Явная форма символа Гильберта для многочленных формальных модулей в многомерном локальном поле Волков Владислав Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Определения и предварительные результаты 17

1.1 Многочленный формальный модуль 17

1.1.1 Вспомогательные ряды 19

1.1.2 Символ Гильберта 20

1.1.3 Примарные элементы и система образующих Гензеля 21

1.2 Комбинаторная теорема о нулях 21

Глава 2. Явное спаривание в многочленном формальном модуле 24

2.1 Функции Артина-Хассе 24

2.2 Примарные элементы 25

2.3 Формальное спаривание 25

2.4 Система образующих Гензеля формального модуля 35

2.5 Однозначность по второму аргументу 37

2.6 Замена переменной 39

2.7 Основной результат 41

Глава 3. Комбинаторная теорема о нулях 44

3.1 Обобщения комбинаторной теоремы о нулях 44

3.2 Приложения к комбинаторике 49

3.2.1 Дополнительные примеры 51

Глава 4. Соотношения на свободный член многочлена 57

4.1 О соотношении Каделла 57

4.2 Интегральная формула Селберга 61

4.3 Матричная запись 64

4.4 Гипотеза Форрестера 66

4.4.1 Доказательство соотношения Аомото-Форрестера 67

Заключение

Список литературы

• Символ Гильберта
• Примарные элементы
• Приложения к комбинаторике
• Матричная запись

Введение к работе

Актуальность темы.

Локальная теория полей классов для всякого локального поля К устанавливает изоморфизм

S: К* —> Gal(K^a /К)

(где К^аЬ — максимальное абелево расширение поля К) называемый (локальным) отображением Артина или отображением взаимности локальной теории полей классов. С его помощью для локального поля К, содержащего /i_r — группу корней г-ой степени из 1, вводится символ норменного вычета (символ Гильберта):

(, -)_г: К* х К* —> /і_г ,

/ 7 N Г/Г'=^:(^а) / Т/Т

(а, о)_г = л/о /Vо.

В поле алгебраических чисел Г для этого символа выполняется закон взаимности Гильберта

І I (а, Ъ)_гд$ = 1,

Ф где ф пробегает по всем простым идеалам в кольце целых поля Г, и соответствующий символ (а, Ъ)_гд$ берётся в пополнении поля Г относительно идеала ф. Теория символа норменного вычета была развита Д. Гильбертом для случая г = 2 и обобщена на произвольное г в работах Н. Г. Чеботарёва, Э. Артина и Г. Хассе. В случае г = 2 описанный выше закон взаимности равнозначен обычному квадратичному закону взаимности для символа Ле-жандра. В произвольном случае этот закон в теории алгебраических чисел является аналогом следствия интегральной теоремы Коши, которое гласит, что сумма вычетов мероморфной 1-формы на компактной римановой поверхности равна нулю. С этой точки зрения символ Гильберта (а, Ъ)_гд$ играет роль вычета некоторого дифференциала в точке ф. Как и в случае вычета дифференциала значение символа (а, Ъ)_гд$ зависит лишь от поведения а и Ъ в точке ф, то есть от разложения а и Ъ в ф-адические ряды. Тем не менее его классические определения, включая приведённое выше, имеют мало общего с данной аналогией и зависят от свойств всего поля Г (или его ф-пополнения К). Отсюда возникает задача построения символа (а, &)_г,ф, а впоследствии

и всей локальной теории полей классов, более явным и естественным обра-

зом. Эта задача решается с помощью получения явных формул для символа (о., &)г,ф и его переопределения через данные формулы.

Задача построения подобных формул для символа Гильберта имеет долгую историю, которая берёт своё начало в работе Э. Куммера [5]. Для кругового расширения поля р-адических чисел К = Q_P(C) (где ( — первообразный корень степени р из 1) Куммер получил формулу вида

где ряды є,/і Є Zp[[ir]]* выбраны так, что є(( — 1) = є, fi(( — 1) = /і.

Другой тип явных формул имеет свои корни в работе Артина и Хассе 1928 года []. В этой работе символ Гильберта в круговом расширении поля р-адических чисел К = Q_P(C) (где ( — первообразный корень степени р^т из 1) вычисляется на парах (є, () и (є, ( — 1), где є — главная единица поля К. В частности, при р ф 2 выполнены равенства

( ґ\ /-—wr trloge

[Є, Q_pm = Q V^m _?

