Явные конструкции оптимальных кривых рода три Алексеенко Екатерина Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Предварительные сведения 17

1.1 Абелевы многообразия 17

1.2 Конструкция Серра и эквивалентность категорий 21

1.3 Поляризация 24

1.4 Спуск Галуа 26

1.5 Канонический подъем 28

1.6 Границы 30

1.7 Кривые рода один, два и три 34

1.8 Выводы к главе 36

Глава 2. Общая теория оптимальных кривых малых родов 38

2.1 Оптимальные кривые 38

2.2 Оптимальные кривые рода 1 и 2 41

2.3 Подход Гитценталера 47

2.4 Подход Топа 52

2.5 Выводы к главе 55

Глава 3. Оптимальные кривые рода три над конечными полями с дис криминантами — 19, —43, —67, —163 57

3.1 Основные свойства кривых 57

3.2 Первый метод 62

3.3 Второй метод 69

3.4 Метод, основанный на идее Хау 81

3.5 Выводы к главе 84

Заключение 86

• Поляризация
• Кривые рода один, два и три
• Оптимальные кривые рода 1 и 2
• Второй метод

Введение к работе

Актуальность темы.

Алгебраические кривые над конечными полями берут свое начало из теории диофантовых приближений и находят серьезные приложения в теории кодирования и в криптографии. В русле именно этого естественного исторического процесса мы изложим актуальность нашей задачи.

Проблема оценки числа решений диофантовых уравнений связана с оценкой нулей дзета-функции, что, в свою очередь, приводит к гипотезе Римана для алгебраических кривых над конечными полями. Доказательство гипотезы Римана позволило раскрыть необходимые детали арифметики кривых и послужило основой развития алгебраической и диофантовой геометрии. Изначально кривые рассматривались над полями комплексных чисел, однако после 1910 года возникла необходимость в построении арифметической теории кривых над конечными полями, при этом аналитическая теория представляла L-функции и дзета-функции согласно Дирихле и Дедекинду.

Алгебраические кривые над конечными полями можно рассматривать как объекты алгебраической теории чисел и теории римано-вых поверхностей. Однако феномен конечной характеристики дает возможность по-новому взглянуть на фундаментальные проблемы теории чисел и римановых поверхностей.

Одним из ключевых вопросов в математике является гипотеза Римана, которая утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции

00 _,

(is) = у — ²—f n^s

п=1

лежат на прямой Re(s) = 1/2. Эта гипотеза имеет свой аналог в теории кривых над конечными полями, который формулируется следу-

ющим образом: дзета-функция кривой С рода д над конечным полем

оо

((t) = 7jc{t) = ехр(у t n ) Є С[[]]

n=l

является рациональной, и все ее нули лежат на окружности радиуса y/q. Более точное утверждение говорит, что

hc{t)
Ъс\ь) = >

(1 — t)(l — qt)

где Lc(t) = H«=i(l ~~ ^а*^) – многочлен степени 2д с коэффициентами в Z и \а.{\ = y/q. В 1936 году Х. Хассе 1 доказал гипотезу Римана для эллиптических кривых над конечными полями, используя технику экспоненциальных сумм. Абсолютно другой подход был использован А. Вейлем², чтобы доказать гипотезу Римана для кривых произвольного рода над конечными полями. Стоит заметить, что метод Х. Хассе был обобщен C. A. Степановым ³ и Э. Бомбьери ⁴, которые расширили доказательство Хассе на кривые произвольного рода.

Если {I/ckj}^ - все корни L-многочлена Lc() кривой С рода д над полем _q, то из данной гипотезы очевидным образом следует оценка числа F^-рациональных точек на кривой С. А именно, имеет место равенство

#C(F_qd) = q + 1 — у CKj, и, следовательно, имеют место следующие оценки

\q + 1 — #C(F_qd)\ < 2gq ' .

¹Hasse, Helmut. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkorper. I, II, III. Crelle’s Journal, 175, 1936.

²Andre Weil. Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497—508, 1949.

³С. А. Степанов. Арифметика алгебраических кривых. Москва "Наука Физматлит, 220-221, 1991.

⁴E. Bombieri. Counting points on curves over finite fields. Lecture Notes in Mathematics Volume 383, 234-241, 1974.

С другой стороны, данное семейство неравенств влечет за собой гипотезу Римана для кривой С. Таким образом, гипотеза Римана для кривой C/_q эквивалентна семейству неравенств \#C(F_qd) — [q^d + +1)| < 2gq^d'² для всех натуральных d. Поэтому можно сказать, что число точек на кривой над конечными полями является важным объектом исследования. Известно, что неравенства в большинстве случаев являются строгими, следовательно, получение новых границ представляет большой интерес, в связи с чем вопрос их улучшения становится актуальным.

