)ind является изоморфизмом. Таким образом, достаточно показать, что гомоморфизм обратного образа вдоль канонической сюръекции Н — G индуцирует изоморфизм между р-примарными компонентами Inv (G, 2)ind и Inv (Н , 2)ind. Заметим, что ядро Н — G изоморфно /it, где t = т/рг взаимно просто ср. Пусть Л С Л - группы характеров максимальных торов G и Н соответственно. Фактор Л /Л изоморфен /i = Z/Z.. Тогда ядро и коядро гомоморфизма Inv3(G,2)w, = Sym2(A)M//Dec(A) Sym2(M)w/Т ж(М) = Inv3(# ,2)ind уничтожаются умножением на . Так как t взаимно просто ср, гомоморфизм индуцирует изоморфизм между р-примарными частями. Пусть Хд п обозначает версальное многообразие флагов для Н. Так как согласно [10, Предложение 1.3] р-примарные компоненты CH(X5 en)tors и CH(X 3n)tors изоморфны, то исходя из точной последовательности теоремы 2 получим Dec(G) = SDec(G). 2.5.3. Присоединенные группы типа С т{т 1) Согласно [23, 4Ь] имеем Sym2{T )w = Zq и Dec(G) = c2(Z[T ]w) = 2Zq. Покажем, что для любого х Є Iw П Z[T ] выполнено С2(х) Є 2Zq. Для веса X Є Л обозначим через W(x) его Ж-орбиту и ех = ХлєЩу)(1 е Л). По определению, идеал Iw порожден элементами еШіі=\..Агт ще ШІ фундаментальные веса. Элемент х может быть записан в виде 2_]ПІЄШІ + 5іЄШі} где Пі Є 1і И Si Є І. 4т X = г=1 Аналогично [45, 3], рассмотрим гомоморфизм /: Z[A] — Z[A/T ], индуцированный сюръекцией Л — Л/Т = С . Так как С = Z/2Z, то Z[A/T ] = Z[y]/(y2 —2у), где у = /(eWl —1). Заметим, что действие W на С тривиально. Так как /(/) = 0, то f(x) = 0. Так как Ш{ Є Т для четных і, І\еШі) = у для НечеТНЫХ І И /(#ї) Є f(I) = (у), ПОЛуЧИМ 0 = f(x) = 2 п$гУ + rriidiy2 = 2 (пг + 2тг)(ігу, і нечетно і нечетно где тг Є Z и rfi = (4) - мощность орбиты W(ui). Тогда г нечетно(п + 2rrii)di = 0. Разделив эту сумму на наибольший общий делитель d{ и взяв результат по модулю 2, получим, что коэффициент п\ является четным.