К теории сечений в упорядоченных полях Галанова, Наталия Юрьевна

Введение к работе

Актуальность темы. В различных областях математики широко используются алгебраические системы, оснащенные отношением по-рлдка.согласовапным с алгебраическими операциями. В частности, активному изучению подверглась теория упорядоченных полей. Основополагающий вклад в создание и развитие зтого раздела математики внесли Д.Гнльбсрт, Г.Нейман, Г.Биркгоф, Б.Артин, О.Шраиер, Р.Бэр, Х.Хан, Л.Робинсон и др. В последние годы теория упорядоченных полей получила новый стимул в евпзн с развитием нестандартного анализа и исследованиями нестандартных моделей поля вещественных чисел.

В диссертации проводится исследование иеархимедовых упорядоченных полей с помощью теории сечешііі. Под теорией сечении мы подразумеваем классификацию сечении в упорядоченном поле, теоремы о сечениях различного вида, наконец, теоремы о связи строения сечений в упорядоченном поле со свойствами этого поля. В основе названной теории лежит понятие о. сечении упорядоченного поля, впервые появившееся в работах Дедекинда, изучавшего сечения в поле рациональных чисел. После работ Дедекинда теория сечений получила существенное развитие. Созданы различные классификации сечений. Алгебраические и трансцендентные сечения рассматриваются, например, в работах [4],[7],[3]. В [3],[5] вводятся и изучаются симметричные и несимметричные сеченил. Понятие фундаментального сечения (сечение Гельдера [16], дедекиндово сечение [17], собственно дедекиндово сечение [15]) связано еще с работами Коши и Дедекинда.

Исследование строения сечений в упорядоченных нолях является эффективным орудием изучения и классификации упорядоченных полей. Так, упорядоченное поле вещественно замкнуто в точности тогда, когда все сечения в нем трйнсцендентны [3]; топологически замкнуто, если и только если все сечения в нем фундаментальны [16]; архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в нем несимметричны [11].

В диссертации основное внимание уделяется строению симметричных сечении в полях ограниченных формальных степенных рядов . Особый интерес к симметричным сечениям обусловлен тем, что симметрия се'.ений существенно используется при доказагсльтвах

изоморфизма упорядоченных полей (теорема об изоморфизме [6],Пестов Г.Г.,1997)

Формальные степенные ряды [18] были введены Ханом в 1907 г. Каи было доказано Каплапским (1942,[19]), каждое упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов J?[[Gj], где G-группа архимедовых классов данного поля. Поэтому строение кагкдого упорядоченного поля тесно связано со свойствами соответствующего поля формальных степенных рядов. Изучению полей формальных степенных рядов уделялось большое внимание: вещественную замкнутость полей формальных степенных рядов и их поднолей для линейно упорядоченной делимой группы G доказал Mac Lane (1939, [21]); принимая ОКГ, Alling(1962,[20]) нашел мощность поля ограниченных формальных степенных рядов; архимедова замкнутость поля i?[[G]] получена Постовым Г.Г.(1982,[11]). Обзор результатов о полях формальных степенных рядов можно найти в книге [2] (Woodiii Н..Dales H.J,1996)

В начале СО-х годов Робинсон дал строгое обоснование понятию актуально бесконечно малой величины, создав так называемый нестандартный анализ. Нестандартная вещественная прямая, содержащая актуально бесконечно малые, лежит в основе нестандартного анализа, поэтому изучение ее строения представляет несомненный интерес. Исследование строения симметричных сечений позволило доказать в диссертации изоморфизм поля нестандартных вещественных чисел и некоторого поля ограниченных формальных степенных рядов. Как следствие получены результаты о строении нестандартной прямой.

Цель работы. Цель данной работы -исследовать строение симметричных сечений нолей /?—ограниченных формальных степенных рядов ії[[С/3]], получить необходимое и достаточное условие симметричности сечения в поле такого вида, найти критерий фундаментальности симметричного сечения в поле /?[[G,/3]], найти мощность множества всех симметричных фундаментальных и всех симметричных нефундаментальных сечений в этих полях; перенести полученные результаты о нолях ограниченных формальных степенных рядов на другие классы полей.

Научная новизна.Все основные результаты о поллх ограничен
ных формальных степенных рядов /?[[G,/3j) являются новыми и со
стоят в следующем: і

1. Получен критерий симметричности сечения в тле R\[G,P}\

2. Получен критерий фундаментальности симметричного сеченнп в иоле ЩВ,р\]

3. Если cartl(G) = cf(O), то в поле /l[[G,card(G)]] существует 2^са!ч1^ симметричных фундаментальных сечений.

4. Если со\{д Є G\ д > 1} — card(G),TO в поле /?.[[G,card(G)]} существует 2^card(^G") симметричных нсфундаментальных сечеииП.

5. Найдена оценка конфинальности симметричного сечения в поле

Результаты, уста на влипающ не связь между различными видами сечеииП, имеют технический характер; особо выделяется пример пол л с несимметричным сечением типа (а, а), при этом используется конструкция поля из [4].

Новыми являются результаты о симметричных нсфундаментальных сечениях насыщенных полей и нестандартной вещественной прямой. Случай симметричных фундаментальных сечений для насыщенных полей был рассмотрен Кашо S.(1981,[8]) без использования формальных степенных рядов; в диссертации его результат о насыщенных иолих получается как следствие теорем для полей формальных рядовом. Следствие 1.2.2 дпес. раб.).

Методы исследования. Исследование упорядоченных полей проводится с помощью теории сечений . Используются различные классификации сечений. Методы исследования носят теоретико-множественный характер. Принимается обобщенная континуум-гипотеза. Основными инструментами исследования являются: теорема об архимедовской полноте пола формальных степенных рядов[5], георема об изоморфизме упорядоченных полей [С].

Теоретическая и практическая ценность.Результаты дис-:ертации носят теоретический характер и могут быть полезны спе-шалисгам, работающим в области упорядоченных алгебраических :истем и нестандартного математического анализа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на тучном семинаре "теория групп" (Новосибирск, ИМ СО РАН, ок-ябрь 1998), на семинаре " Алгебра и Логика" (там же, 1998), на

семинарах но упорядоченным полям и нестандартному анализу кафедры математического анализа ТГУ; на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике"(Томск,июнь 1997); на Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, июнь 1998).

Публикации. 1.Галанова Н.Ю. О строении нестандартной вещественной прямой //Избранные доклады международной конференции Всесибирские чтения по математике и механике, T.I Математика. Изд.ТГУ, 1997.С.С5-70

2.Галанова Н.Ю. Конфинальность и симметричность сечений в упорядоченных полях. // Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд. ТГУ, Ш8.С.Ш-143. Тезисы докладов на конференциях:

1.Международные научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 22-24 апреля 199G, 1997)

2.Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 17-20 июня 1997)

3.II Областная конференция студентов, аспирантов и молодых уче-ных(Томск, 13-15 апреля,1998)

4.III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 22-27 июня, 1998)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , трех глав, каждая из которых имеет два раздела, и списка цитированной литературы, содержащего 30 наименований. Диссертация включает 6 рисунков. Общий объем диссертации - 82 с.