Теория кодирования позволила по-другому взглянуть на кривые с большим числом рациональных точек. Новый виток исследования арифметики кривых пришел из теории кодирования под влиянием идеи В. Д. Гоппы⁵,⁶: он установил связь между кривыми над конечными полями и кодами, исправляющими ошибки. Рассмотрим кривую С рода д над полем _q и обозначим {Pi,..., Р_п} - множество попарно различных точек кривой С степени один, D = Р\ + ... + Р_п и G - дивизоры кривой С с непересекающимися носителями. Теорема Римана-Роха позволяет оценить параметры кода Cc(D,G), ассоциированного с дивизорами D и G, и получить нижнюю границу для минимального расстояния таких кодов в общем случае. А именно, код C/:(D,G) является [п, &,<і]-кодом с параметрами

d > п — degG, к = dimG > degG + 1 — д,

где к - размерность кода, d - его минимальное расстояние. При построении кодов Гоппа использовал функции пространства C(D), при этом число рациональных точек и род кривой играли важную роль в оценке параметров кода, а именно, чем выше отношение числа точек

⁵В. Д. Гоппа. Коды, ассоциированные с дивизорами. Проблемы передачи информации, 13(1): 33-39, 1977.

⁶В. Д. Гоппа. Коды на алгебраических кривых. Докл. Акад. Наук СССР, 259(6): 1289-1290, 1981.

кривой к роду, тем лучшими характеристиками обладал построенный код. Такие коды принято называть алгебро-геометрическими кодами (АГ-коды)⁷.

Новая связь позволила глубже понять асимптотику теории кодирования. В свое время наилучшей нижней границей для оценки параметров R = ЩС) = - и 5 = 5(C) = - [п, к, сГ|-кодов С над _а в теории кодирования являлась граница Варшамова-Гилберта (ВГ), доказывающая существование кодов со скоростью

Rq(fi) > 1 ^— H_q(5), 0 < 5 < 1 — q~ ,

где H_q(x) = —(x\og_qx+(l—x)\og_q(l—x)). В дальнейшем М. А. Цфасман, С. Г. Влэдуц и Т. Цинк⁸ показали, что существуют кривые, для которых отношение числа точек к роду достигает границы Дринфельда-

Влэдуца

NJg)
A(q) = lim sup = Jq — 1,

gr-^oo g

при условии, что q - квадрат. Следовательно, для q > 49 граница Влэдуца-Цинка-Цфасмана

і / 1 \ 1
R_q(d) > 1 — о — Аш) =1 — д, 0 < о < 1

лучше (то есть гарантируемое ей значение скорости больше), нежели граница ВГ. Улучшение границы ВГ оказалось существенным прорывом в теории кодирования. Как следствие, больше внимания стало уделяться кривым с большим числом точек и нахождению уравнений таких кривых для практического использования.

Кривым с большим числом точек посвящено много работ. Так, например, Ж.-П. Серр⁹ показал, что для произвольного q выпол-

⁷С. Г. Влэдуц, Д. Ю. Ногин, М. А. Цфасман. Алгеброгеометрические коды. Основные понятия. МЦНМО, 2003.

⁸M. A. Tsfasman, S. G. Vladut, T. Zink. Modular curves, Shimura curves and Goppa codes, better than the Varshamov-Gilbert bound. Math. Nachr, 109: 21–28, 1982.

⁹J.-P. Serre. Rational points on curves over finite fields, unpublished lectures notes by F. Gouvea. Harvard Univ., 1985.

няется неравенство lim^ оо sup ^{ч д} > 710 использовал суперсингулярные точки на кривых Шимуры, чтобы доказать, что 1ч = у/Я ~ 1 – наибольшая возможная константа при q - квадрате. Ю. Манин и С. Влэдуц¹¹ использовали суперсингулярные точки модулярных кривых Дринфельда для доказательства этого же результата. А. Гарсиа и Х. Штихтинот¹²,¹³ представили явные башни расширений Артина-Шрайера и Куммера с большим числом точек. Т. Цинк¹⁴ показал, что определенные вырожденные многообразия Шимуры являются кривыми с большим числом точек степени 3 над простым полем.

Наличие кодов с хорошими параметрами (лучше, чем граница ВГ) породило исследования, посвященные построению алгоритмов декодирования таких кодов. Наилучший на сегодняшний день алгоритм был предложен В. Гурусвами и М. Суданом¹⁵ в 1999 году. Он является полиномиальным и, более того, позволяет декодировать АГ-коды c исправлением числа ошибок, превышающем половину кодового расстояния.

