Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Необходимые теоретические сведения. Обзор известных результатов 9
1.1 Основные понятия теории конечных проективных плоскостей 9
1.2 Описание плоскости над левым почти-полем порядка 9 10
1.3 Описание плоскости над правым почти-полем порядка 9 18
1.4 Правила перехода от плоскости над левым почти-полем порядка 9 к плоскости над правым почти-полем порядка 9 20
Глава 2 Основные методы исследования 23
2.1 Сведение задачи исследования дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 к исследованию сторонников в двойственной плоскости 23
2.2 Метод поэтапных отождествлений для исследования сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка 9 24
Глава 3 Исследование сторонников в плоскости над левым по чти-полем порядка 9 28
3.1 Результаты исследования сторонников для = 1,2,3 28
3.2 Исследование четырехсторонников 29
3.3 Исследование сторонников для = 5, б,..., 10 60
Глава 4 Исследование дуг в плоскости над правым почти-полем
4.1 Исследование 4-дуг 67
4.2 Результаты исследования дуг для = 5,6,... , 10 70
Заключение 72
Литература
- Описание плоскости над левым почти-полем порядка
- Метод поэтапных отождествлений для исследования сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка
- Исследование четырехсторонников
- Результаты исследования дуг для = 5,6,... , 10
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Теория конечных проективных плоскостей (КПП) активно развивается и в настоящее время. Регулярно, в особенности за рубежом, выходят статьи, посвященные различным исследованиям в области КПП1,. Среди работ, касающихся теории КПП и опубликованных на русском языке, можно выделить, в частности, следующие кни-ги.
Теория КПП находится на стыке проективной геометрии, алгебры (а именно, теории конечных групп, конечных полей и почти-полей) и комбинаторного анализа. Первые три аксиомы в определении КПП полностью совпадают с аксиомами принадлежности классической проективной плоскости. С другой стороны, можно говорить и об обратном влиянии теории КПП на проективную геометрию. В проективной плоскости справедлива теорема Дез-арга, для доказательства независимости этой теоремы от аксиом принадлежности классической проективной плоскости необходимо построить модель, в которой будут выполняться аксиомы принадлежности, но не будет выполняться теорема Дезарга. Такой моделью служит недезаргова КПП, например, плоскость над правым почти-полем порядка 9. В построении некоторых недез-арговых КПП конкретного порядка применяются элементы теории конечных почти-полей.
Важным вопросом в исследовании конкретной конечной проективной плоскости (КПП) является изучение дуг в данной плоскости. В исследовании k-дуг КПП конкретного порядка используются элементы теории конечных групп. В рамках диссертационного исследования применение комбинаторного анализа связано с использованием метода поэтапных отождествлений при исследовании -сторонников и -дуг КПП.
Полное исследование -дуг проведено в трех из четырех известных конечных проективных плоскостях порядка 9: в плоскости над левым почти-полем
1 Воропаев, А. Н. Подсчет -угольников в конечных проективных плоскостях // Сибирские элек
тронные математические известия —2013. Т.10. С. 241–270.
2 Caliskan C., Moorhouse G.E. Subplanes of order 3 in Hughes planes, The Electronic Journal of
Combinatorics [electronic only] (2011) V. 18(1).
3 Lazebnik F., Mellinger K.E., Vega O. On the Number of -gons in Finite Projective Planes, Note di
Matematica (2009), V. 29(1), 135—152.
4 Moorhouse G. E. On projective planes of order less than 32, in: Hulpke, A. (ed.) et al., Finite Geometries,
Groups, and Computation. Proceedings of the conference, Pingree Park, Colorado, USA, September 4–9, 2004.
Walter de Gruyter, Berlin (2006) 149–162.
5 Гонин, Е. Г. Конечные проектиные плоскости / Е. Г. Гонин. — Пермь: Изд-во ПГПИ, 1983. — 94 с.
6 Картеси, Ф. Введение в конечные геометрии: Пер. с англ. / Ф. Картеси. — М.: Наука, 1980. — 320
с.
7 Ширшов, А. И., Никитин, А. А. Алгебраическая теория проективных плоскостей / А. И. Ширшов,
А.А. Никитин. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1987. — 84 с.
и дезарговой плоскости — в работах Ю. Н. Зверевой8,, в плоскости Хьюза — в работе В.И. Василькова и его ученика Г.В. Масленникова.
