К проблеме Ранкина-Соболева об экстремумах дзета-функции Эпштейна. Окрестности Вороного совершенных форм от семи переменных Шушбаев, Сарсен

Введение к работе

Актуальность темы. В диссертации речь идет о классической проблеме Эрмита арифметических минимумов положительных квадратичных форм (равносильной вопросу о плотности плотнейшей решетчатой упаковки шаров) и о проблеме Ран-кина-Соболева о минимизации дзета-функции Эпштейна.

Первая проблема является одной из классических задач геометрической теории чисел, которой занимались многие известные авторы (Эрмит, Коркин, Золотарев, Минковский, Вороной, Делоне, Рышков, Варне, Стаей, Барановский и др.).

Вторая проблема тесно связана с проблемой Эрмита. Она возникла'в работе Кендалла и Ранкина, посвященной оценке числа целых точек в случайном эллипсоиде. Позднее она появилась в работах Соболева С.Л. в связи с построением оптимальных решетчатых кубатурных формул. В этом направлении известны также работы Касселса, Делоне Б.Н., Рышкова С.С, Исраилова М.И.,<»-. Сказанное свидетельствует об актуальности этих проблем.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке методов отыскания начала луча экстремальности полохительных квадратичных форм, которые являются точками локального минимума дзета-функции Эпштейна и развитию метода вычисления окрестностей Вороного совершенных форм.

Методика исследования. В доказательствах основных теорем широко используются различные методы геометрии положительных квадратичных форм, методы аналитической теории чисел, в особенности, теория финально экстремальных форм Делоне-Рышкова, алгоритм Вороного отыскания совершенных форм, методы оценок тригонометрических сумм.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан метод оценки сверху начала луча экстремальности дзета-функции Эпштейна данной совершенной формы.

2. Получены оценки сверху начал луча экстремальности для первых двух совершенных форм Вороного.

_ 4 -

3. Вычислены все финально-экстремальные форлы от семи переменных.

4. Создана теория дзета-отделяющих форм. Для таких форм получены неулучшаемые оценки начала луча экстремальности дзета-функции Эпштейна.

5. Разработан усовершенствованный алгоритм Вороного. Он позволяет найти новый подход для исследования соседних совершенных форм.

6. Разработан метод для установления целочисленной эквивалентности совершенных форм от Yb переменных при й. і 8 и нахождения соответствующей целочисленной унимодулярной подстановки леременных Хі (і = 1,...,1% ).

7. Разработан алгоритм для вычисления группы целочисленных автоморфизмов данной положительной квадратичной формы и он реализован на примерах совершенных форм от семи переменных.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для точного вычисления или оценки сверху начал луча экстремальности дзета-функции Эпштейна данной совершенной формы, построения новых совершенных форм от многих переменных, вычисления групп целочисленных автоморфизмов положительных квадратичных форм, построения оптимальных решетчатых кубатурных формул. С.Л.Соболева и в других задачах геометрии положительных квадратичных форм и вычислительной математики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на Всесокшых конференциях и симпозиумах по теории чисел, проведенных в городах Алма-Ате (сентябрь 1969 г.), Самарканде (октябрь 1972 г.), Душанбе (сентябрь 1977 г.), Тбилиси (сентябрь 1985 г.), Минске (сентябрь 1989 г.); на Всесоюзних коллоквиумах по теории кубатурных формул, проведенных в города Ташкенте (октябрь 1971 г., сентябрь 1974 г., октябрь 1977 г.). Результаты диссертации обсуждались но научно-методических семинарах профессоров А.В.Малышева (ЛОМИ АН СССР), С.С.Рышкова (МИ АН СССР), М.И.Исраилова (Институт киберпет"іщ АН РУ, Институт математики АН РУ), МЛ.Тулягановой (Институт математики АН РУ), чл сна-корреспондента АН ТУ А.Ф.Лаарика (Ташкентский институт инженеров келезнодоротаюго транспорта), чдєна-корреспондєптп ЛИ

РУ Я.Х.Хаджиева (Ташкентский государственный университет).