Другая область применения возникла в криптографии с открытым ключом после предложенного Н. Коблицем и В. Миллером в 1985 году варианта системы RSA на эллиптических кривых над конечными полями. Проблема, касающаяся кривых в криптографии, сильно отличается от классических проблем исследования кривых

¹⁰ Y. Ihara. Some remarks on the number of rational points of algebraic curves over finite fields. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 28: 721-724, 1982.

¹¹Ю. И. Манин и С. Г. Влэдуц. Линейные коды и модулярные кривые. Итоги науки и техники, 25: 209-257.

¹² A. Garcia and H. Stichtenoth. A tower of Artin-Schreier extension of function fields attaing the Drinfeld-Vladut bound. Invent. Math., 121: 211-222, 1995.

¹³A. Garcia and H. Stichtenoth. On the asymptotic behavior of some towers of function fields over finite fields. J. Number Theory, 6: 248-273, 1996.

¹⁴Th. Zink. Degeneration of Shimura surfaces and a problem in coding theory, in "Fundamentals of Computation Theory". Lect. Notes in Coput. Sci. Springer-Verlag, New York, 199: 503-511, 1985.

¹⁵ V. Guruswami, M. Sudan. Improved decoding of Reed-Solomon and algebraic-geometric codes. IEEE. Trans. Inform. Theory. V 45, №6: 1757-1767, 1999.

и требует глубокого понимания структуры якобианов кривых малых родов над конечными полями. Особый интерес представляют кривые рода д < 4, поскольку внутренняя структура группы классов дивизоров кривых больших родов допускает атаку с помощью метода исчисления индексов. Отметим, что существует алгоритм, вычисляющий дискретный логарифм в группе классов дивизоров кривых рода д за время 0(q²~²'^g), при этом вычислительная сложность алгоритма¹⁶ равна 0(q⁹'²). Cледовательно, кривые большого рода не являются пригодными для криптографии. В связи с этим явные построения кривых малых родов с богатой структурой рациональных точек оказываются высоко востребованными. Требования теории кодирования и криптографии, предъявляемые к кривым, заключаются не столько в доказательстве существования кривых и определения их структурных свойств, сколько в представлении таких кривых в явном виде и выявлении их арифметических свойств. На настоящий момент не существует общего метода построения кривых рода три с большим числом рациональных точек над конечными полями. Поэтому вопрос нахождения явных уравнений таких кривых и их практического применения как в теории кодирования, так и в криптографии является актуальным.

Цель диссертационной работы.

Цель работы - исследование и нахождение класса кривых рода три над конечными полями с дискриминантами —19, —43, —67, —163, достигающих либо верхней, либо нижней границы Хассе-Вейля-Серра, а также нахождение методов построения данных кривых с использованием наименьшего числа параметров, которые характеризуют эти кривые как подмножество пространства модулей кривых рода

¹⁶C. Diem, On arithmetic and the discrete logarithm problem in class groups of curves, Habil. Thesis, 2009.

три с заданной группой автоморфизмов.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказано, что оптимальная кривая, то есть кривая, число точек которой достигает границы Хассе-Вейля-Серра, рода три над конечным полем не является гиперэллиптической.

2. Доказано, что одновременно не может существовать максимальной и минимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантами -19, -43, -67, -163.

3. Найдена группа автоморфизмов оптимальной кривой с заданными параметрами.

4. Представлены два метода вывода явных уравнений оптимальных кривых рода три над конечными полями с дискриминантами -19,-43, -67, -163 с точки зрения теории функциональных полей и с помощью заданной группы автоморфизмов.

5. Предложен метод для вывода уравнения оптимальной кривой рода четыре над расширением простого поля.

Основные методы исследования.

Для исследования оптимальных кривых в работе использованы методы теории алгебраических кривых, теории абелевых многообразий, эквивалентность категорий, предложенная Серром. Для вывода уравнений оптимальных кривых использовались методы теории функциональных полей.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в различных задачах теории чисел, алгебраической геометрии и теории кодирования. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из НМУ, МГУ, ИППИ РАН, ГУ ВШЭ, Centrum Wiskunde and Informatica (CWI), Claude Shannon Institute, Microsoft Research Center.

Апробация.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

6. IX Сибирская научная международная школа-семинар “Компьютерная безопасность и криптография” (Томск, Россия, 2010). Доклад: “Оптимальные кривые рода 3 над конечным полем с дискриминантом -19”.

