Введение к работе
Актуальность темы. В теории квазигрупп особую роль играют квазигруппы так или иначе "близкие" к группам. К таким квазигруппац в частности, относятся квазигруппы, изотопные группам. Как известно [I], ясе примитивные квазигруппы, изотопные группам, составляют многообразие, которое характеризуется тождеством от пяти переменных. Нногообразие составляют такие все квазигруппы, изотопные абелевым группам. Оно характеризуется тождеством от четырех переменных [i] .
Этому многообразию принадлежат хорошо известные медиальные квазигруппы (их иногда называют абелевыми), т.е. квазигруппы, определяемые тождеством xy-UV = XU-yV. Согласно теореме Брака-То йоды [2]- -медиальная квазигруппа - это квазигруппа(Q,-) вида ху=^х+с+у^ , где (Q,+) - абелева группа, *f,y - автоморфизмы этой группы, причем *f^=kj/v^t а С - некоторый фиксированный элемент из Q . Начиная с 1940 года медиальные квазигруппы всесторонне изучали многие известные алгебраисты (Д.Мёдоч, К.Тойода, Р.Брак, Г.Гриффин, Н.Эттеринг-тон, А.Сад, Я.Ацель, С.Стейн, Т.Кепка, П.Немец, К.К.Щукин и др.). Эти квазигруппы близки по свойствам к абелевым группам, возникают при исследовании других классов квазигрупп и функциональных уравнений на квазигруппах.
Медиальные квазигруппы били обобщены Т.Кепкой и П.Немцем, которые ввели понятие Т-квазигруппы и детально их исследовали в работах^, 4J. Т-кваэигруппы имеют тої же вид, что и медиальные, но автоморфизмы f и у ке обязаны коммутировать между собой. Изучение Т-квазигрупп продолжила Г.Б.Белявская, которая, в частности, показала, что Т-квазигруппы в классе всех квазигрупп играют роль, аналогичную роли абелевых групп в классе всех групп. А именно, согласно теореме 5 из [5], квазигруппа совпадает с ее центром тогда и только тогда, когда она является Т-квазигруппой. Т-квазигруппой является и любой подквазигрупповой класс конгруэнции центра квазигруппы. В [б] также дана характеризация (примитивных) Т-квазигрупп двумя тождествами, обобщающими*тоядество медиальности.
Естественным обобщением Т-кпазигрупп (отказ от абелевости соответствующей группы) являются линейные квазигруппы. Впервые эти квазигруппы были введены в 1966 году В.Д.Белоусовым [і] в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. При этом возникли такяе квазигруппы, изотопные группам и близкие г, линеЯньчі. Однако детальное исследование таких квазигрупп не проводилось. Целесообразность изучения линейных квазигрупп с точки зрения и:< ео з-
можной характеризации тождествами, отмечены в обзоре Е.Н.Кузьмина и И.П.Шестакова \о].
Специфическими понятиями для квазигрупп и луп являются понятна левого, правого и среднего ядер квазигруппы. Все они в какой-то мере отражают "близость" квазигруппы (лупы) к группе, т.е. "степень" ее ассоциативности. Известны разные подходы к определение ядер квазигрупп. В монографии В.Д.Белоусова [2] ядра в квазигруппе введены по аналогии с ядрами в лупах, при этом в основу их определения положены понятия регулярных подстановок в лупах. Однако, как показано Т.Кепкой р] , в квазигруппах существуют более общие понятия регулярных подстановок. Учитывая этот факт, Г.В.Белявская в [7] лзела более общие понятия ядер квазигруппы, точнее отражающие специфику квазигруппы и тесно связанные с понятием центра квазигруппы.
Цель работы. Исследовать линейные и близкие к ним квазигруппы, установить связь между ядрами Г.В.Белявской и линейностью квазигрупп, описать многообразия различного типа линейных квазигрупп, продолжить изучение связи между линейными квазигруппами и уравновешенными тождествами, начатое В.Д.Белоусовым.
Методы исследования. Применяются методы современной алгебры и, в частности, теории квазигрупп и групп.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации введено понятие алинейной квазигруппы, рассмотрены различные типы линейных (алинейных) квазигрупп, установлена их связь с ядрами, описаны многообразия примитивных линейных (алинейных) и близких к ним квазигрупп. Углублены некоторые известные результаты относительно связи линейности (алинейности) с уравновешенными тождествами. Описаны ряд подмногообразий в классе Т-квазигрупп которые задаются уравновешенными несократимыми тождествами определенного вида. Исследованы свойства линейных (алинейных) квазигрупп дан критерий простоты линейных (алинейных) квазигрупп и построен свободные линейные квазигруппы.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретичес кий характер. Ее результаты и методы могут найти применение :в теорії квазигрупп и смежных областях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на lies дународной конференции по алгебре памяти А.И.Ширпова (Барнаул,1991] Международной конференции по теории групп (Румыния, 1992), VI Ыеждз народном симпозиуме по топологии (Кишинев, 1991), конференции моле дых ученых УДН им. П.Лумумбы (Москва, I99I-I992), семинаре по алге! рз и математической логике (Кишинев, 1992), семинарах по теории кш
эигрупп в Институте математики АЯ Республики Ыолдора.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы я 9 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работ;;. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов (включая 5 0), разделенных на 14 пунктов, и списка литературы, пклпчачщего 27 названии. Работа изложена на 92 страницах машинописного текста.