Введение к работе
Йордановы алгебры впервые возникли в 1934 г. в совместной статье П.Йордана, Дж. фон Неймана и Е.Вигнера "Об алгебраических обобщениях формализма квантовой механики" [14]. В обычной интерпретации квантовой механики наблюдаемыми являются эрмитовы матрицы или операторы в гильбертовом пространстве. Линейное пространство эрмитовых матриц не замкнуто относительно обычного произведения ху, но замкнуто относительно симметризованного произведения х 0 у = \{ху+ ух). Предложенная Йорданом программа состояла в том, чтобы вначале выделить основные свойства эрмитовых матриц в терминах операции х 0 у, а затем изучить все алгебраические системы удовлетворяющие этим свойствам.
В связи с этим возникла потребность в изучение алгебр над ассоциативным коммутативным кольцом Ф, содержащим | и, удовлетворяющим тождествам:
ху ~ ух — коммутативность, (1)
(х2у)х = х2(ух) — йорданово тождество. (2)
Алгебры, в которых выполняются тождества (1) и (2), называются йордановы алгебры.
Хотя на этом пути новых существенных обобщений матричного формализма квантовой механики найти не удалось, введенный авторами класс алгебр привлек внимание алгебраистов.
Интерес к йордановым алгебрам со стороны математиков связан с вещественным, комплексным и функциональным анализом [4], [12], [15], геометрией [И], проективной геометрий
[13], алгебраическими группами [22], другими классами алгебр и прежде всего с алгебрами Ли.
Так, например, М.Томбер [24] показал, что алгебра Ли типа F4 реализуется как алгебра дифференцирований исключительной простой Йордановой алгебры. Ж.Титс [25], [26] применил йордановы алгебры для построения исключительных алгебр Ли типа Бв,Е7,Е8. Развивая идеи Титса, М. Кёхер [16] и И.Л. Кантор [5] вложили произвольную йорданову алгебру в Z-градуированную (3-градуированную) алгебру Ли L{J) — L-i -J- Lq + Li, где Li = 0 при |t| > 1. Это вложение получило название конструкции Кантора - Кёхера - Титса (ККТ-конструкция), а алгбра L(J) присоединенной ККТ-алгеброй Ли.
Связь йордановых алгебр с Z-градуированными алгебрами Ли является двусторонней. Произвольной Z-градуированной алгебре Ли L = L-x + L0 + Li можно поставить в соответствие йорданову пару (L_t,Zri).
Алгебры Ли An,Bn,Cn,Ee,E7 обладают нетривиальной 3-градуировкой, поэтому допускают построение и изучение с помощью йордановых алгебр (йордановых пар). Алгебры G2,F4, Е8 не обладают 3-градуировкой, но обладают Z-градуировкой вида L = jL_2 + L-i +2/0 + -^1 + -^. Для их изучения Б. Алиссоном [8] был введен класс структуризуемых алгебр, который по своим свойством близок к классу йордановых алгебр (каждая йорданова алгебра является структуризуемой алгеброй). Как и в случае йордановых алгебр, произвольную структуризуемую алгебру (A,j) (j — инволюция алгебры А) можно вложить в Z-градуированную алгебру Ли K((A,j)) — К-2 + К-\ + Ко + Ki + К%. Это вложение получило название конструкции Кантора - Алиссона (КА-конструкция).
Используя связь йордановых алгебр с Z-градуированными
алгебрами Ли, Б. Зельманов [3] описал простые алгебры Ли с произвольной конечной Z-градуировкой.
Каждую алгебру А над полем Ф можно понимать как пару (А, т), где т — линейное отображение из А А в А, которое называется умножением и т(х
Понятие коалгебра — двойственное понятие алгебры. Пара (А, А), где А — линейное пространство над полем Ф, а А : А —> А А линейное отображение, называется коалгеброй. При этом А называется коумножением.