(e,C-i)^ = C^tr((^c"^irlclog^e) ,

где ti = tT_K/q_p.

Дальнейшее развитие построения явных формул для символа Гильберта шло по этим двум направлениям — формул типа Артина-Хассе и типа Куммера. Формулы типа Куммера представляют символ Гильберта в виде вычета определённого ряда. В формулах типа Артина-Хассе символ Гильберта выражается через след некоторого элемента, при этом на нормирование второго аргумента накладывается некоторое ограничение, делающее формулы неполными.

Направление формул Артина-Хассе было развито в круговом поле Qp(C) К. Ивасавой [], а в дальнейшем, в произвольном локальном поле — Ш. Сеном []. Формула, построенная Сеном, имеет следующий вид. Пусть К — локальное поле, ( Є К, ( — первообразный корень степени р^т из 1, 7Г — простой элемент кольца целых О к поля К, (З Є К*, \ \к — дискретное нормирование поля К. Ряды /3, Є W(K) таковы, что (3(7г) = (3, ((тт) = (. Тогда для любого элемента а Є О к, такого, что \а — 1\к ^ 2\р\к/{р ~ 1)

выполняется соотношение

(a, (3)pm = (^c, где

1 f С, д(3(тт) \

с = — tr= log a

pm д^{7Г) /3

Дальнейшие успехи были достигнуты в случае символа Гильберта, определённого относительно формальной группы. А. Уайлс получил формулу типа Артина-Хассе для формальных групп Любина-Тейта [] для поля деления изогении \к^т\ и А. В. Колывагин [] для полей, содержащих поле деления изогении \к^т\. В мультипликативном случае и в случае формальных групп Любина-Тейта продвижения были также получены Р. Коулманом [11]. Выдвинутая им гипотеза о виде формулы в общем случае формальных групп Любина-Тейта была доказана A. Де Шалитом []. Ф. Детрам [] обобщил формулы Сена на случай формальных групп Любина-Тейта, а Д. Бенуа [14] — на случай р-делимых групп.

Формулы Куммеровского типа получили своё продолжение в работе И. Р. Шафаревича []. С помощью теоремы Гензеля [] Шафаревич построил специальный базис группы главных единиц, и пользуясь разложением по этому базису дал явное определение символа Гильберта в виде вычета некоторого ряда в случае т = 1. Шафаревич показал независимость данного им определения от выбора конкретного базиса, однако, полученная им формула, содержит вышеописанный базис в своей формулировке, что затрудняет её использование.

Более элементарные формулы в общем случае были получены в конце семидесятых годов независимо С. В. Востоковым [17] и Г. Брюкнером []. Приведём здесь данные формулы. Для локального поля К характеристики ноль, содержащего ( — первообразный корень из 1 степени р^т, введём обозначения Oq = W(K) — кольцо векторов Витта от поля вычетов К поля К, tr = tio₀/z — след в расширении Оо/Ъ_р. Тогда для произвольных элементов а, /З Є К* выполнено равенство

(а,Р)рт = trres<%,)/* _?

Ф(а,(3) = (/3)а~ да (а)/3~^Ад/3^А ,

__ __р__ _

где ряды а,(3 Є 91 х (х) х (1 + жСЩж]]) выбраны так, что а(тт) = а, /3(7г) = /3; s = (^^т — 1 (где ряд ( Є fR х (ж) х (1 + ж(9о[[ж]]) выбран так, что (7г) = (); (а) = (log(a^p/a^A))/p (где оператор Л задан на кольце Oq как автоморфизм Фробениуса поля К, на переменной х — по формуле Л (х) = х^р и продолжен до эндоморфизма кольца Оо((х))).

В работе Востокова [17] был преобразован и развит подход, использованный Шафаревичем. Метод, предложенный в этой работе, был впоследствии успешно применён в значительном количестве других важных случаев. Изложим подробнее основные шаги этого метода.

1. В соответствующем модуле (модуль формальной группы либо мультипликативная группа поля) строится система образующих, называемая обычно системой образующих Гензеля или базисом Шафареви-ча (построение проводится по аналогии с методом, использованным Шафаревичем для построения базиса в работе []).