7. Вторая международная конференция “Арифметические дни” (Санкт-Петербург, Россия, 2013). Доклад: “Новый метод построения оптимальных кривых рода 3 над определенными конечными полями”.

8. Конференция “Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory” (Марсель, Франция, 2013). Доклад: “New Method of Constructing Optimal Curves of Genus 3 over Certain Finite Fields”.

9. Семинар “Арифметика, геометрия и теория кодирования” под руководством М.А.Цфасмана в Независимом Московском Университете (2013). Доклад: “Явные конструкции оптимальных кривых рода три”.

10. Семинар “Алгебраическая геометрия и ее приложения” при лаборатории “Математические методы защиты и обработки ин-10

формации” совместно с кафедрой “Компьютерной безопасности” в Балтийском Федеральном Университете им. И.Канта (2013). Доклад: “Оптимальные кривые рода три, их свойства и уравнения”.

6. XIV International Workshop on “Algebraic and Combinatorial Coding Theory” (Svetlogorsk, Russia, 2014). Доклад: “A Method of Finding explicit Equation for Optimal Curves of Genus 4”.

7. Конференция “Встреча поколений” (Москва, Россия, 2015). Доклад: “Свойства и явные уравнения оптимальнвх кривых рода 3”.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ, из них 3 в соавторстве, 3 – в изданиях по перечню ВАК, из них 2 в соавторстве.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата [1-5].

Объем и структура работы.

Поляризация

Диссертационная работа изложениа на 92 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения. Библиография включает 65 наименований. Первая глава диссертации посвящена общим вопросам, которые требуются для обоснования рассуждений в последующих главах диссертации, а также для составления общей картины теории кривых с большим числом точек.

Пусть С - проективная, абсолютно неприводимая, гладкая кривая рода д, определенная над конечным полем к = q, с числом точек #С(к). В работе рассматриваются кривые рода 1 д 3. Одним из важнейших вопросов является вопрос существования кривых с числом точек, удовлетворяющим границе Хассе-Вейля-Серра #C(k) = l+q±gl2y/q\. Чтобы доказать или опровергнуть существование таких кривых, необходимо: 1. Доказать существование (или несуществование) абелева многообразия А/к с соответствующим многочленом Вейля, причем Jac(C) = А. 2. Рассмотреть поляризацию ср на абелевом многообразии А, такую, что (А, ф)/к является над к якобианом кривой С. 3. Проверить, возможно ли спустить кривую С до кривой С /к так, чтобы (Лас(С7),#) = (Д ). Пусть Е/к - обыкновенная эллиптическая кривая со следом т. Обозначим через 7Г эндоморфизм Фробениуса кривой Е. Тогда имеет место изоморфизм R = Z[X]/{X2 -mX + q) Z[ir] С End(Я). Ж. П. Серр в [23, Приложение] определил эквивалентность категорий J-между категорией абелевых многообразий, которые изогенны степени Е, и Л-модулями конечного типа без кручения. Функтор J- отображает объект А в Л-модуль L = Пот(Е,А), при этом ранг L равен размерности А. Обозначим через L кольцо антилинейных гомоморфизмов / : L —R, тогда J {A) = L. Таким образом, морфизм ср : А — А определяет морфизм h : L —L и, следовательно, эрмитову форму Н : L х L — R. Ж. П. Серр доказал следующие факты: 1. if является поляризацией тогда и только тогда, когда эрмитова форма Н положительно определена; 2. if является главной поляризацией, если эрмитов модуль (L, Н) - уни-модулярный; 3. if неразложима тогда и только тогда, когда эрмитов модуль (L, Н) неразложим.

Для изучения классов изоморфизма якобианов кривых используется классификация унимодулярных неприводимых эрмитовых форм, представленная А. Шиманом в [34].

Во второй главе рассматривается вопрос существования оптимальных кривых рода д 3, проанализированы подход К. Ритценталера [32] к доказательству существования оптимальной кривой рода 3 и подход Я. Топа [46] к получению явного представления кривой рода 3 (частный случай).

Подход К. Ритценталера на основе идеи Ж. П. Серра заключается в следующем. В случае существования препятствия Серра для главнопо-ляризованного абелева многообразия (А, р ) над полем к с характеристикой, отличной от 2, которое в свою очередь является якобианом над к, можно сделать вывод, что (А, р ) - якобиан над к. Этот вопрос решается с помощью вычисления квадратного корня модулярной формы Зигеля. Вычисление проведено явно для главнополяризованного абелева многообразия А і?3, где Е - эллиптическая кривая с комплексным умножением. Полученные результаты можно использовать для доказательства существования оптимальной кривой рода 3.