Проблема исследования -дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 осложняется отсутствием необходимых сведений о группе коллинеа-ций данной плоскости, в отличие от остальных недезарговых КПП, для которых группы коллинеаций были изучены ранее: J. Andre — для плоскости над левым почти-полем, G. Zappa — для плоскости Хьюза. Поэтому актуальна задача разработки метода исследования -дуг в плоскости над правым почти-полем без использования группы коллинеаций указанной плоскости. Именно такой метод, основанный на двойственности плоскости над правым почти-полем и плоскости над левым почти-полем, описывается и реализуется в настоящей диссертации. С помощью этого метода и достигнута основная цель работы.
Степень разработанности темы. Имеются четыре конечные проективные плоскости порядка 9: дезаргова, Хьюза, плоскость над левым почти-полем(далее указанную плоскость будем называть и плоскостью трансляций и кратко обозначать ) и плоскость над правым почти полем (далее указанную плоскость будем называть и плоскостью сдвигов и кратко обозначать ). Исследованием -дуг в плоскостях трансляций и Хьюза занимались зарубежные математики G. Menichetti (1966) и R.H.T. Denniston (1971). G. Menichetti получил отдельные примеры полных -дуг в плоскости трансляций для = 7,8,9,10. R.H.T. Denniston опубликовал статью, в которой исследовал полные дуги в указанных плоскостях для = 6,9,10.
Полное исследование дуг в плоскости трансляций и притом единым методом, методом поэтапных отождествлений, созданным проф. Е.Г. Гониным, провела Ю.Н. Зверева8.
Тем же методом Ю.Н. Зверева выполнила и полное исследование -дуг в дезарговой плоскости9. Полное исследование -дуг в плоскости Хьюза методом поэтапных отождествлений с применением ЭВМ выполнили В.И. Васильков и Г.В. Масленников10.
8 Зверева, Ю. Н. Дуги в проективной плоскости трансляций порядка 9 // Комбинаторный анализ
—1972. №2. С. 92–102.
9 Зверева, Ю. Н. Дуги в дезарговой проективной плоскости порядка 9 // Ученые записки Пермского
пед. института —1976. Т.152. С. 40–43.
10 Васильков, В. И. Исследование -дуг в плоскости Хьюза порядка 9 с помощью ЭВМ / В. И.
Васильков, Г. В. Масленников. — Труды ИММ УрО РАН, 1998. — Т. 5. — С. 28–38.
11 Andre J. , Projecktive Ebenen uber Fastkorpern, Math. Zeitschr. (1955) V. 62(2), 137–160.
12 Zappa G. , Sui gruppi di colleneasioni dei piani di Hughes, Boll. Un. Mat. Ital. (1957) V. 12(3), 507–516.
13 Menichetti G. , Sorpa i -archi completi nel pianografcodi traslazione di ordine 9, Matematiche (1966)
V. 21(1), 150–156.
14 Denniston R. H. F. , On arcs in projective planes of order 9, Manuscripta math. (1971) V. 4(1), 61–89.
15 Гонин, Е. Г. Метод поэтапных отождествлений / Е. Г. Гонин // Материалы XXIV конф. матем.
кафедр пед. институтов Урала.—1968. Киров.— С. 50–51.
Подробное описание самого исследования и результатов исследования /с-дуг при к = 1, 2, 3,..., 10 в плоскостях: дезарговой, трансляций и хьюзовой проведено в книге В.И. Василькова, Ю.Н. Зверевой и Г.В. Масленникова16.
Аналогичная задача для четвертой плоскости, плоскости сдвигов, до настоящего времени оставалась нерешенной. В настоящей диссертации восполняется этот пробел в теории конечных проективных плоскостей.
Цели и задачи работы. Цель работы — получить, с точностью до изоморфизма, используя единый метод исследования, полный список опорных к-дуг в плоскости сдвигов порядка 9 для к = 4,5,...,10. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:
-
провести полное исследование /^-сторонников в плоскости трансляций порядка 9, двойственной плоскости сдвигов порядка 9;
-
осуществив с помощью конкретного отображения переход от плоскости трансляций порядка 9 к двойственной плоскости (плоскости сдвигов порядка 9), получить необходимые сведения о к-дугах этой плоскости.
Научная новизна. В работе впервые единым методом, методом поэтапных отождествлений, проведено полное исследование /^-сторонников в плоскости трансляций порядка 9. В результате найден, с точностью до изоморфизма, полный список опорных /^-сторонников в плоскости трансляций порядка 9 для к = 4, 5,..., 10.
С помощью конкретного отображения, описанного в диссертации В.И. Василькова, удалось перейти от плоскости трансляций к двойственной ей плоскости сдвигов и найти, с точностью до изоморфизма, полный список опорных к-дуг в плоскости сдвигов порядка 9 для /с = 4,5,...,10. Для каждой опорной /с-дуги найден порядок группы автоморфизмов и общее число /с-дуг, изоморфных опорной.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты, описанные в настоящей диссертационной работе, полностью решают проблему исследования к-дуг в известных КПП порядка 9, тем самым, безусловно, обогащая теорию конечных проективных плоскостей. Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанного метода исследования для изучения дуг в плоскостях сдвигов более высоких порядков.