2. На кольце рядов строится формальное спаривание (,), заданное явной формулой как вычет некоторого ряда. Это спаривание определяется между формальными аналогами объектов, на которых задан символ Гильберта. Проверяется линейность и символьное свойство для формального спаривания. Затем, с помощью разложения элементов поля К в ряды по простому элементу, формальное спаривание проектируется на К до спаривания {,}. Проверяется корректность этой проекции, независимость результата от конкретного разложения в ряд и выбора простого элемента.

3. Полученное спаривание {,} вычисляется на элементах системы образующих Гензеля, и на них проверяется её совпадение с символом Гильберта.

4. Совпадение спаривания {,} и символа Гильберта проверяется на всех элементах с помощью независимости явного спаривания. Это, в свою очередь, даёт явную формулу символа Гильберта.

Подобная схема была использована при построении формул типа Куммера в работах [—] для формальных групп Любина-Тейта, в работе [24] для относительных формальных групп Любина-Тейта, в работах [; ] для формальных групп Хонды, в работе [] для обобщенных формальных групп

Любина-Тейта и в ряде работ посвященных многомерному локальному полю, речь о котором пойдёт ниже.

Для полноты изложения необходимо отметить, что альтернативный подход к явным формулам типа Куммера был получен В. А. Абрашкиным в работе [ и развит Ф. Таваресом Рибейру [].

Теория полей классов для многомерного локального поля была построена в конце семидесятых годов независимо в случае нулевой характеристики К. Като в серии работ [—] и более явным образом, с учётом топологии в случае ненулевой характеристики А. Н. Паршиным [—]. В этих работах было построено отображение Паршина-Като, выполняющее роль отображения взаимности многомерной локальной теории полей классов. А именно, для n-мерного локального поля К существует изоморфизм

S: К_п(К*) —> Gal(K^a /К),

где К_п{К*) — if-группа Милнора, К^аЬ — максимальное абелево расширение поля К. Так же как и в одномерном случае с помощью отображения S можно задать символ Гильберта (как мультипликативный, так и относительно некоторой формальной группы).

Явные формулы для мультипликативного случая в многомерном раз-нохарактеристическом поле построил Востоков в работе [], адаптировав, описанный выше метод. Эти формулы, в частности, сыграли важную роль в явном построении локальной теории полей классов многомерного разно-характеристического поля, проведённом И. Б. Фесенко []. В дальнейшем для многомерного поля явные формулы были также построены в работе [40] для поля смешанной характеристики, в работах [; ] для полей конечной характеристики с квазиконечным и совершенным полем вычетов, в работах [; 44] для формальных групп Хонды, в работе [ для формальных групп Любина-Тейта.

Целью работы является построение явной формулы символа Гильберта (-,-)с относительно многочленной формальной группы F_C(X,Y) = X + Y + сХУ, где с — единица в поле К, для одномерного локального поля и многомерного разнохарактеристического локального поля. Отметим,

что любая многочленная формальная группа представляется в форме (, ) = + + .

Научная новизна: впервые явные формулы символа Гильберта получены для формальной группы, коэффициенты которой не обязаны лежать в подполе инерции поля . Все основные результаты, представленные в работе, являются оригинальными.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в дальнейших исследованиях явных форм символа Гильберта в более общих случаях и для построения конструктивного подхода к локальным теориям полей классов по аналогии с мультипликативным случаем.

Mетодология и методы исследования. В работе используются методы общей теории локальных полей, в том числе многомерных, локальной теории полей классов и теории формальных групп. Работа утилизирует подход к явным формулам Куммеровского типа, описанный выше.

Основные положения, выносимые на защиту:

5. Явная формула символа Гильберта (,) многочленной формальной группы в одномерном локальном поле.

6. Явная формула символа Гильберта (, ) многочленной формальной группы в многомерном разнохарактеристическом локальном поле.

7. Конструктивный способ построения спаривания Гильберта для многочленной формальной группы , позволяющий напрямую проверить линейность, символьное свойство, а также кососимметричность и соотношения Стейнберга в многомерном случае.