Рассмотрим поле к = q характеристики char(;) 2и абелево многообразие А/к размерности д(А) = 3. Чтобы доказать существование кривой С /к с определенным числом точек С{к), необходимо построить абелево многообразие над к, чей эндоморфизм Фробениуса имеет след 1+q — #С(к), и доказать, что оно является якобианом.

Абсолютно неприводимое главнополяризованное абелево многообразие (A, р ) над к является якобианом, если значение модулярной формы %is Зигеля относительно базиса регулярных дифференциалов является квадратом в к. Однако, вопрос вычисления %is в конечном поле остается открытым. Поэтому следует поднять (A, р ) над числовым полем, где можно использовать аналитическое выражение %і8 в терминах тэта-нулей. Соответственно, можно рассматривать величину %is как алгебраическое число. Редуцируя его в конечном поле, получим искомое препятствие Серра, с помощью которого можно определить, является ли (A, tp) якобианом или нет. В работе Я. Топа рассмотрены специальные кривые, а именно, неприводимые гладкие кривые С\/к рода три, где char(;) 7 2, и показана их оптимальность. Кривые С\ заданы уравнением вида

Кривые рода один, два и три

Обратные к корням oti корни многочлена L, где і Є {1,... , 2g}, имеют также другую интерпретацию. Для этого рассмотрим модуль Тэйта якобиана Jac(C) кривой С. Якобиан кривой С является главнополяризованным абелевым многообразием размерности д, определенным над полем q.

Пусть - простое число, отличное от характеристикир поля q. Определим модуль Тэйта абелева многообразия А над полем q Т(А) = 1 пА[п}, где А[п] - группа точек "-кручения А над q и проективный предел берется в соответствии с умножением на . Каждая группа А[п] является Ж/п-модулем, и проективный предел снабжен структурой Z -модуля. Q -векторное пространство Те (А) %)%е Qe обозначим за Vi(A). Группа Галуа Ga\(q/q) действует на каждую группу А[п] и, таким образом, индуцирует действия на Т({А) и на Vi(A). В частности, существует действие эндоморфизма Фробениуса на модуль Тэйта.

Рассмотрим якобиан кривой С рода д. Тогда можно интерпретировать ОІІ как собственные значения эндоморфизма Фробениуса на Vg(Jac(C)). Предложение 1.6.4 ( [26, Теорема 19.2]). Морфизм Фробениуса F над q действует полупросто на V(Jac(C)) и имеет собственные значения OL\, ..., содействие эндоморфизма Фробениуса на V (A) полностью определяет число F -рациональных точек на кривой С, так как oti получены с помощью этого действия. Характеристический многочлен fc(t) эндоморфизма Фробениуса над q, действующего на Vg(Jac(C)), является взаимным многочленом к L(t). Свойства fc(t) являются специальным случаем свойств характеристического многочлена Фробениуса, действующего на модуль Тэйта для абелева многообразия А над q. Гипотеза Римана для абелевых многообразий влечет, что /А() Щі\ имеет степень 2 dim(Л), и его корни удовлетворяют условию \OL\\ = y/q.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда все собственные значения Фробениуса ai удовлетворяют одному из условий ai + a i = —т или а.{-\-а{ = т для г = 1,..., 2д. 1.7. Кривые рода один, два и три

Число точек на кривой рода один можно получить с помощью классического результата М. Дойринга [6], [49, Гл.6]. Применяя теорию Хонды-Тэйта к абелевым многообразиям размерности один, получаем, что число рациональных точек на эллиптической кривой, определенной над конечным полем, определяет класс изогенных эллиптической кривой. Теорема 1.7.1 (Дойринга, [49, Теорема 4.1]). Пусть д = рп, р - простое, целое т удовлетворяет условию \т\ 2 J q. Тогда существует биекция между множеством всех классов изогенных эллиптических кривых над q и множеством, целых г, удовлетворяют следующим условиям:

С помощью теоремы Дойринга можно получить максимальное и минимальное число рациональных точек на эллиптических кривых. Следствие 1.7.2 ( [40, Теорема 20]). Пусть q = рп, р - простое и т = m(q) = L v J Если п 3 - нечетное и р\т, то Nq(l) = q + \ + т — 1 и Mq(l) = q + 1 — т + 1; для всех остальных случаев Nq(l) = q + 1 + т и Mq(l) = q + l-m.

Рассмотрим кривые рода три. Отметим, что абелево многообразие размерности g 3 с неразложимой главной поляризацией является канонически поляризованным якобиевым многообразием алгебраической кривой. Результат для g = 1 и g = 2 был получен А. Вейлем, для g = З Ф. Ортом и К. Уено.