Методология и методы исследования. Метод исследования к-дуг в плоскости сдвигов порядка 9 основан на двойственности плоскости сдвигов и плоскости трансляций. На первом этапе исследования изучаются, с точностью до изоморфизма, опорные /с-сторонники в плоскости трансляций порядка 9. Для этого используется метод поэтапных отождествлений, но применяемый к наборам прямых. Алгоритм поиска множества допустимых прямых для каждого опорного /с-сторонника реализован с помощью системы GAP (Groups, Algorithms, Programming).
16 Васильков, В. И. Опорные дуги и группы их автоморфизмов в проективных плоскостях малых
порядков / В. И. Васильков, Ю.Н. Зверева, Г.В. Масленников. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед.
университета, 2005.—261 с.
17 Васильков, В.И. О строении проективных плоскостей порядка 9: дис. ...канд. физ.–мат. наук:
01.01.06 / Васильков Вадим Иванович. — Екатеринбург, 1995. — 189 с.
Двойственность рассматриваемых плоскостей позволяет с помощью конкретного отображения осуществить переход от плоскости трансляций к плоскости сдвигов, тем самым достичь цели исследования.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались, в частности, на следующих конференциях и семинарах: на Международной научно-практической конференции «Современная наука: теоретический и практический взгляд» (Уфа, 2013 г.); на III Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2013); на научном семинаре отдела алгебры Института математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (Екатеринбург, декабрь 2013); на Научно-практической конференции студентов и аспирантов с международным участием «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2014).
Публикации. Основные результаты работы изложены в 8 публикациях, в числе которых 2 статьи в рецензируемых журналах [1, ], 4 статьи в сборниках трудов научных конференций [3, , , 8] и 2 — в других периодических изданиях [, ].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и приложений А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. Общий объем диссертации 406 страниц, 329 из которых занимают приложения.
Описание плоскости над левым почти-полем порядка
В работе В.И. Василькова, Ю.Н. Зверевой и Г.В. Масленникова [4] подробно описано полное исследование, с точностью до изоморфизма, к-дуг для к = 1,2,3,..., 10 в трех КПП порядка 9: дезарговой, трансляций и Хьюза. Во всех указанных плоскостях исследование дуг проводится единым методом, методом поэтапных отождествлений (МПО). Согласно МПО на каждом этапе исследования необходимо проводить полное отождествление найденных к-дуг, используя при этом группу коллинеаций исследуемой КПП. Поскольку группа коллинеаций плоскости сдвигов порядка 9 не изучена до настоящего времени, применение МПО для исследования дуг в этой КПП невозможно.
Таким образом, возникает необходимость разработки нового метода, не использующего группу коллинеаций плоскости сдвигов. Такой метод найден и описывается в настоящей диссертационной работе.
Известно [3], что плоскость сдвигов порядка 9 двойственна плоскости трансляций порядка 9, для которой группа коллинеаций полностью изучена [1, 3, 20]. Поэтому основную цель настоящей диссертационной работы, а именно исследование к-дуг в плоскости сдвигов порядка 9, можно свести к иследованию / -сторонников в плоскости трансляций порядка 9. В таком случае исследование проводится в два этапа.
1. Сначала необходимо изучить, с точностью до изоморфизма, / -сторонники (наборы из к прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку) плоскости трансляций. На этом этапе исследование проводится методом поэтапных отождествлений применительно к наборам прямых. Суть этого метода будет подробно изложена в параграфе 2.2.
2. Затем, благодаря возможности перехода от плоскости трансляций к двойственной плоскости сдвигов путем конкретного отображения (см. параграф 1.7), получить необходимые результаты о дугах плоскости сдвигов.
Метод поэтапных отождествлений (МПО), разработанный проф. Е.Г. Го-ниным, подробно описан в работах [6, 8]. Описание МПО для исследования дуг в конечной проективной плоскости приведено в работе [4]. Указанный метод применим и для исследования -сторонников в плоскости трансляций.
Будем рассматривать -сторонники в порядке возрастания числа прямых, входящих в состав -сторонника, т.е. числа . Для общности рассуждений наборы прямых из одной, двух прямых будем также называть -сторонниками. Сначала рассматриваем 1-сторонники, далее 2-сторонники и т.д.
Определение 2.1. Назовем -сторонники изоморфными (эквивалентными), если найдется коллинеация, переводящая один -сторонник в другой.