Достоверность результатов и апробация работы. Достоверность полученных результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством. Основные результаты работы докладывались на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фаддеева, на Санкт-Петербургском семинаре по формальным группам и теории ветвления (рук. проф. С. В. Востоков) и в виде выносного доклада на международной конференции «Arithmetic Days» (2013). Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в рецензируемых научных изданиях [1—], рекомендованных ВАК. Работы [1—] написаны в соавторстве. Результаты работы [1] получены совместно с С. В. Востоковым и Г. К. Паком. В работе [] диссертанту принадлежат построение формального спаривания, док-во основной леммы и проекция формального спаривания на числа (разделы 3, 5, 7, 8), остальные результаты получены совместно. В работах [; ] диссертантом получены независимость спаривания от разложения в аргументы, лемма о замене переменной и основная теорема (разделы 4, 5, 6 работы []), остальные результаты получены совместно. С. В. Востокову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав. Полный объём диссертации составляет 71 страницу. Список литературы содержит 51 наименование.

Символ Гильберта

В работе [35], 1, 2 описано построение рт-примарного элемента си (а) = E(as(tn))\t =7Г, а Є От, tra ф 0 mod р в полной аналогии с одномерым случаем. Далее в [35], 1, 3 описано построение системы образующих Гензеля, опирающейся на си (а). Подробное построение в более общем случае многомерного поля с совершенным последним полем вычетов проделано в [85].

Предложение 2. Элементы є ві = 1 — Qi i ... і \тігп, где в є R, LCM(ii,... ,in,p) = 1, 0 in ре п и последний отличный от нуля индекс %Т перед %п должен быть положителен, если гп = 0 и меньше ре г, если гп = ре п, вместе с элементом си (а), где а Є От, tra ф 0 mod р дают систему образующих группы главных единиц поля К .

В данном разделе обсуждаются известные подходы и некоторые классические применения комбинаторной теоремы о нулях. В этом разделе и главах 3 и 4 через F обозначется основное поле коэффициентов. Через n, m, к целые неторицательные числа. Комбинаторная торема о нулях имеет довольную короткую историю и берёт своё начало в работах Н. Алона середины 1990х годов. Наиболее полное изложение своего метода Н. Алон представил в работе [44]. Теорема 1 (Кобминаторная теорема о нулях Алона). Пусть произвольное поле, и f = f(xi,... , хп) некоторый многочлен в F[a;i,..., хп]. Предположим, что степень deg(j) многочлена j равна 2 І=І ь г"е н целые неторицательные числа. Предположим также, что коэффициент при мономе ПГ=1 в многочлене f не равен нулю. Тогда, если Si, .. ., Sn некоторые подмножества F такие, что \(\Si) ti, то найдется набор si Є Si, ..., sn Є Sn такой, что /(si,... ,Sn) Ф 0. Подход Алона к этому результату основывался на некотором усилении теоремы Гильберта о нулях для идеала порожденного многочленами gi(xi) = Yises-(xi s) (Теорема 1.1. в [44]) Отсюда, скорее всего, родилось и название теоремы 1.

Несмотря на свою, казалось бы, чисто алгебраическую природу, эта теорема проявила свою значимость, в первую очередь, в целом ряде различных задач дискретной математики. В той же работе [44] Алон продемонстрировал её применения в задачах аддитивной теории чисел, теории графов и комбинаторике. Среди продемонстрированных им приложений можно отметить простое доказательство теоремы Шевалле-Варнинга, теоремы Коши-Девенпорта, теорему Эрдёша-Хэйлброна, 3-списочность любого двудольного планарного графа и ряд результатов на суммы с ограничениями.

Идея Алона получила своё развитие в работах М. Ласона [45] и Р. Н. Кара-сёва и Ф. В. Петрова [46]. Независимо ими было получено следующее обобщение описанное ниже, более удобное для целей нашей работы.

Теорема 2. Пусть произвольное поле и F Є F[ i, 2,..., хп] многочлен степени не выше deg(F) d\ + d i + dn. Тогда для любых множеств Сі, С і, Сп в F таких, что С = di + 1, коэффициент при мономе Пх в F равен п п п Й(сіЖ(С2) Фп(Сп) сіЄОі С2ЄО2 с„ЄО„ где 4 i(z) = YlceC-(z с). Ключевой идеей в доказательстве этой теоремы является подход к комбинаторной теореме о нулях не как к следствию теоремы о нулях Гильберта, а как к своего рода обобщению интерполяционной формулы Лагранжа. Действительно при п = 1 Теорема 2 вырождается в формулу для старшего коэффициента многочлена от одной переменной, следующую из формулы Лагранжа.