Коалгебра (А, А) называется ассоциативной, если коумно-жение А удовлетворяет равенству
(А <8> id — id Если (А, А) — произвольная коалгебра, то коумножение А индуцирует на дуальном пространстве А* структуру обычной алгебры над полем Ф, которая называется дуальной алгеброй. Как известно (см., например, [23]), ассоциативность коалгебры (Л, А) эквивалента ассоциативности дуальной алгебры А*. В 1980 г. Михазлис [18] определил понятие коалгебры Ли. Как и в ассоциативном случае, лиевосгь коалгебры эквивалентна лиевости ее дуальной алгебры. В 1993 г. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [9] дали определение коалгебры, связанное с некоторым многообразием алгебр. Пусть М — произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (Ау А) называется М — коалгеброй, если дуальная алгебра А* принадлежит многообразию М. Из предыдущего следует, что данное определение М - коалгебры в случае, когда М — многообразие ассоциативных (лиевых) алгебр согласовано с определением ассоциативной (лиевой) коалгебры. Систематическое изложение теории ассоциативных коал-гебр содержится в книгах М. Свидлера [23], Б. Абе [6], а также в обзоре В. Артамонова [1]. Один из основных результатов этой теории утверждает, что всякая ассоциативная коалгебра локально конечномерна. Михаэлис [18] показал, что для лиевых коалгебр аналог этого результата не имеет места. Необходимые и достаточные условия локальной конечномерности коалгебры Ли были найдены А. Слинько [20]. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [9] доказали, что всякая йорданова (альтернативная) коалгебра локально конечномерна. Как было отмечено выше между йордановыми и лиевыми алгебрами существует глубокая связь. Поэтому естественно возникает вопрос о наличии такой связи между йордановыми и лиевыми коалгебрами, а именно Вопрос 1. Пусть («7,Д) — йорданова коалгебра и J* — ее дуальная алгебра. Существует ли коалгебра Ли (L, А/,) такая, что ее дульная алгебра V является присоединенной ККТ-алгеброй Ли L(J*)? Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых дополнительно задана операция умножения согласованная в определенном смысле с коумножени-ем. Такие объекты называются биалгебрами. В ассоциативном случае, например, умножение есть гомоморфизм соответствующих коалгебр. Это эквивалентно тому, что коумножение — гомоморфизм соответствующих алгебр. Примерами ассоциативных биалгебр служат алгебры Хопфа. Возросший интерес к алгебрам Хопфа мотивирован квантовым методом обратной задачи, методом построения и изучения интегрируемых квантовых систем. Алгебры Хопфа тесно связаны с такими объектами как биалгебры Ли. Последние были введены Дринфельдом [2] для изучения решений классического уравнения Янга - Бак- стера. В отличии от ассоциативных биалгебр, биалгебры Ли это алгебры Ли с лиевым коумножением, которое является 1-коциклом. Как отмечалось выше, ККТ-конструкция позволяет эффективно применять методы йордановых алгебр для изучения алгебр Ли. В связи с этим естественно возникает Вопрос 2. Можно ли на йордановой алгебре J определить структуру биалгебры, которая индуцирует структуру биалгебры Ли на присоединенной ККТ-алгебре Ли L(J)? Важным классом биалгебр Ли являются треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли, которые изучались в работах В.Дринфельда ([10], С. Мажида [17], В. Михаэлиса [19]), Д. Алексеевского и А. Переломова [7]. В. де Смедт [21] показал, что всякая конечномерная неабелева алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 допускает нетривиальную структуру квазитреугольной биалгебры Ли. При этом, как правило, полупростые алгебры Ли допускают структуру треугольной биалгебры Ли. В связи с этим возникают следующие две проблемы. Проблема 1. Описать структуру Йордановой биалгебры, заданную на конечномерной полупростой йордановой алгебре. Проблема 2. Определить понятия треугольной и квазитреугольной йордановых биалгебр, согласованные с соответствующими понятиями для биалгебр Ли. Охарактеризовать конечномерные йордановы алгебры, допускающие нетривиальную структуру квазитреугольной йордановой биалгебры. Основной целью диссертация является определение понятия неассоциативной биалгебры (в частности, йордановой биалгебры), согласованного с понятием биалгебры Ли, а также изучение связи йордановых биалгебр с биалгебрами Ли. В работе используются теоретике кольцевые методы йорда-новых и лиевых алгебр, методы ассоциативных и неассоциативных коалгебр, а также методы биалгебр Ли. Широко применяется известное для алгебр Ли понятие тройки Манина (дубль Дринфельда в терминологии данной работы). Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Бе результаты могут найти свое применение при исследованиях неассоциативных коалгебр, биалгебр и квантовых групп, а также при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебников, монографий. Результаты работы докладывались на международной конференции "1 - съезд математиков Казахстана'' (Шымкент 1996 г.), на международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск 1997 г.), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И. Ширшова и семинаре "Алгебра и Геометрия" Института математики СО РАН. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 4 журнальных статьи [27 - 30], 1 препринт [31] и 1 - тезис выступлений [33]. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно Диссертация изложена на 131 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 49 наименований.