Относительно группы всех коллинеаций плоскости трансляций множество всех -сторонников разбивается на классы эквивалентности (орбиты). При этом в один класс попадают изоморфные -сторонники. Поэтому для каждого значения из каждого класса эквивалентности выбираем представитель, который назовем опорным -сторонником. Опорный -сторонник с номером , который присваивается в порядке получения, обозначим . Для каждого опорного -сторонника находим группу автоморфизмов, которая необходима для перехода от -сторонников к ( + 1)-сторонникам.
Каждый опорный ( + 1)-сторонник получается из некоторого опорного -сторонника добавлением одной допустимой прямой.
Определение 2.2. Допустимой для данного -сторонника назовем прямую, не проходящую через точки пересечения прямых данного -сторонника.
При переходе от -сторонников к ( +1)-сторонникам сначала необходимо для каждого опорного -сторонника найти множество допустимых прямых. Далее каждое множество относительно группы автоморфизмов (соответствующего -сторонника ) разбиваем на классы эквивалентности , ( — номер класса), в каждом классе выбираем представитель ,, а также указываем число , прямых в каждом классе.
Добавляя к каждому опорному -стороннику по одному представителю , из кажого класса , , получим множество ( + 1)-сторонников, содержащее все опорные ( + 1)-сторонники. В этом множестве имеются, вообще говоря, изоморфные ( + 1)-сторонники. Поэтому необходимо из всех таких ( + 1)-сторонников выбрать один опорный и исключить все остальные, вспомогательные ( +1)-сторонники, изоморфные опорному. Вспомогательный ( + 1)-сторонник исключается из рассмотрения, если найдена коллинеация, посредством которой он получается из опорного.
Метод поэтапных отождествлений для исследования сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка
Так как Q,2 : Sf — S f U {я л} , то, согласно определению 2.1, вспомогательный четырехсторонник 5 1 U {ж і} изоморфен опорному четырехстороннику 5 1, а значит Sf U {ж і} и класс Xf і исключаются из рассмотрения.
Поскольку в процессе отождествления четырехсторонников, изоморфных опорному четырехстороннику 5 1 не было найдено новых автоморфизмов Sf, то группа автоморфизмов G\ совпадает с группой G\2 = (5з; 54 1,0 2,2). Значит \G\\ = G32 = 12. Найдем число Nf четырехсторонников, изоморфных Sf, по формуле 2.3: Nf = \G\ : \G\\ = 311040 : 12 = 25920. 5. В качестве пятого опорного четырехсторонника берем пару: Si = SlUxl 3 = 0,1,00 U 13= 0,1,00,11. Порядок группы Gf 3 автоморфизмов пары Sf U х\ з находим по формуле \G\z\ = \Gl\ : Х333 =96:48 = 2. Исследование показало, что G33 = (55 1,0 2,2) . Относительно группы G33 трехсторонник Sf разбивается на два класса эквивалентности: Q33 і = { 0, 1 } и Поменяв местами присоединяемую прямую { зз} = { 13 } и прямую { 1 } из класса 5ззь получим новую «пару» { 0,00,13 } U { 1 } . Посредством колли-неации h% t вспомогательный трехсторонник { 0,00,13 } преобразуется в Sf, а прямая 1 — в прямую 03 Є Х533, поэтому полагаем, что х353 = 03 — представитель класса Х533. Итак, имеем: 4 = { 0,1,00 } U { 13 } = { 0,00,13 } U { 1 } { 00,0,21 } U { 03 } = S3 U {а3 3 } . 3 Так как Ji63t : S54 — 553 U 53, то, согласно определению 2.1, вспомогательный четырехсторонник S53 U {ж53 } изоморфен опорному четырехсторонни { {5, U ж ку 5 5, а значит S53 U 53 и класс Х533 исключаются из рассмотрения. Далее меняем местами присоединяемую прямую {ж333 } = { 13 } и прямую { 00 } из класса 53332. Получаем новую «пару» { 0,1,13 } U { 00 } , которая посредством коллинеация 0,6 преобразутся в пару S43u { 06, где прямая 06 Є Х432, поэтому полагаем, что ж342 = 06 — представитель класса Х432. Итак, имеем: 4 = { 0,1,00 } U { 13 } = { 0,1,13 } U { 00 } { 0,1,10 } U { 06 } = S4 U {х42 } , то есть найдена коллинеация 0,2, преобразующая пятый опорный четырехсторонник 5 54 во вспомогательный четырехсторонник S43 U {ж3 2 } . Согласно определению 2.1, это означает, что вспомогательный четырехсторонник S43 U {ж3 2 } изоморфен опорному четырехстороннику 5 5, поэтому S43 U {ж342 } и класс Х432 исключаются из рассмотрения.