Важно также отметить, что сущетсвуют и другой взгляд на комбинаторную теорему о нулях, а именно Р. Н. Карасёвым в работе [50] заметил, что по сути теорема 2 является следствием теоремы Коши о вычетах. Это наблюдение особенно интересно в свете того, что результат о символе Гильберта, рассматриваемый в главе 2 данной работы, тесно связан с явной формой закона взаимности, которая сама по себе также является, в определенном смысле, следствием теоремы Коши о вычетах. Автору представляется особенно интересной возможность найти единый подход к этим задачам, что, однако, выходит за рамки текущей работы.

Упомянем, тем не менее, работу [51], представленную в довольно абстрактном ключе алгебраической геометрии, которая могла бы помочь прояснить наблюдаемую связь и глубже природу комбинаторную теорему о нулях. А именно, работа [51], изучает следы в полных пересечениях и в качестве одного из главных своих получают формулу, обощащую формулу Эйлера-Якоби. При достаточно пристальном рассмотрений, однако, внимательный читатель может заметить, что представленная там формула влечет за собой теорему 2, если рассмотреть решетку С\ х ... х Сп как полное пересечение образованное многочленами gi(xi) = Псєс,(ж с).

Другой причиной интересоваться подобными обощениями является следующая. Изучаемые в главе 4 соотношения лежат в одном ряду с так называемыми соотношениями Макдональда, доказанными И. В. Чередником. Однако, несмотря на то, что представленный метод оказывается достаточно универсальным, чтобы в едином стиле получить доказательства многих известных соотношений на свободный член, включая до этого неразрешенную гипотезу Форре-стера, соотношения Макдональда, для систем корней отличных от Д , С, D, казалось бы, не поддаются подобному подходу. Боллее общая версия комбинаторной теоремы о нулях, возможно, смогла бы преодолеть этот барьер.

Напомним, что Теорема Коши - Дэвенпорта [86] утверждает, что для непустых множеств А, В остатков по простому модулю р имеет место неравенство \А + В\ min(p,\A\ + \В\ — 1). Начиная с середины 1990-х, когда появился полиномиальный метод, основанный на комбинаторной теореме о нулях [43], в этом круге вопросов было сделано многое, в том числе получены результаты для множеств точек в аффинных пространствах [87] и для общих групп [88; 89].

Примарные элементы

В спаривании в правой части ряды и вычет рассматриваются от переменных z, а соответствующие ряды s m, и строятся с помощью разложения ; ( и с в ряды по системе локальных образующих ТІ при замене переменных ti — gi.

Доказательство. Обозначим через с ряд получающийся разложением с в новой системе образующих ТІ при замене переменных ti — gi.

