Введение к работе
Актуальность темы. Теория представлений бесконечномерных групп началась с исследовании К.О.Фридрихса, И.Сигала, Ф.А.Березина, Д. Яейла, В.Стайнеспринга по автоморфизыам канонических коммутационн-иых и антикоммутационных соотновений (1953 - 1965). Основним результатом этих работ была конструкция представления Вейлл бесконечномерной симплектической группы и спинорного представления ортогональной группы. С середины 60-ых годов предметом исследования становятся представления бесконечной симметрической группы, 5есконечномерных аналогов классических групп, групп токов, групп диффеоморфизмов (работы Э.Тома, Р.С.Исмагилова, А.Либермана, Л.А. ІІириллова, Д.Войкулесяу, С.Стратилы, А.М.Вероика, И.М.Гельфачда, И.И.Граева, Г.И.Ольшанского, С.В.Керова, А.Гишарде, К.Партасарати, К.Шмидта и др.). Около 1990 г. после работ Г.Сигала, Леповского, Зильсона, В.Каца основной интерес переместился на представления алгебры Вирасоро и аффинных алгебр.
К началу 80-ых годов теория представлений бесконечномерных групп состояла из многочисленных слабо связанных (а иногда никак не связанных) между собой частей, число которых продолжало расти. 3 это время постепенно начали появляться объединяющие факторы. Первый, "внешний", объединяющий фактор - "универсальность" спинорного представления и "представления Вейля". Если мы хотим построить представление бесконечномерной группы Су , мы должны вложить G- в бесконечномерную симплектическую или ортогональную группу, а потом ограничить представление Вейля или соответственно спинор-ное представление' на G- .
Второй объединяюший фактор - принцип полугруппового продолжения, сформулироЕэнный Г.И.Ольшанским около 1980 г. Оказалось, что
почти с любой бесконечномерной группой О-(по-видимому с любой;
допускающей содержательную теорию представленій) связана некото
рая невидимая невооруженным глазом полугруппа
причем представления Сх жестким образом продолжаются на I . Ока
залось, что все доказанные к тому вреиени теореыы о юшссификации
представлений для бесконечномерных групп неявным образом исполь
зовали полугруппу I . Используя полугрупповую оболочку, Г.И.
Ольшанский получил также теоремы о классификации представлений
групп [/(р^оо) ,0\р 00} , Ьр (р оо) . Однако
для Солее сложных групп полугрупповую оболочку в точение продолжительного времени не удавалось построить.
В 1986 г. автор построил полугрупповую оболочку для алгебры Вирасоро (двумя годами позднее она была построена Г.Сигалом). Далее Г.И.Ольшанский, П.Л.Назаров и автор построили полугрупповую оболочку для представления Вейля ( а автор ( [4] )-для спинорного представления. Как только это было сделано, стало ясным ( примерно в 1988 г.), что речь идет не о полугруппах, а о категориях.
Принцип категорного продолжения, которому посвящена диссертация состоит в следующей. Пусть (г - бесконечномерная группа (допускающая содержательную теорию представлений). Тогда с \Т , как правило, связана жестким образом некоторая категория Jx, причем представления С- жестким образом продолжаются до представлений категории
Оказалось, что подобные категории сани по себе имеют интересную теории представлений. При этом по существу все теории представлений групп со старшим весом оказываются теориями представлений категорий (сюда относятся категории линенйых отношений
GA.B .С ,7) , связанные с сериями комплексных классиче-:ких групп А^, Ба , С , ^д. ; категории U , Sp , bV , гвязанные с сериями вещественных классических групп U(p . G, ) .
Sp(2n.,IR.) SO*\Zn.) ; категория связанная с алгеброй Вирасоро, категории G" «>п.со. п. , свлэа-ные с аффинными алгебрами, исключения (быть может) составляют особые группы (уJ , г^ , две вещественные формы групп Ся , Е^ и серия Oyty X )
Цель работы. Изучение категорных оболочек различных бесконечномерных групп и их представлений. Изучение полугрупповой оболочки ' алгебры Вирасоро и категории
Научная новизна. Построены категорные оболочки для представления Вейля и спинорного представления - категории 5р и
G 2) морфизмов канонических коммутационных и антикоммутационных соотнозений (это "универсальные" обьекты теории, больаинство представлений категорий "пропускаются" через Sp и OZ) ).
Построена полугрупповал обоЛочка I группы Диффеоморфизмов окружности. Показано, что все представления алгебры Вирасоро со старшим весом интегрируются до представлений \ . Получены явные конструкции и явные формулы для этих преяставлйт ний.
Построены примеры представлений категории Концевича-Сигала (в терминах представлений этой категории согласно М.Л.Концевичу и Гр.Сигалу может быть переформулирована конформная квантовая теория поля).
Получена классификация представлений категорий С А .8.
С ,Ъ.р .U .SO* .
Получены условия ограниченности интегральных операторов вида )(2), (4) в бозонном н фермионнои пространстве Фоке.
Приложения. Результаты диссертации могут найти приложения в понфоры ной квантовой теории поля, в различных областях теории представлений (конечные группы,алгобраические группы, классические группы Лк. бесконс чномерные группы, особые группы), в геоиетрической теории функций, в те рип пространств Тейхшаллсра, в теории операторов, в геометрии симметрических пространств. Полугруппа I довольно часто используется в работах по бесконечномерный группой.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах А.А.Кириллова в УГУ, семинаре А.м.Еереика в ЛОМИ, семинаре ка Д.К.Фа-ддева в СПГУ, Семинаре В.С.Фрадкина в ОИАНе, семинаре Н.и.Гельфанда н А.Н.Рудакова в МГУ и др., на Московской катеаатическоа обществе, на ряде математических икол и конференций ( околы по теории представлений в Тамбове 1987 и 1989гг., Международной вколе "Геометрия и фисика" в Црнн (Чехословакия), международной конференции по алгебре 1989г. в Новосибирске, Сибирской вколе "Алгебра и анализ" 1989г.в Иркутске, око/ по алгебрам Ли 1987г. в Левкове, около "Бесконечномерная дкффзренщшль пая геометрия" 1991г.в Вено, иездународноы сеиестро"Бесконочноиерная алгебра и алгебраическая геоиетрия"1991г. в Пизе(Италил) и др.), по результатам диссертации был прочитан курс лекций в Копенгагенском Уии верситета(1990г). Цикл работ автора по представлениям группы диффеоморфизмов окружности, алгебры Вирасоро и катеогрии bh/tarx был удостоея премии Московского математического общества га 1990г. Автор был приг давен в качестве лектора на 1-ый Европейский Математический конгресс. Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ l] ~t7] (см.список в конце автореферата). Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав Список литературы состоит из 94 названий.