Поскольку в процессе отождествления четырехсторонников, изоморфных пятому опорному четырехстороннику 5 5 не было найдено новых автоморфизмов 5 5, то группа автоморфизмов G45 совпадает с группой G333 = (55 1,0 2,2) . Значит G45 = G333 = 2. Число N54 четырехсторонников, изоморфных 5 54, найдем по формуле 2.3: 7V54 = \G\ : G45 = 311040 : 2 = 155520. 6. Так как классы Х431 и Х432 с представителями х34 1 = 02 и х342 = 06 соответственно уже исключены из рассмотрения, то в качестве шестого опорного четырехсторонника берем пару: 56 = 54иж43 = { 0,1,10 } и11= { 0,1,10,11 } . Согласно формуле 2.1 группа G\ 3 коллинеаций, сохраняющих пару S\\Jx\ 3 имеет порядок: \G\ \ = \СЦ : Х433 = 12 : 2 = 6. Оказывается, G3 = ( з; 4). Относительно группы G3 трехсторонник 5 разбивается на три класса эквивалентности: Q\ 3 і = { 0 } , Ql32 = і1 } и Q)3)3= { 10 } . Сначала меняем местами присоединяемую прямую {ж)3} = { 11 } и прямую { 0 } из класса 5зі. Получим новую «пару» { 1,10,11} U { 1 } , которая посредством коллинеации о,і 2,і преобразуется в четырехсторонник Sg. Итак, имеем: S l = 0,1,10 U 11 = 1,10,11 U 0 ЛЛЛ 10,0,1 U 11 =si то есть 0,1 2,1 — новый автоморфизм четырехсторонника 5g. Затем меняем местами присоединяемую прямую {жз} = { 11 } и прямую { 1 } из класса Q432 и получаем новую «пару» { 0,10,11 } U { 1 } . Коллинеация t\,\h\,2V переводит пару { 0,10,11 } U { 1 } в четырехсторонник SQ. Итак, имеем: sj = { 0,1,10 } и { 11 } = { 0,10,11 } и { 1 }І1Л { 10,1,0 } U { 11 } = si, то есть ti hi v — новый автоморфизм четырехсторонника SQ. Наконец, меняем местами присоединяемую прямую {ж3 } = { 11 } и прямую { 10 } из класса Q iss. Получим новую «пару» { 0,1,11 } U { 10 } , которая посредством коллинеации t\ i;i преобразуется в четырехсторонник SQ. Итак, имеем: Si = { 0,1,10 } и { 11 } = { 0,1,11 } и { 10 } г Ц 2 { 1,0,10 } и { 11 } = si, то есть із2 2,2 — новый автоморфизм четырехсторонника SQ. Таким образом, группа G\ автоморфизмов четырехсторонника S\ имеет вид: G\ = {s3;S4;totlh2,iv;tltlhlt2v;tlt2h2,2) . Так как относительно группы G\ автоморфизмов прямые четырехсторонника S\ объединяются в один класс эквивалентности { 0,1,10,11 } , то, согласно формуле 2.2, \G\\ = G43 4 = 6 4 = 24. Число NQ четырехсторонников, изоморфных 64, находим по формуле 2.3: Щ = \G\ : \Gl\ = 311040 : 24 = 12960. 7. В качестве седьмого опорного четырехсторонника берем пару: s = sluxlA = { 0,1, 10 } U 13 = { 0,1,10,13 } . Порядок группы G44 автоморфизмов пары S\\Jx\ согласно формуле 2.1, равен: \GlA\ = \Gl\ : Х434І = 12 : 6 = 2. І = І 1 1 І = І
Оказывается, G\ = (53 1,1/ 2,2)- Относительно группы G\± трехсторонник S\ разбивается на два класса эквивалентности: Q441 = { 0, 1} и Q\A2 = { 10} Меняем местами присоединяемую прямую {ж4 } = {13} и прямую { 1} из класса 5І4 і- Получим новую «пару» { 0,10,13 } и{ 1 } , которая посредством коллинеации h?h%v преобразуется в четырехсторонник Sj. Итак, имеем: S% = { 0,1,10 } U { 13 } = { 0,10,13 } U { 1 } Ц- { 10,0,1 } U { 13 } = s%, то есть /ІЗ,6"У новый автоморфизм четырехсторонника 5 . Далее меняем местами присоединяемую прямую {ж4 } = { 13 } и прямую { 10 } из класса Q 4 2, получаем новую «пару» { 0,1,13 } U { 10 } . Коллинеация 5з о,б переводит пару { 0,1,13 } U { 10 } в четырехсторонник Sj. Итак, имеем: S$ = { 0,1,10 } U { 13 } = { 0,1,13 } U { 10 } S3A 6 { 0,1,10 } U { 13 } = S%, то есть йз о,б новый автоморфизм четырехсторонника Sj.