Для начала рассмотрим случай а = \t\, ti, tn}. В силу леммы 8 и предложения 6 ряд /3 можно заменить на формальную сумму базисных рядов вида: —Qcpm lt%it%2 .. .tlz{tn и Ec(asc). Проверим каждый из подслучаев отдельно. В первом получим (Hi,... ЛЛ, -вв т Н%} .. Л1") = 0 = (oi,. .. ,qn},-9cpm 1q\1 ... qtn) L J- lioj _ 1 П C,t LJ U b U 1 U II, c z в силу символьного свойства [аналогично последней части доказательства предложения 7] и аддитивности спаривания. Во втором подслучае небоходимо проверить, что ({ti,..., tn}, Ec(asc))ct = ({ ?i,...,gn\i Ec{as c))cz . Это утверждение немедленно следует после применения к обоим частям тождества (2.20). Далее рассмотрим элементы вида а = \t\,..., є,... ,tn}, где є Є 1 + Ст{{і}} {{«-i}}[[«]]i. Рассмотрим ряды / = ti є, h = f(gi,... ,gn) и элемент t\ = f\ t =7Г. Обозначим также через /t такой ряд из т{{ і}} {{ -I}}[[ ]], что ft (t\, . . . і г-іі f) = t{. Тогда ({ti, ... ,є,...,tn},(3)ct = ({ti,...,/,... ,tn},(3)ct —pc {{ti, ,tn},(3)ct ({gi,... ,s(g),...,gn}, fi)cz = ({gi,..., f(g),...,gn}, fi)cz —FC С п{,ДоОпределение 5. Введем спаривание {,}: Кп(К) х FC(9JT) — ()с {а, В\с = ((а, в)) (). Проверим теперь корректность этого определения. Заметим, что независимость от разложения второго аргумента следует непосредственно из леммы 8. Независимость от выбора системы образующих из леммы 9. Проверим независимость от выбора разложения первого аргумента. Лемма 10. Пусть элементы а\ Є Кп{7іт) и СЇ2 Є Кп{7іт) таковы, что Ы.., п=7г = «21..., „=" Тгда дЛЯ Люб0г0 Ряда Р Кс: ((аі,(3))с = ((а2,(3))с . Доказательство. Достаточно проверить утверждение в случае, когда а,\ и «2 элементарны в Kn{l-Lm) и различаются лишь в одной координате, а именно: OL\ = { 2i,...,а ,..., ап}, «2 = {«і,.. , &І2, .. , ап}. В этом случае необходимо доказать, что для любого ряда (З Є %с: (({ 2і,..., а /а ,..., ап} , (3))с = 0 . В силу кососимметричности спаривания достаточно разобраться со случаем і = п. Далее рассмотрим именно его. Рассмотрим ряд д = tn аП1/аП2 Є 7іт. Для этого ряда д(тг) = тт. Применяя леммы 8 и 9, получаем: (({ 2і,... ,tn} , (3))с = (({сії,..., д} , (3(g)))с = = (({(2i, , ?} , (3))с = (({ 1,... ,tn аП1/аП2} , /3))с . Сравнивая первое и последнее выражение в полученном равенстве, получаем омощью формального спаривания (-,-)с зададим теперь числовое спаривание требуемое:

Теорема 4. Для любых элементов а Є Кп(К) и (З Є FC(9JT) значения спариваний {-,-}с и (v)c совпадают: {а,/3}с = (а,/3)с. Доказательство. Согласно предложению 1, достаточно проверить это утверждение при а = {і,...,7г} и а = {і,... , _і,є, +і... , 7г} где є Є 1 + Ст{{і}} {{«-i}}[[«]]i (если і = п, то вместо п в последних скобках стоит 7г). Кроме того, можно написать є = t Jti, и: {ti, . . . ,ti-i, Є, ti+i . . . ,7г} = {ti, ..., ... ,7г} — {ti, ... ,ti ... ,7г} . Поэтому на самом деле достаточно проверить лишь случай а = {ti,... ,7г}. В этом случае из предложения 6 следует, что можно ограничиться рассмотрением лишь рядов 0;j и х с(а), в качестве ряда (3. Однако из первой части предложения (7) немедленно следует, что: Таким образом, построенное явное спаривание совпадает со спариванием Гильберта, или, другими словами, для спаривания Гильберта получена явная формула.

Замечание. Описанный выше результат можно получить и другим методом, сведя его к результату работы [35], а именно, если одновременно рассмотреть изоморфизмы между группой Fc и мультипликативной группой над О к, а также между их поднятиями над (9г{{і}} ... {{tn-i}}((tn)), то интересующее нас спаривание можно протащить через данные изоморфизмы и перейти к стандартному мультипликативному спариванию. Для полноты изложения, однако, мы провели прямое рассуждение, заодно осветив некоторые технические детали опущенные в оригинальной работе [35].