Публикация. По теме диссертации опубликовано 60 статей. Основные результаты содержатся в 20 работах, список которых приводится в конце автореферата. Одна из них выполнена совместно с С.С.Рышковым.

Структура и обьем. Диссертация состоит из вводной главы, четырех глав, трех приложений и списка литературы, содержащего 75 наименований. Общий обьем диссертации 239 страниц.

I.I. Проблема Ранкина-Соболева. Пусть задана положительная квадратичная форма (п.к.ф.) от tt переменных

о вещественными коэффициентами &ц - CLjl с определителем

Каадой п.к.ф. f вида (І) в Я- И(11+1)/% - мерном
евклидовом пространстве К. соответствует точка f —
-[0._ii,..._!u._nniajc_L).y₎ tf-ft.ifr) . Множество всех

п.к.ф. в К образует конус положительности К.

Пусть $ - комплексное число; рассмотрим дзета-функцию
Эшптейна %(>$) , задаваемую при рядом

*' х*о

Zⁿ\[o]

2 \((Х_1Ъ..:,ХЛ

к з/і

Это - аналитическая функция, продолжаемая на всю плоскость комплексного переменного $> единственным плюсам первого порядка в точке 3 ~{ .

Фиксируем вещественное число % >4 и для данного вещественного числа do >0 рассмотрим !?(/j 6) как вещественную функцию форма |{(1_и....Д_ЛЛ , CLu »-> Сі и.-іи) , заданную на дискриманантной поверхности "Vd₀ конуса полоаитель-

ности [к пространства коэффициентов. » ,

ГОВОРЯТ, ЧТО П.К.ф. <*-₀ ОПреДеЛИТеЛЯ ^((j-o) =Оо

является і - оптимальной, если Х₀ есть точка абсолютного минимума функции 2 (it \ А) на поверхности Vd₀ ^ПР^И данном -5 ,

то есть

2(f;*)> Z(-foH) ,для/еУ^₀₍

« Говорят, что п.к.ф. ф₀ является *> - экстремальной, если г^₀ есть точка локального минимума функции 2( f-.J 3) ^ на . поверхности "Vj₀ при данном 3 . то есть если в /R найдется такая окрестность ^ \ точки |-₀ , что

*ifi*)»Z(f_e;*) .-ли (_oeYd₀nг^₀

Определения - - оптимальности и & - экстремальности по
существу принадлежат Ранкину. _t

Если . п.к.ф. формы Д-₀ и Х_в эквивалентны (над Z )

(ф₀— |-о.)и⁽1Г>0 - вещественное число, то из 3 - экстремальности <|-₀ следует 5'- экстремальность Т rf₀ (и обратно); то ке верно для - оптимальности. Иначе говоря, свойство -экстремальности ( - - оптимальности) - инвариант луча классов квадратичных форм, так что, не нарушая общности, ш иогеы ограничиться рассмотрением п.к.ф. любого заданного определителя do >0 и выбрать из класса эквивалентных форм любой его представитель.

Задачу нахождения при данном - > L всех 3 - экстремаль- *
ных форм от К. переменных (точнее, лучей классов ' ^ - экстре
мальности форм) называют проблемой Ранкина-Соболевв.

1.2. Проблема Эрмита. Предельные <|орш Коркина-Золотарева. Совершенные формы Вороного. Проблема Ранкинв-Ссболева тесно овязана с известной проблемой Эрмита арифметических минимумов положительных квадратичных форм.

Пусть f (х) п.к.й. вида (I). Точная нижняя граница

т(1)~ Ы1 hi), (2)

взятая по всем целым точкам СфО , называется арифметическим минимумом формы X. . Зта точная нижняя граница достигается, ибо множество Л-(Х) і С ограничено для любого С >0 . Пусть

- все представления минимума: &( + с ₁) — = X(i u_s) — fT\ Ш

Отсюда, в частности, следует, что №1(|) У" 0 . Так как тело rf(3C) ^. )Т) (X) строго выпукло, то l$.2.ⁿ-l .