Таким образом, группа Gj автоморфизмов четырехсторонника Sj имеет вид: Gj = (53 1,1/12,2; hzfiV; s to ). Относительно группы Gj прямые четырехсторонника Sj объединяются в один класс эквивалентности {0,1,10,13 } , поэтому, согласно формуле 2.2, \G47\ = iG344 -4 = 2-4 = 8. Число N74 четырехсторонников, изоморфных S74, находим по формуле 2.3: Щ = \G\ : \G47\ = 311040 : 8 = 38880. 8. В качестве восьмого опорного четырехсторонника берем пару: S8 = s4ux4}5 = { 0,1,10 } U 21 = { 0, 1, 10, 21 } . Порядок группы G34 5 коллинеаций, сохраняющих пару S43 U х345, находим по формуле 2.1: G345 = \G34\ : Х435 = 12 : 1 = 12.
Это означает, G345 трехсторонник 5 43 разбивается на два класса эквивалентности: Q451 = { 0,1 } и Q3452 = { 10 } . Поменяв местами присоединяемую прямую { 45} = { 21 } и прямую { 1 } из класса Q34 5 1 получим новую «пару» { 0,10, 21 } U { 1}. Посредством коллинеаций /12,2 0,2 вспомогательный трехсторонник 0,10,21} преобразуется в опорный трехсторонник S53, при этом прямая 1 преобразуется в прямую 22 = х35 5 — представитель класса Х535. Итак, имеем: S8 = { 0,1,10 }и{ 21 } = { 0,10,21 }и{ 1 } h2 2V { 21, 0,00 } U { 22 } = 3и{ж3 5 } . Поскольку коллинеация /12,2 0,2 переводит восьмой опорной четырехсторонник S84 во вспомогательный четырехсторонник 553 U { 355 } , то согласно определению 2.1, четырехсторонник S53 U { 55 } изоморфен четырехстороннику 584, поэтому 553 U { 55 } и - 5 5 класс исключаются из рассмотрения.= G34 = ( 3; #4; 1,1 2,2)- Относительно группы G345 опорный
Исследование четырехсторонников
Это означает, G36 14 = G36 = (0,1/2-1,2 4; /2-6,2 /2-1,6) . Относительно группы G36 14 прямые трехсторонника S63 объединяются в один класс эквивалентности: Q36141 = { 0,30,51 } .
Меняем местами присоединяемую прямую { 3614 } = { 47 } и прямую { 51 } из класса Q36 14 1. Получим новую «пару» { 0, 30,47 }и{ 51 } , которая посредством коллинеации /18,8 3 преобразуется в пару S63 U { 88 } , где 88 Є X6316 , поэтому полагаем, что х36 16 = 88 — представитель класса X6316. Итак, имеем: S19 = { 0,30,51 }U{ 47 } = { 0,30,47 }U{ 51 } Н 3 { 0,30, 51 }и{ 88 } = 56и{ж616 } . Так как /І8,8#3 : S14 9 — S63 U 36,16, то, согласно определению 2.1, вспомогательный четырехсторонник S63 U {я3616 } изоморфен опорному четырехстороннику S14 9, а значит S63 U {X36 16 и класс X6316 исключаются из рассмотрения.
Так как в процессе отождествления четырехсторонников, изоморфных четырехстороннику S14 9 не было найдено новых автоморфизмов S14 9, то группа автоморфизмов G41 9 = G36 14 = (0,1 1,2#4; 6,2 1,6). Значит G419 = \G36 14 = 6. Число N14 9 четырехсторонников, изоморфных S14 9, найдем по формуле 2.3: 88 соответственно) уже исключены из рассмотрения, то процесс отыскания опорных четырехсторонников завершен. Результаты исследования четырехсторонников отражены в следующей теореме. Теорема 3.1. В плоскости трансляций порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 19 типов опорных четырехсторонников. Процесс отождествления опорных четырехсторонников приведен в таблице Б.2 приложения. Результаты исследования опорных четырехсторонников при- ведены в таблице 3.3, где 4 — опорный четырехсторонник с номером , 4 — порядок группы автоморфизмов четырехсторонника 4, 4 — общее число четырехсторонников, изоморфных опорному 4. Также в таблице 3.3 указаны образующие группы 4 .