Приложения к комбинаторике

В таком случае, если Cj лежит в промежутке [ик, (и + то)к + 6] при некотором 1 і п, то Со — а Cj Со + Ъ — 1 и найдётся множитель вида жу — Хо — е в F который обнуляется в точке (со,с). Таким образом, если более чем то таких СІ попадает в промежуток [ик, (и + то)к + Ь], то соотношение (4.4) выполнено. В противном случае или как минимум и + 1 элемент из С\,... ,сп попадает в промежуток [0,ки — 1], или как минимум п — то —и такой элемент попадает в промежуток [{и + то)к + & + 1,(п — 1)к + Ь\. В любом из этих случаев найдется пара индексов 1 і j п такая, что \CJ—СІ\ к. Тогда найдется и множитель вида Xj — ХІ — е в F обнуляющийся в точке (со,с), и опять же соотношение (4.4) выполнено. В силу вышеописанной леммы осталось рассмотреть лишь случай со = 0. Имеем UJO(C) = 1 и то = 0. Если в этом случае (со,... ,сп) = F(co,c) Ф 0, дх0 то с\,... ,сп Є [b,(n — 1)к + b] и \CJ — СІ\ к для каждорй пары 1 і j п. Следовательно числа с\,... ,сп, должны, при некоторой перестановке совпадать с числами Ъ,к + Ъ,... ,{п — \)к + Ъ. Более того, эта перестановка обязана быть тождественной, так как если q Cj при некоторых і j, то q — Cj к + 1. Осталось лишь вычислить значение выражения п I I K(Ci,Q,0)F(co,c) в последней возможной точке (со,с) = (ОДА; + 6,... ,(п — 1)& + 6). Так как i(cj) = 0 при каждом і, то мы просто получаем П _,. , , (с- — ЛШі сЄСі\{сі}\ г J и элементарные сокращения дают нам соотношение (4.2). Замечание. Для простоты изложения в описанном выше доказательстве по ум-лочанию предполагалось, что а, 6, к являются натуральными числами. Однако доказательство выше несложно преобразовать, чтобы покрыть оставшиеся случаи (а именно а = О, Ъ = 0 или к = 0). Можно также заметить, что случаи а = 0 и Ъ = 0 являются просто равнопараметрическим случаем соотношения Дайсона, а случай к = 0 сводится к соотношению Вандермонда.

Заменим теперь многочлен из соотношения (4.3) на многочлен п а 6—1 к—1 к I I I I (Х0 (fXj) I I (Xj (fX$) Х II (Xj (fxi) (%i — (fXj). j=l e=l e=0 l i j n e=0 e=l Также заменим каждое из мультимножеств СІ на мультимножества, которые состоят из степеней q с экспонентами из Cj, причем с теми же кратностями. Повторяя докозательство, представленное выше легко получаем следующую версию -соотношения Морриса: \Hja+K3\HJ0+K3\HJK однако, легко видеть, что два данных выражения эквивалентны, так как все мономы степени ноль имеет одинаковые коэффициенты в многочленах Лорана

Гипотеза Морриса была независимо получена в работах [104] и [105] с помощью доказательства так называемой интегральной g-формулы Селберга, предложенной Аскеем [106]. Позднее более простое докозательство было получено в [107].

Все соотношения на свободный член и их g-аналоги, изучаемые в данной работе могут быть сформулированы в следующем виде. Через В = (Д -) обозначим (п + 1) х (п + 1) матрицу со строками и столбцами, пронумерованными от 0 до п. Будем считать, что все числа в ячейках матрицы являются целыми неотрицательными и числа находящиеся на главной диагонали равны нулю. Такой матрице сопоставим многочлен Лорана представляют собой соответственно полиномы из соотношений Дайсона и Морриса, в то время как T q(x;a) = Cq(xo X; В-р) соответствует -соотношению Морриса. Заметим, что одновременная перестановка строчек и столбцов В по одному и тому же элементу из п+1 никак не влияет на CT[(жо?ж; В)]. Вообще говоря аналогичное неверно для CT[q(xo,x; В)], но как уже было сказано отмечено при доказательстве -соотношения Морриса в параграфе 4.2, мы всегда можем применить циклическую перестановку

Матричная запись

В заключение изложим краткое резюме каждой из основных глав, рассмотрим возможные направления дальнейшей работы и связанные открытые вопросы.

Явные формулы символа Гильберта. В данной главе была рассмотрена явная формула символа Гильберта для многочленной формальной группы в многомерном разнохарактеристическом поле. Явным образом были установлены корректность и основные свойства введённого спаривания и с помощью вычисления на базисе Шафаревича получено совпадение с классическим символом Гильберта. Данная глава демонстрирует, что классический подход к явным формулам для формальных групп, может быть применён, с небольшими изменениями, и в случае, когда коэффициенты формальной группы не лежат в подполе инерции основного поля. В работе был рассмотрен простейший подобный случай. Встаёт задача применения данного подхода, теперь, к другим менее элементарным группам подобного сорта.