Теорема 1.7.5 (Орта и Уено, [31, Теорема 4]). Пусть А - абелево многообразие размерности g 3 над полем К с неразложимой главной поляризацией if. Тогда существуют конечное расширение К С L и кривая С над L, такие, что (A, ip) L = (Jac(C), в).

Хотя теорема говорит, что любое такое абелево многообразие является якобианам над некоторым расширением основного поля, в большинстве случаев мы можем использовать спуск Галуа и показать, что многообразие Якоби определено над основным полем. Мы рассматриваем частный случай спуска Галуа, когда якобиан изогенен степени эллиптической кривой. Теорема 1.7.6 ( [22, Лемма 1]). Пусть С - кривая рода g 2 над рп, где р - простое, п - нечетное. Если характеристический многочлен эндоморфизма Фробениуса надрп на Jac(C) имеет разложение /jac(C)() = (t — 7r)9(t — її)9, и существует ф Є Ъ\к\, такой, что 7Г = фп, то кривая С определена надр.

Я. Топ в [45] представил таблицу Nq{3) для всех q 100. Однако, информации о Mq{g) для g 3 известно мало. Альтернативный подход к описанию чисел Nq(g) и Mq{g) было предложено Ж. П. Серром и основывается на теории эрмитовых модулей. Это было использовано Т. Ибукиямой в [17] и К. Лаутер в [23] для исследования кривых рода три над конечным полем. Т. Ибукияма также рассмотрел суперсингулярные кривые рода три, результатом явилась следующая теорема:

Теорема 1.7.7 (Ибукиямы, [17, Теорема 1]). Для нечетного простого р и q = рп, п Є Z i; существует кривая С рода три, определенная над р, такая, что число р2п-рациональных точек достигает верхней (нижней) границы Вейля для нечетного (четного) п

Оптимальные кривые рода 1 и 2

Однако данное предложение не позволяет напрямую вычислить X18((A,(p),uS). Поэтому следует использовать идею Серра о поднятии глав-нополяризованного абелева многообразия размерности 3 над локальным полем характеристики 0. С точностью до квадратичного скручивания любое главнополяризованное абелево многообразие (А, р) размерности 3 над конечным полем к является произведением якобианов (Jac(Cj), ji). Этого достаточно для того, чтобы поднять кривую С\ до кривой СІ и рассмотреть абелево многообразие ] [(Jac(Cj), ji). При необходимости следует применить квадратичное скручивание для получения подъема (А, р). Обобщая сказанное, получаем следующее предложение.

Предложение 2.3.2 ( [32, Предложение 2.4.]). Пусть (А} р) - главнополяризованное абелево многообразие над конечным полем k, char(;) 2, и пусть (А,ф) - подзем (А}р), определенный над локальным кольцом S числового поля К с полем вычетов к. Тогда для произвольного базиса регулярных дифференциалов uj1,uj2,uJ3 Є Q1 [A] S S модулярная форма Зигеля принадлежит S, где TV = Q 1 Є И - риманова матрица, ассоциированная с р, Г 1,Г 2 Є М3(С). Пусть к = S/p, тогда (А}р) - якобиан негипер-эллиптической кривой рода три тогда и только тогда, когда x(modp) -ненулевой квадрат в к. Кроме того, если х (modp) не является квадратом в к, то (А} р) не является якобианом.

Поскольку якобиан оптимальной кривой изогенен степени эллиптической кривой Е, то справедливо следующее утверждение. Лемма 2.3.3 ( [23, Приложение]). Пусть Ок - кольцо главных идеалов.

Если А изогенно Е9, то А = Е9. Соответственно, А = Еъ. Обозначим іро = {ip х ip х ip) - произведение главных поляризаций на Е3 и М = р$1р Є Мз(Епсі(Е )). Если End(E ) порядок в мнимом квадратичном поле, то матрица М является матрицей главной поляризации на Е тогда и только тогда, когда М - положительно определенная эрмитова матрица с дискриминантом 1. Предложение 2.3.4 ( [32, Предложение 3.3]). Пусть А = Е9 - абеле во многообразие. Пусть ip - главная поляризация на А и М = ір 1ір Є Є Мд(Ок), где ifQ = {ip х ... х ip), и ifQ : A — А есть произведение главной поляризации на А. Если поляризация if - абсолютно неразложима, то М - неразложима, то есть не существует матрицы Р Є GL3{OK), где 9\ + 92 = 9, такой, что (Mi 0 \ М = Р [ \ Р. \ о м2) При g 3 наличие у абелева многообразия А неразложимой главной поляризации является необходимым и достаточным условием того, что (Л, ip) - якобиан. Лемма 2.3.5 ( [23, Приложение]). Пусть Ок - кольцо главных идеалов и выполнены условия предыдущего предложения. Поляризация if является абсолютно неразложимой тогда и только тогда, когда М - неразложима. Если эллиптическая кривая Е определена над числовым полем, то для аналитического вычисления модулярной формы Хі% Зигеля необходима специальная периодическая матрица, полученная с помощью {Е , ifoM). Матрицы М могут быть вычислены с помощью [34].