Метод поэтапных отождествлений, описанный в параграфе 2.2, и примененный для исследования, с точностью до изоморфизма, четырехсторонников (см. параграф 3.2 ), работает и при исследовании опорных / -сторонников для А; = 5,6,..., 10. Множества Mf допустимых прямых для каждого опорного / -сторонника (к = 4,..., 9) находим, используя алгоритм, описанный в параграфе 3.2.1. Каждое множество Mf разбиваем на классы эквивалентности относительно группы автоморфизмов соответсвующего / -сторонника и выбираем в каждом классе представитель. Указанные сведения приведены в таблицах В.1., Г.1., Д.1., Е.1., Ж.1., З.1. приложений.
Процедура отождествления / -сторонников (к = 5,..., 10), аналогичная процедуре отождествления четырехсторонников (см. параграф 3.2.2), описана в таблицах В.2., Г.2., Д.2., Е.2., Ж.2., З.2. приложений.
Исследование / -сторонников для к = 5,6,..., 10 привело к результатам, описанным в следующих теоремах. Теорема 3.2. В плоскости трансляций порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 75 типов опорных пятисторонников. Теорема 3.3. В плоскости трансляций порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 220 типов опорных шестисторонников; из них 1 тип полных шестисторонников. Теорема 3.4. В плоскости трансляций порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 193 типа опорных семисторонников; из них 21 тип полных семисторонников. Теорема 3.5. В плоскости трансляций порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 53 типа опорных восьмисторонников; из них 45 типов полных восьмисторонников. Теорема 3.6. В плоскости трансляций порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 3 типа опорных девятисторонников; из них 1 тип полных. Теорема 3.7. В плоскости трансляций порядка 9 имеется, с точностью до изоморфизма, 1 тип полных опорных десятисторонников. Результаты исследования / -сторонников для к = 5,6,... , 10 приведены в таблицах В.3., Г.3., Д.3., Е.3., Ж.3., З.3. (см. приложения В - З), аналогичных таблице 3.3. Исследование показало, что, начиная с к = б, среди опорных / -сторонников имеются полные. Согласно определению 1.6 /с-сторонник является полным, если множество допустимых прямых данного /с-сторонника пусто. Это означает, что через точки попарного пересечения прямых полного /с-сторонника проходят все прямые плоскости трансляций. Это свойство обеспечивает тесную связь полных / -сторонников и блокирующих множеств. В литературе (см., например, [21-23]) принято следующее определение блокирующего множества.
Определение 3.1. Блокирующим множеством в КПП называется множество точек данной КПП, через которые проходят все прямые данной КПП.
Следовательно, согласно определению 3.1, множество точек попарного пересечения прямых полного /с-сторонника является блокирующим множеством плоскости трансляций. Таким образом, каждый полный /с-сторонник порождает блокирующее множество плоскости трансляций. Сведения о полных /с-сторон-никах плоскости трасляций приведены в таблице 3.4, аналогичной таблицам 3.3, В.3., Г.3., Д.3., Е.3., Ж.3., З.3. В таблицах Г.3., Д.3., Е.3., Ж.3., З.3. номера полных / -сторонников отмечены знаком « ».
Результаты исследования дуг для = 5,6,... , 10
Плоскости трансляций и сдвигов порядка 9 двойственны друг другу. Это означает, что мы можем использовать результаты изучения / -сторонников в плоскости трансляций, приведенные в главе 3, для исследования /с-дуг в плоскости сдвигов.
Правила перехода (ПП) от плоскости трансляций порядка 9 к плоскости сдвигов порядка 9, приведенные в параграфе 1.4, таковы: где c,k,m,x,y,w Є D. Используя эти правила перехода (ПП), отобразим каждый опорный четырехсторонник плоскости трансляций (см. Таблицу 3.3) в 4-дугу плоскости сдвигов. При этом опорный четырехсторонник Sf с номером г преобразуется в соответствующую 4-дугу Sf с тем же номером г. Точки опорной /с-дуги (для к = 4, 5,... , 10) здесь и в дальнейшем будем обозначать жирным шрифтом.
Поскольку каждый опорный четырехсторонник плоскости трансляций отображается в 4-дугу плоскости сдвигов, то число опорных 4-дуг в плоскости сдвигов совпадает с числом опорных четырехсторонников в плоскости трансляций (см. Теорему 3.1). Таким образом, справедлива следующая теорема.
