Введение к работе
Актуальность темы. 1) Граф Кокстера1 - это граф, каждому ребру которого сопоставлеп элемент множества {3,4,5,..., +оо} (называемый порядком ребра). Такие графы играют важную роль в некоторых классификационных вопросах алгебры и анализа. С каждым графом Кокстера G связана (все определения см.ниже) квадратичная форма2 Картана-Тптса Bq. Среди графов Кокстера центральное место занимают простые и расширенные графы Дынкина3, т.е. связные графы Кокстера. для которых Bq > 0, соответственно Вс > 0 (последнее означает VrBG(.r) > О Л Зх^о Bq{x) = 0). Упомянутые объекты играют фундаментальную роль в исследованиях, посвященных алгебре и геометрии простанств с системой отражений.
В 1973 г. И.Н.Бернштейн,И.М.Гельфанд,В.А.Пономарёв опубли
ковали работу4 , которая уже послужила началом нескольких цик
лов исследований ряда авторов.Один из её логических ходов явил
ся отправной точкой и для настоящего диссертационного исследо
вания.Суть этого хода в следующем: вектор х определённым обра
зом отклонили от диагонали пространства, на котором определена
форма Картана-Титса, при этом количество графов, для которых
Вс(х) > 0, резко сократилось. Вероятно.это является частным слу
чаем общего утверждения о классе форм Картана-Титса (ср.ниже
теорему 2.3.1). А
В 1994г. было введено" понятие отклонения ui(G) = lj(Bq) нулевого конуса Bq от диагонали пространства, на котором определена эта форма, и для трёх классов деревьев было найдено выражение j{G) через топологические характеристики дерева G (этот результат процитирован ниже в теореме 2.2.3).
2) Первоначально планировалось ограничится написанием небольшой статьи, в которой u>(G) вычислялось бы для всех деревьев и обосновать упомянутый выше эффект сокращения количества графов.
'Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней: Пер. с франц - М.: Мир, 1972. - С.24.
2Бур6акн II. Указ. соч.-С.ІКЇ.
3Бурбаки H. Указ. соч.- С.241-248.
4Бернілтейі! II.П., Гельфапд II.М., Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриеля // Успехи мат. наук. - 1D73. - Т.28, вып.2 (170). - С.19-33.
5Колмыков В.А., Купцов B.C., Субботин В.Ф. Об одном инварианте формы Картана-Титса дерезьев / Воронеж, гос. уп-т. - Воронеж, 1994. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.СЧ.94, N 122-И74.
Однако уже на самых ранних этапах изучения отклонения выяснилось, что это понятие многими способами связано с фундаментальными понятиями простых и расширенных графов Дынккпна, а таюке с другими интересными вопросами математики.
Казалось бы, что простые и расширенные графы Дынкина должны играть скромную роль в этих вопросах: самое большее, что можно ожидать, - это какая-то особенность чисел u(G), где G - граф Дынкина. Однако роль графов Дынкина оказывается неизмеримо большей.
Например, они "управляют" формулами, выражающими си(Т) через другие характеристики дерева Т: формулы различаются в зависимости от того, какому расширенному графу Дынкина "родственно" дерево Т (множество Т всех деревьев естественно разбивается на 5 классов:
т = т> ц 4 ц s7 ц4 цт>
см. теорему 2.1.1 и замечание к ней, и для каждого класса существует своя формула, выражающая и>{Т) через другие характеристики дерева Т (теоремы 2.2.1 - 2.2.3)).
Удивительно и то, что графы Дынкина управляют решениями теоретико -графовых задач типа: найти все деревья, для которых и(Т) Є М, где М - некоторое подмножество R. Беря М равным [2; +оо], (2; +со], Z, {1 + ^\п Є N}, и т.п. всякий раз удавалось найти (вообще говоря многозначную) операцию opfj на множестве всех деревьев и набор Vynju графов Дынкина так, что и>{Т) Є М <=> Т Є орм(Т>упм), иными словами u~l{M) — opu{Vyn\i) (см.,например теорему 2.5.1.).