На примере покажем, что существует кривая С рода 3 над конечным полем k = F47, число рациональных точек которой достигает границы Хассе-Вейля-Серра, а именно, #C(;)=p+l + 3[2Vp] = 87. Согласно [22], если такая кривая существует, то ее якобиан изогенені?3, где Е/к - эллиптическая кривая со следом — [2у/р] = —13. Это означает, что эллиптическая кривая Е - обыкновенная и, соответственно, такая кривая существует. Кроме того, если 7Г - эндоморфизм Фробениуса кривой Е, то где т = (1 + д/—19)/2. Таким образом, End(E ) = Z[-7r] - кольцо целых Ок поля /С = Q(\/—19). Отметим, что поскольку символ Лежандра \- г) = 1, то все эндоморфизмы определены над к. Так как число классов Ок равно единице, то Е единственна с точностью до изоморфизма.

По лемме 2.3.3 Jac(C) = Е , а по лемме 2.3.5 существование неразложимой главной поляризации на Jac(C) сводится к существованию неразложимой положительно определенной эрмитовой формы М Є Мз(С г) с дискриминантом 1. Такие формы классифицированы с точностью до изоморфизма для некоторых мнимых квадратичных порядков в [34]. В рассматриваемом случае существует лишь одна эрмитова форма, заданная матрицей

Рассмотрим квадратичное скручивание Е кривой Е и (А ,(р ) = = (Е ,(роМ) - квадратичное скручивание (E3,tp). Пусть Е(19) - модель эллиптической кривой с комплексным умножением, а именно,

Данное выражение не является квадратом над Q и так как символ Лежанд-ра (-f) = - 1, то не является квадратом и над к = 47 Следовательно, предложение показывает, что (А ,(р ) - не якобиан, а по теореме Торелли якобианом является его квадратичное скручивание (Л, ір). В итоге получаем, что существует оптимальная (максимальная) кривая над полем F47 Тем же самым методом можно доказать, что существуют оптимальные кривые (максимальные) рода три над Fp, где р = 61,137,277 и минимальная, но не оптимальная кривая рода три дляр = 311.

Пусть С - гладкая, неприводимая кривая родад над конечным полем q. В общем случае для g 3 не существует общего подхода для вычисления максимального числа Nq(g) рациональных точек кривой. Известны границы в случае g 50, когда q 128 является степенью 2 или 3 [10]. Ж. П. Серр в [37] представил значение Nq(3) для q 19 и для q = 25. Кроме того, в работе [36] показано, что А з = 48. Работа Я. Топа посвящена нахождению Nq{3) посредством рассмотрения специальных кривых рода три. Пусть к - поле с характеристикой, отличной от двух. Плоская квар-тика С\, заданная уравнением

Второй метод

По предложению 3.1.4 существует либо максимальная, либо минимальная оптимальная кривая над полем q. Тип кривой можно определить с помощью модулярной формы Зигеля. А именно, учитывая дискриминант поля, порядок группы автоморфизмов оптимальной кривой и соответствующие матрицы эрмитовых форм, модулярную форму х Зигеля можно вычислить с помощью таблицы

Вычисляя символ Лежандра I - I, можно определить, является ли искомое значение \ квадратом в поле q или нет. В случае, если \ -квадрат, то оптимальная кривая будет соответствовать типу кривой E(d), где E{d) - эллиптическая кривая с комплексным умножением и d = = d(q) Є {—19, —43, —67, —163}. Уравнения таких кривых получены Б. Гроссом [11, 23-24] и представлены в следующей таблице

Если же х не является квадратом, то тип оптимальной кривой будет противопоставляться типу эллиптической кривой E{d) (максимальной эллиптической кривой соответствует минимальная кривая, и наоборот). Из представленных рассуждений вытекает следующее предложение. Предложение 3.3.2. Пусть оптимальная кривая С задана уравнением Тогда существует инволюция а Є Aut(C), такая, что факторкривая С/(и) является эллиптической кривой, и ее j-инвариант принимает следующее значение