Было бы также крайне интересно глубже изучить связь между явной формой закона взаимности и формулами представленными во второй и третьей главе работы. Возможно, есть способ получить некоторое абстрактное утверждение в большей общности, спецификациями которого, являлись бы как явная форма закона взаимности, так и различные версии комбинаторной теоремы о нулях. Наиболее подходящим на данную роль из известных автору утверждений является основной результат работы [51].

Комбинаторная теорема о нулях. Эта глава посвящена различным подходам и обобщениям комбинаторной теоремы о нулях, а также комбинаторным следствиям из них, связанным, в основном, с задачами сумм с ограничениями. В первой части главы рассматриваются варианты комбинаторной теоремы о нулях дающие точную формулу на определённый коэффициент многочлена. Изложен абстрактный подход к подобным результатам с помощью тензоров. С его помощью вновь устанавливается результат Петрова-Карасёва в несколько более общей форме, а затем выводится версия комбинаторной теоремы о нулях для мультимножеств. Первая часть главы завершается версией комбинаторной теоремы о нулях для аффинных гиперповерхностей.

Во второй части главы данные результаты применяются для получения результатов в аддитивной комбинаторике. Здесь представлен новый подход к теореме Диаса да Сильвы-Хэмидона, теореме Алона-Натасона-Ружи, результатам Синя, Суня и Е, связанных с размерами сумм с ограничениями. Завершается данная глава новым вариантом теоремы Коши-Дэвенпорта для алгебраической сложности.

Представленные в этой главе результаты демонстрируют широкую универсальность полиномиального метода в задачах сумм с ограничениями. Естественным образом возникает вопрос о границах её применимости. Было бы интересно изучить этот вопрос детальнее, в частности, исследовать применимость комбинаторной теоремы о нулях к другим известным результатам этой области. Отметим один из этих результатов, установленный в работе [95], относительно которого автору неизвестно поддаётся ли он полиномиальному методу. Задача. Пусть hr(x) = Хл ? - j nxh -хзг — симметрический однородный многочлен степени г. С помощью комбинаторной теоремы о нулях установить соотношение: СТ Ж]"1... x ra,nhr{x\1... ,жп)аіН ha І І (1 — Xj/xi)ai\ = ) . Чжоу [109] установил связь между суммами с ограничениями и соотношением Морриса, изучаемым в третьей главе данной работы. Другим направлением дальнейшей работы является изучение эту связь под призмой представленного полиномиального метода. Возможно это позволит перенести некоторые результаты из одной области в другую и определить границы применимости комбинаторной теоремы о нулях в каждой из областей.

Соотношения на свободный член. Данная глава применяет результаты предыдущей к задачам соотношений на свободный член, связанными с интегральной формулой Селберга. Сначала данный подход применяется для получения некоторой g-версии соотношения Каделла. Затем устанавливается соотношение Морриса, как хорошо известно, равносильное классической интегральной формуле Селберга. Далее, для технического удобства, вводится матричная запись подобных соотношений. Наконец в последней части главы устанавли 77 вается её основной результат: соотношение Аомото-Форрестера, следствиями которого, являются одновременно соотношение Аомото и гипотеза Форрестера.

Все полученные в данной главе формулы с точностью до небольших вариаций обладают схожей структурой. Интересно было бы установить для каких именно семейств матриц В представленный метод позволяет установить аналогичную формулу Отметим, что в оригинальной работе [83] была высказана гипотеза о том, что для матриц Аомото-Форрестера условие п т + щ может быть опущено, однако недавно с помощью прямых вычислений она была опровергнута И. В. Пышкиным и А. С. Гордеевым.

Задача. Определить семейство матриц В, для которых описанное в работе применение полиномиального метода, позволяет получить замкнутую формулу, наподобие формулы Аомото-Форрестера.

Другим направлением дальнейшей работы является следующее. Рассматриваемые в данной главе соотношения тесно связаны с соотношениями Макдо-нальда [110]. Данные соотношения были установлены И. В. Чередником [111], с помощью двойных афинных алгебр Гекке. Возникает задача получения этих соотношений в схожей данной главе манере. Скорее всего данная цель потребует обобщения комбинаторной теоремы о нулях для систем корней.