Ввиду того, что т(А/|)-Д/ И1({) , Д/ >0 ,

естественно рассматривать нормированный арифметический мини- -

мум JU. {і) — )^(,1) /vd(^) . Нормированный арифметиче-

ский їшнамум есть непрерывная функция от i.(k^,---> й-ц,ц.., ^
ft . , Ct_h ) > заданная на конусе полокителышстаК

Говорят, что п.к.ф. ф. - предельная (экстремальная) форма Коркина-Золотарева, если есть точка локального максимума функции ш|\ , т.е. если существует такая окрестности

И? єК точки |- .что Ш|') JH(|) , еста

Говорят, что п.к.ф. І- - оптимальная предельная форма,

области ^ , т.е. если (^(Г) iU.(f) дои всех

если JL есть точка абсолютного максимума функции (U Ш в
Г ^ . .01. . . . 9. J

бластп is,

jf'С К*.

Задачу нахождения всех предельных форм Коркина-Золотарева
от И. переменных называют "проблемой Эрмита.

Отметим одно важнейшее свойство предельных формгпредстав- дения (3) минимума (2) предельной формы определяют форму с точностью до пропорциональности. На основе этого свойства Вороным

Г.Ф. создан:

теория совершенных, форм.

ственное решение

11 ОД; ^Дг* =*m (и^1,...,«)

П.к.ф. с- называется совершенной формсгй Вороного, если
следующая система уравнений с неизвестными CL(\ имеет един
ственное пешания 4

(4)

Если X - совершенная форма и А- "^- A/f(Z)_}/L?0;

0( ...І-. -I _ __.

то Л- - совершенная форма. Любая совершенная -

форма есть кратное фермы с целыми рациональными коэффициентами. Так как линейная система (4) однозначно определяет }Г-И(П + 1)А ' неизвестных ( (Xj_L ), то ^Г<5б^-1-Из вышеупомянутого свойства предельной формы и определения совершенной формы следует, что всякая предельная форма является совершенной. Обратное не верно. Таким образом, проблема Эрмита сводится к задаче перечисления всех совершенных форм от И. переменных.

Бороной Г.Ф. доказал, Что число классов совершенных форм от П_ переменных (в частности, число классов предельных форы) данного определителя конечно. Поэтому существует оптимальная предельная^орма Х₀ , для которой ^^SUP JtL(^)

bU(L), Число "ІЇуу называется постоянной Эрмита..Т.^

есть

наибольшее из чисел Jl(f4_) > , j-i-(ift.)' ^гдє Т1 '"" Tt~

суть представители всех лучей классов предельных форм.

1.3. Проблема перечисления совершенных форы. Из конечности числа классов совершенных форм от П. перемеших естестзенннм образом вытекает проблема отыскания для данного Ц неэквпза-лонтиых совершенных форм. Методы разыскания совершенных фор:,] берут свое начало в работах Ш.Эрмита, ЕЛІ.Золотарева, А.І1.Корина, Г.Ццнковского. Особенно значителен вклад в развитие итгх

- 9 -методов Г.В.Вороного, построившего алгоритм вывода совершенных форм при любом данном Ц. . Он интерпретирует совершенные формы гранями полиэдра Вороного П( Ц. ) в пространстве коэффициентов ^ -границы выпуклой оболочки точек Вороного (ЭС _t,.,.

Г.Ф.Вороной предлагает систематический способ перехода от одной грани полиэдра П( YL ) (скакем, от грани, отвечающей совершенной форме \^- ), к другой, "соседней" к ней и определяет момент завершения алгоритма, когда он дает все неэквивалентные совершзп-ные формы.

Другой алгоритм отыскания для данного Л всех соверши,.-.-^-: форм от kt переменных принадлежит А.Н.Коркину и Е.И.Золотого-ву и связан с рассмотрением возможных матриц представлений минимума и выделением сре.ди них приведенных матриц.