Используя метод, приведенный в этом параграфе, представим примеры оптимальных кривых над конечными полями с дискриминантами d(q) є {-19, -43, -67, -163}. Пример 3.3.3. Оптимальные кривые над конечными полями с дискрими нантом d(q

Известно, что двойное накрытие разветвляется над двумя точками кривой Е. В качестве таких точек рассмотрим Р\ и Р2. Следовательно, Н можно записать в виде z = f, где / - многочлен в правой части уравнения накрытия Н. Тогда по формуле Римана-Гурвица имеем div(/) = Pi + P2 + 2D для некоторого дивизора D степени —1 на кривой Е. По [41, Следствие 3.5] существуют точка Q и функция д на кривой Е, такие, что div(g) = = Q — D — 2(9, где О - бесконечно удаленная точка. Тогда D + div(g) = = Q-20. Поскольку z2 = /, то (zg)2 = fg2 и справедливо следующее div(/#2) = div(/) + 2div( ) = Pi + P2 + 2Q - Ю. Если полож;ить fg = h, zg = w, то накрытие с уравнением w = h является накрытием Я. Поскольку div(/i) = Р\ + Р2 + 2Q 4С, то h Є Ь{Ю) = = {1, ж, х , у}. Соответственно, любое двойное накрытие Н рода два кривой Е имеет вид z2 = /, где div(g) = Р\ + Р2 — 2R и R - рациональная точка кривой Е. С помощью замены координат Pi Pi-R + O, P2 -Pi-R + О. накрытие, заданное уравнением z2 = /, будет изоморфно накрытию с уравнением w2 = д, где div(g) = Р + (—Р) — 2(9. Таким образом, имеем следующее соответствие

Рассмотрим эллиптическую кривую Е, такую, что d{E) = —19. Такая кривая единственна с точностью до изоморфизма, при этом Я - кривая рода два, такая, что Я = Е х Е , и имеет место изоморфизм Е = Е. Если кривая Е задана уравнением у2 = f(x), где f(x) - неприводим над q, то кривая Е имеет уравнение у2 = (ах + /3)f(x), где а,/З Є Fq. Существует автоморфизм (/9 Є Autp (Я), tp \ Е —) Е , коммутирующий с автоморфизмом Ч

Рассматривая кривые Е и Н в поле характеристики 0, можно заметить, когда эти уравнения выполняются по модулю р, и получить конечный список характеристик. Пример 3.4.1. Рассмотрим эллиптическую кривую Е : у2 = Xі + 2х + 4 и два накрытия w2 = х и z2 = у + х2 + 2х + 3 над полем F5. Проверяя, что многочлен Вейля композита кривых рода 4 есть (Т2 + Т + 5)5; а характеристический многочлен над57 имеет вид (Т2 — 559Т + 78125)4, и его дискриминант равен —19, заключаем, что кривая, заданная уравнением zA + 3z2wA + z2w2 + 4:Z2 + w8 + 3w6 = 0, является оптимальной кривой рода 4 над конечным полем с дискриминантом —19.

Глава 3 составляет ядро работы и основана на статьях автора [61, 63-65]. Доказательства основных свойств и вывод уравнений оптимальных кривых опирается на доказанный факт, что оптимальная кривая рода 3 является двойным накрытием оптимальной эллиптической кривой. В основе доказательства лежит теорема о k—R проекции и классификация унимоду-лярных эрмитовых форм. Также доказано, что оптимальная кривая родаЗ не является гиперэллиптической. В отличие от оптимальных эллиптических кривых для случа рода 3 доказано, что одновременно не могут существовать класс минимальной и класс максимальной эллитпических кривых. Еще одним из полученных результатов является исследование группы автоморфизмов оптимальной кривой, доказано, что эта группа имеет структуру, идентичную группе диэдра порядка 6. Доказательство построено с использованием теоремы Торелли. Опираясь на доказанные свойства, в представленной главе двумя способами выведены уравнения оптимальных кривых рода 3 над конечными полями с заданными дискриминантами. Следует отметить, что второй метод более рационален для явного вычисления уравнений, поскольку в действительности задача нахождения уравнения кривой сводится к нахождению лишь двух коэффициентов. Также в главе представлен метод построения оптимальной кривой рода 4. К сожалению, опи санные рассуждения для построения оптимальных кривых рода 3 нельзя применить к построению кривых рода 4, поскольку возникает вопрос наличия главной поляризации на абелевом многообразии размерности 4. Таким образом, оптимальная кривая рода 4 построена как композит двух двойных накрытий эллиптической кривой рода 2.