Сведения об опорных к-дугах (к = 5,6,..., 10) плоскости сдвигов порядка 9 получим, применив ранее описанные правила перехода (ПП) от плоскости трансляций порядка 9 к плоскости сдвигов порядка 9 (см. разделы 1.7, 4.1). В силу двойственности рассматриваемых плоскостей, каждый опорный / -сторонник плоскости трансляций преобразуется в соответствующую /с-дугу плоскости сдвигов. Это условие обеспечивает совпадение числа опорных /с-дуг плоскости сдвигов с соответствующим числом / -сторонников плоскости трансляций для каждого к (к = 5, 6,..., 10). Кроме того справедливо следующее утверждение.
Каждый полный опорный к-сторонник плоскости трансляций преобразуется в полную опорную k-дугу плоскости сдвигов. Доказательство. Действительно, так как через точки попарного пересечения прямых полного / -сторонника проходят все прямые плоскости трансляций, то, по принципу двойственности получаем, что на прямых, соединяющих попарно точки соответствующей /с-дуги, лежат все точки плоскости сдвигов. Последнее обеспечивает, согласно определению 1.9 полноту полученной к-дуги. Лемма 4.1 доказана.
Введем определение блокирующего множества, двойственное определению 3.1, принятому в литературе.
Определение 4.1. Блокирующим множеством в КПП называется множество прямых конечной проективной плоскости, содержащих все точки данной плоскости.
В ходе доказательства леммы 4.1 было установлено, что на секущих полной /с-дуги лежат все точки плоскости сдвигов. Поэтому, согласно введенному нами определению 4.1, множество секущих полной к-дуги плоскости сдвигов являет 71 ся блокирующим множеством этой плоскости. Таким образом, каждая полная к-дуга плоскости сдвигов порождает блокирующее множество этой плоскости. Результаты исследования к-дуг для к = 5, б,... , 10 отражены в следующих теоремах. Теорема 4.2. В плоскости сдвигов порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 75 типов опорных Ъ-дуг. Теорема 4.3. В плоскости сдвигов порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 220 типов опорных 6-дуг; из них 1 тип полных 6-дуг. Теорема 4.4. В плоскости сдвигов порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 193 типа опорных 7-дуг; из них 21 тип полных 7-дуг. Теорема 4.5. В плоскости сдвигов порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 53 типа опорных Ъ-дуг; из них 45 типов полных Ъ-дуг. Теорема 4.6. В плоскости сдвигов порядка 9 имеются, с точностью до изоморфизма, 3 типа опорных 9-дуг; из них 1 тип полных 9-дуг. Теорема 4.7. В плоскости сдвигов порядка 9 имеется, с точностью до изоморфизма, 1 тип полных опорных 10-дуг. Результаты исследования к-дуг для к = 5, б,..., 10 приведены в таблице И.1 (см. приложение И), аналогичной таблице 4.1. При этом номера полных /с-дуг в таблице И.1 отмечены знаком « ».
Благодаря результатам, полученным в рамках диссертационного исследования, удалось полностью решить одну из открытых проблем в теории конечных проективных плоскостей.
До настоящего времени плоскость сдвигов порядка 9 оставалась одной из четырех конечных проективных плоскостей указанного порядка, -дуги которой не были исследованы. В первую очередь, этот факт объясняется отсутствием необходимых сведений о группе коллинеаций плоскости сдвигов порядка 9. Полное исследование -дуг в трех остальных КПП порядка 9 (плоскости трансляций, дезарговой плоскости, плоскости Хьюза) проводилось [4] методом поэтапных отождествлений, согласно которму на каждом этапе исследования необходимо проводить полное отождествление найденных -дуг, обращаясь при этом к группе коллинеаций исследуемой КПП. Поэтому непосредственное применение МПО для исследования дуг плоскости сдвигов невозможно, в силу того, что группа коллинеаций указанной плоскости остается неизученной до настоящего времени.
Таким образом, возникла необходимость разработки нового метода, не использующего группу коллинеаций плоскости сдвигов. Именно такой метод описывается и реализуется в данной работе. Основная идея указанного метода состоит в том, что исследование -дуг в плоскости сдвигов порядка 9 сводится к исследованию -сторонников в двойственной плоскости трансляций порядка 9. При этом исследование проводилось в два этапа.
Сначала были изучены, с точностью до изоморфизма, -сторонники плоскости трансляций. На этом этапе исследование проводилось методом поэтапных отождествлений применительно к наборам прямых. Процесс исследования и результаты подробно изложены в главе 3 диссертации. 2. Затем, используя правила перехода (приведены в параграфе 1.4) от плоскости трансляций к двойственной плоскости сдвигов, были получены необходимые результаты о дугах плоскости сдвигов. Результаты исследования приведены в главе 4 диссертации. Таким образом, проблема исследования -дуг в известных плоскостях порядка 9 полностью решена.