Третий алгоритм связан с теоремой Мцнковского-Ршакова : всякая совершенная скорма лезшт на ребре области приведения Е. Є |ч Эрмята-Минковского положительных квадратичных форм от Ц, переменных.

2.1. Проблема .Ранкина-Соболева. Этой проблемой занимались'
многие авторы: Ранкин, Кассело, Эннола, Делоне, Рышков я др.
Проблема Ранкина-Соболева, как известно, имеет приложения в
теории кубатурных формул, такке в теории целых точок в случай
ном эллипсоиде. Эту задачу мокно ставить и для : < .
Проблема Ранкина-Соболева исчерпывающе решена лишь в случае "
И.'й! . Для общего KL важнейшие результаты полу-

чены С. С. Ринковим. pi.

Рассмотрим функцию 2(^5)^2(^-5)^4(1-)^ Она однородна, то есть 2 ('tfj 3) ==- 2(и вопрос о локальных минимумах функции %( ф j -5) при фиксированном определителе do сводится к вопросу о, локальных минимумах

функции 'X('f) S)d пространстве коэффициентов.'

Еа пути решения задачи Ранкина-Соболева Б.Н.Делона ц С.С.Рышков построили теорію ї^ - сильно критических (мы бу-

дем называть сильно стационарной) и ^ ~ финально экстремальных (мы будем называль финально экстремальной) форм. Решая задачу Ранкина-Саболева как задачу на условный экстремум методом неопределенных множителей Лагранаа при фиксированном 3 , они получили следующие необходимые условия экстремальности формы ^(Ct^,..., Ct_aiv, Ь_іг,..., Сіц-іи,)

Ч^,М~&*)+ь\Щ)-**\

Форму |(CL_tl,---An_h,CLi5,,...,P-H-in) . Удовлетво
ряющую условию (5), называют о - стационарной. '

П.к.ф. называется сильно стационарной, если найдется такая неограниченно возрастающая последовательность і if вещественшх чисел &^ (t^lAi'-v )> Si ~> ^с>0 при -fc-^ол, что форма ^- является ^^ - стационарной для всех -^ ,-""

Говорят, что форма <*- финально экстремальна, если сущест
вует такое число "S₀ & 1 , что для всех -S > ^о форма Х~
является $> - экстремальной; наименьшее число ₀ :=. S> (i.) рА,
обладающее этим свойством, называют началом луча экстремально
сти. Аналогично определяются финально оптимальные формы и для
них начало луча оптимальности Т(|-) . Ясно, что'речь идет
обо всем луче классов финально экстремальных или финально
оптимальных форм. Ясно также, что всякая финально оптимальная
форма I финально экстремальна и что S(t) ~T( (верно ли, что Т(|-) «- S(

Понятия совершенности, сильной стационарности и финальной
экстремальности п.к.ф. тесно связаны меащу собой следующей
теоремой Делоне-Рышкова. .

П.к.ф. финально экстремальна тогда и только тогда, когда .
она совершенна и сильно стационарна.

Следовательно, всякая финально экстремальная форма являет-' .ся совершенной формой Вороного, рышковым -С.С. получены условия:

- II -

необходимое и достаточное и просто достаточное, при которых совершенная форма является финально экстремальной.

Доказано (Рыиковдм С.С.), что первая и вторая совершенные

$ормы Вороного ^^сх^-' + ОС^+^ОС^^ + ОСп-^ц (И>2.Д, ^|^₁'=^⁽₀-'^С₁СС_г_ (_H.?V) финально экстремальны; что все

предельные $орш для И, і б , кроме формы ^1=^0-(^4)(^1.+
+ ЭС_ь^и + Ol_s3L₆ ) < финально экстремальны.