Приведем еще один интересный факт, связанный с понятием отклонения.
Среди рассматриваемых форм Картана-Титса мы выделяем класс Z, состоящий из неприводимых форм, сужение которых на диагональ пространства является неотрицательно-определенной формой, Оказывается, что
u(Z) Г) Z = {1; 2; 3; 4; 6; +оо}.
Множество {1; 2; 3; 4; 6;+оо} часто появляется в разных вопросах математики. Например. {1; 2; 3; 4; 6; +оо} - множество всевозможных
ериодов неустойчивости периодических циклических графов (это — дин из результатов главы 3). Другой пример из классики5 : если п-іанговая решетка Г в R" устойчива относительно действия группы 5ейля W, a G\v - соответствующий граф Кокстера, то m(u,v) Є 1; 2; 3; 4; 6; +со} Vu, v Є V(GW).
Замечание. Упомянутые утверждения о неустойчивости графов і устойчивости решёток опираются (в конечном счёте) на известное ещё пифагорейцам) утверждение: Q П cos(xQ) = {0; ±0,5; ±1}. К южеленшо. утверждение об и(2) не удалось вывести из того же источника; найденное доказательство опирается на (не тривиальные) георемы, выражающие отклонение через топологические характеристики.
Цель работы. 1) Исследование отклонения формы Картана-Титса деревьев |вывод универсальной формулы,выяснение структуры множества отклонений деревьев,нахождение связи с известными классическими понятиями). 2) Получение новых классификационных теорем об устойчивости переодических графов.
Методы исследования. Основной результат гл.1 получен методами квадратичного программирования, причём пришлось (1.1-1.2) развить эти методы в случае форм и многогранников специальных видов. Многие результаты гл.2 получены при помощи решения диофантовых уравнений и неравенств. Результаты гл.З получены при помощи сочетания классических соотношений (для определителей (Силь-вестр),для многочленов (Чебышев)! и современных формул (для характеристических многочленов (0,1)-матриц (А.Швенк), для характеристических многочленов периодических (0,1)-матрю: (В.А.Калмыков и В.Ф.Субботин)).
Научная новизна. 1) Исследована новая задача квадратичного нрограммиро-дания. 2) Для нового (наиболее широкого) класса деревьев выведены формулы, выражающие отклонение через геометрические характеристики. 3) Найдены новые связи понятия отклонения и определённости для форм Картана-Титса. 4) Доказаны новые утверждения о расположении нулевого конуса формы Картана-Титса в пространстве R". 5) Выведены новые реккуректные формулы для характеристических многочленов графов. 6) Полученны новые классификационные теоремы об устойчивости переодических циклических графов.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер.Её результаты и методы могут быть использованы в разделах математики, изучающих алгебраические и геометрические свойства линейных пространств с системой отражений. Результаты 1.1-1.2 могут быть использованы в теории и практике квадратичною программирования (и ситуации, когда коэффициенты формы удовлетворяют специальной системе неравенств). Результаты 3.3 могут быть применены в теоретической химии (для описания особенностей химиче-
6bvp6;iKti И Ука.з. соч C.1G3.
ских связей в молекулах углеводородов с эффектом тг-сопряжешш).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Кроме этого опубликовано еще две работы, написанные в соавторстве, однако в диссертации использованы лишь формулировки нескольких утверждений из этих работ, которые необходимы для расчетов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах,список которых приводится в конце автореферата.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па следующих семинарах и конференциях: 1) Семинар А.И. Кострикина (МГУ, май 1993 г.). 2) Семинар Э.Б. Винберга (МГУ, февраль 1998 г.). 3) Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтеиия-YIII" (май, 1997 г.). 4) Межвузовская конференция "Молекулярные графы в химических исследованиях" (Калинин, май 1990 г.)
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка цнтировананной литературы. Объём диссертации 75 страниц. Список цитированной литературы - 21 наименование.