Введение к работе
Актуальность темы
Решетка L называется полудистрибутивной вверх, если для любых элементов х, у, г Є L
х V у = х V z влечет хУ у = х\/ [у hz).
Теория полудистрибутивных решеток наряду с теорией модулярных решеток занимает особое положение в общей теории решеток. Понятие полудистрибутивной (вверх) решетки, как и понятие модулярной решетки, является одним из важных обобщений понятия дистрибутивной решетки. Причем свойства полудистрибугнвных вверх решеток во многом противоположны свойствам модулярных решеток.
Определение полудистрибутивной решетки впервые появилось в работе Б. Йонссона [20] о подрешетках свободной решетки. Полудистрибутивные вверх решетки естественным образом возникают при изучении многих вопросов, как сформулированных в рамках теории решеток, так имеющих значение и для универсальной алгебры в целом, что отражено в монографии В. А. Горбунова [3]. Полудистрибутивные вверх решетки уже сыграли ведущую роль при изучении свободных решеток (см. монографию Р. Фриза, Я. Ежека и Дж. Б. Нейшна [18]), решеток подквазимногообразий квазимногообразий алгебраических систем [3], разложений в решетках и независимой аксиоматизируемости [2, 23]. Заметное место занимают полудистрибутивные вверх решетки и в теории многообразий решеток [19], теории ручных конгруэнции [5].
Следует упомянуть еще об одном естественном комбинаторном приложении теории полудистрибутивных вверх решет"ж, которое наиболее отчетливо высвечивает как тесную связь упомянутого классса решеток с классом модулярных решеток, так и некоторую оппозиционность этих двух классов по отношению друг к другу. Известно (см. книгу Г. Грет-цера [4]), что любую модулярную решетку с дополнениями можно вложить в модулярную геометрическую решетку. С другой стороны, класс модулярных геометрических решеток совпадает с классом так называемых проективных геометрий. Таким образом, любая модулярная решетка с дополнениями вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторого пространства замыкания со свойством замены Штейница-Маклейна (или комбинаторной геометрии). Следует также отметить,
что в решетке замкнутых подмножеств произвольной проективной геометрии несократимые разложения обладают свойством замены. Антиподами комбинаторных геометрий являются выпуклые геометрии (то есть пространства замыкания со свойством антизамены). Причем, согласно теореме Р. П. Дилуорса [23], решетка замкнутых подмножеств любой конечной выпуклой геометрии полудистрибутивна вверх.
Для комбинаторных геометрий к настоящему времени была построена глубокая структурная теория, развитие которой было инициировано работами Г. Биркгофа [10], О. Фринка [17], Р. П. Дилуорса и М. Холла [16]. В то же время изучение выпуклых геометрий ограничивалось лишь конечным случаем (см. [21] и обзорную работу [23]). Определение бесконечной выпуклой геометрии было дано в работе К. В. Адаричевой, В. А. Горбунова и В. И. Туманова [8]. Там же были получены первые фундаментальные результаты о таких геометриях.
Одним из основных характеристческих свойств конечной выпуклой геометрии является существование ровно одного несократимого разложения для каждого элемента решетки ее замкнутых подмножеств. Проблема описания решеток, обладающих этим свойством была сформулирована в 40-х годах Р. П. Дилуорсом. Тогда же он показал [14], что конечная решетка обладает указанным свойством тогда и только тогда, когда она полудистрибутивна вверх и полумодулярна вниз. Полудистрибутивные вверх решетки оказались также полезными и при описании решеток с каноническими разложениями, которое было получено В. А. Горбуновым [2]. Отметим также связь теории разложений с вопросами базируемости для классов алгебраических систем. К примеру, вопрос о существовании независимого базиса тождеств (квази-теждеств) может быть переформулирован в терминах существования несократимых разложений в решетках многообразий (квазимногообразий) ^см. [3]).
Первым примером полудистрибутивных решеток оказались подре-шетки свободных решеток [20]. Впоследствии выяснилось, что полудистрибутивными вверх являются также решетки квазимногообразий [3] и решетки выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств [9].
Еще один важный подкласс в классе полудистрибутивных вверх решеток образуют ограниченные снизу решетки. Начало исследованию ограниченых снизу решеток было положено в работе Р. Маккензи [22]. (Наиболее полно теория ограниченных снизу решеток изложена в монографии [18], см. также [6, 7, 13].)
Цель работы
Данная работа посвящена изучению полудистрибутивных вверх решеток. В частности, изучается класс решеток подпорядков частично упорядоченных множеств, которые играют большую роль при изучении ограниченных снизу решеток. Кроме того, большое внимание уделено изучению разложений в полных решетках. Получены результаты о существовании различных типов разложений в таких решетках.
Основные результаты
В работе получены следующие основные результаты:
-
Найдено описание ограниченых снизу решеток подпорядков.
-
Доказано, что любая решетка, удовлетворяющая условию минимальности Фриза — Нейшна и не содержщая бесконечных D-циклов вложима в полудистрибутивную вверх решетку подпорядков, что обобщает теорему Сивака.
-
Определено понятие минимального разложения и показано, что все известные классы решеток с единственными несократимыми разложениями являются, в действительности, классами решеток с минимальными разложениями. Кроме того, получена характе-ризация решеток с минимальными разложениями.
-
Описано несколько новых классов решеток с единственными несократимыми разложениями.
Основные методы
В работе используются теоретико-решеточные методы, в частности, методы теории разложений, развитые в работах В. А. Горбунова [2, 3], Р. П. Дилуорса и П. Кроули [14, 15, 12].
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы специалистами в области теории решеток, универсальной алгебры и дискретной математики для чтения спецкурсов в Новосибирском, Уральском, Саратовском и других государственных университетах.
Научная новизна работы
Все результаты диссертационной работы являются новыми, получены автором самостоятельно и снабжены подробными доказательствами.
Апробация результатов работы
Результаты работы были представлены на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997-1998 гг.), Международной конференции, посвященной 60-летию акад. Ю. Л. Ершова (Новосибирск, 2000) и IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию проф. Ю. И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), а также на семинарах "Универсальная хорнова логика" и "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета.
Публикации
Все основные результаты диссертации опубликованы в [27]-[30].
Структура и объем работы