Доказано такие (Пашковым СО, что формы \₀ (Я — 1,Ъ);

отвечающие платнейиим-решетчатым упаковкам равных шаров в It -
мерном пространстве ( И.^& ), финально оптимальны. Из упомяну
той выше теоремы Делоне-ршшова естественным образом возникает
задача (как часть проблемы Ранкинп-Соболева) о вычислении или.
оценке луча экстремальности S(&) для финальна экстремаль
ных форм и начала луча оптимальности Т(/) финально оптималь
ных форм, предлокепяая А.Б.Малышевым на Всесоюзном коллоквиуме
по теория кубатуриых формул, Ташкент, I8-22.X.I977 г. Доказано
(Ранкиньм), что Т¹ (lj>₀ ) :=. 1 и что 1 - лрадст-вви-

тель единственного луча классов 3 - экстремальных форм при Н^2. для всех > 1 . Доказано также, что

S(^₀^b) -і (Эннола) ' (6)

S ( 4>^S ) ~ 1 Ондпбаев) (7)

S(^ ) ~ 1 . (Эндибаев.Шушбаев)

^ {^^ ) ~ і (Эндабаев.Шушбасв) . (Э)

' 2.2. Проблема перечисления предельных п совериенных йоры. Понятно предельной формы ввели Е.И.Золотарев и А.Н.Коркин. Они таккб доказали конечность числа предельных і|орм при данном Ц , установили, что катдая предельная yjopua является и совершенно.'', и ш;і<ді все предельные Формы при П.= 2,3,4,5. Их оказалось

(8)

- 12 -соответственно 1,1,2,3:

Г.Ф.Вороной провел глубокое исследование свойств совершенных Форы и построил алгоритм их отыскания при данном И^ Пользуясь этим алгоритмом, Вороной нашел все совершенные формы от tt.S" переменных. Оказалось, что при HS совершенные и предельные формы совпадают (см.(10) ). Однако, начиная с К^=. , такое совпадение не имеет места (Вороной Г.Ф., Владимиров B.C.,'Варне).

Алгоритм Вороного вывода совершенных форм не сводится к тривиальным вычислениям, с ростом числа переменных квадратичных форм его сложность и громоздкость сильно возрастают. Этим объясняется то, что посредством алгоритма Вороного были найдеш совершенные ії;оргж от 6 переменных почти полвека спустя Барнсом - в І9ГІ7 году. Варне установил, что всего имеется 7 классов совершен-'Г>;с форм от 6 переменных, из которых 6 предельны:

V.D

^-^VOU*i*l + ^*+^lXfe^+X^ +

Значения ^уі ^и соответствующие оптимальные формы найдены для И<8

причем продставптсиягш единственных лучей классов оптимальных -;_Г:, янляптся: vf J(n_ai,3);^Yi*4,s); ^ (К-ЬАЛ)

Хаті Бліі::голс,е.т и наяод значения постоянной Сомита при VL-? 7,0 ю ином nvTH, без прсдзапітслгліого знян-л предеглг-х

- ІЗ -

форм, интерес математиков к предельным л совершенным формам не уменьшился, в частности, это связано с их применением к теории приведения п.к.ф. и реперов, в теории решетчатых покрытий. Продольным и совершенным формам посвящены работы многих авторов- : Еоркин, Золотарев, Вороной, Коксетер, Варне, Владимиров, Рышков, Блихфельдт, Ватсон, Ветчинкип, Скотт, Лармоут, Стаей, Анзип и др. Последним наиболее значительном достикешем в проблеме вывода всех совершенных форм при данном >}_ являются работы и диссертации (1973) Стаей, опубликованные в 1974-1975 гг. и посвященные случаю Ц =7. К этому времени разными авторами было построено 22 совершенные формы от семи переменных. Опираясь на результаты Ватсона, Стасп развила метод перечисления совершенных форм, основанный на исследовании структуры матриц, составленных из представлений минимумов. Этим методом она (присущественном использовании ЭВМ) получила еще II совершенных форм от семи переменных. Следовательно, для 11=7 известны 33 неэквивалентные совершенные форш, однако не известно, исчерпывают ли они все совершенные формы от семи переменных. На основании своих вычислений Стаей сделала предположение, что найденные 33 класса совершенных форм от семи переменных представляют в^е классы совершенных форм от семи переменных. Таким образом, вопрос о полноте списка совершенных форм от семи переменных оставался открытым.