Исключительные и жесткие расслоения на поверхностяхс антиканоническим классом без базисных компонент Кулешов, Сергей Алексеевич

Введение к работе

Актуальность темы.

D последнее время появилось много публикаций о многообразиях модулей стабильных пучков на поверхностях, что свидетельствует о большом интересе, который эта тема вызывает у математиков. D статьях "Стабильные векторные расслоения на алгебраических поверхностях" (1975) и "Модули стабильных пучков" (1978) М. Маруяма исследует существование и гладкость многообразия модулей стабильных пучков на поверхностях. В 1977 году в статье "О многообразии модулей векторных расслоений на алгебраических поверхностях" Д. Гизекер вводит более тонкое понятие стабильности, что позволяет полнее изучить вопросы, связанные с гладкостью многообразия модулей. Начиная с семидесятых годов, активно исследуются вопросы, связанные с многообразиями модулей стабильных расслоений на кривых и инстантониых расслоений, имеющих связь с физикой.

С другой стороны, расслоения, не имеющие инфинитолимальных деформаций, то есть жесткие, незаслуженно оставались в тени до второй половины восьмидесятых годов. D 1984 году С. Мукаи использует жесткие расслоения (одновременно являющиеся и простыми) для описания дискретных инвариантов (ранг и первые классы Черна) полустабильных раасслоений на поверхностях КЗ с двумерным многообразием модулей ([1С]). На год позже (1985) выходит работа Дрозе и Ле Потье ([3]) об описании дискретных инвариантов, реализуемых полустабильными пучками на проективной плоскости. В этой статье для простых и жестких расслоений они вводят термин "исключительные расслоения". Оказалось, что исключительные расслоения являются "границей" пучков с деформациями не только в смысле размерности многообразия модулей. Но именно в терминах образов исключительных расслоений в Яо(Р²) описываются дискретные инварианты, допускающие ре-ализацию полустабилышми пучками.

Поело этих двух работ исключительные расслоения стали активно изучаться на семинаре Л. Н. Рудакова в Могкпе. Было замечено, что перестройки пучков, описанные в работе С. Мукам [10], удачно переносятся на случай исключительных пар расслоений на Р².

Более того, исключительные расслоения на проективной плоскости естественным образом организуются в исключительные тройки, порождающие производную категорию когерентных пучков на Р² (такие наборы исключительных расслоений принято называть полными). Причем эти тройки можно перестраивать, получая новые исключительные наборы. Ранги же расслоений, входящие в исключительные тройки, удовлетворяют уравнению А. А. Маркова

х² + у² + z² = Зхі/z, (1)

которое было им выписано при изучении квадратичных иррациональностей ([9]). (Сейчас решения этого уравнения называют числами Маркова.) Легко видеть, что при фиксированной парс переменных из (1) получается квадратное уравнение на третью. Так как квадратное уравнение в общем случае имеет два корня, то мы можем перестраивать тройки Маркова, заменяя одну из координат решения на сопряженный корень соответствующего квадратного уравнения. Ьыло доказано, что перестройки исключительных троек расслоений на проективной плоскости однозначно соответствуют перестройкам решений уравнения Маркова.

Кроме того, известная гипотеза А. А. Маркова о том, что тройка натуральных решений уравнения (1) однозначно определяется своим наибольшим элементом, пе-

{«формулируется в терминах исключительных расслоений следующим образом: Если Е и F — исключительные расслоения на Р^г одинакового ранга, то либо Е — F(n), либо F/ t= F(n) для некоторого натурального п. Переформулировка гипотезы Маркопа п терминах исключительных расслоений принадлежит Л. II. Тюрину.

Известно, что псе решения уравнения (1) получаются описанными перестройками из решения (1,1,1). Как следствие было доказано, что все полные исключительные тройки на Р² можно получить перестройками из набора, состоящего из линейных расслоений. Этот факт называется конструктивностью полных наборов. Несколько позже удалось доказать, что любое исключительное расслоение и любая исключительная пара расслоений на Р^г включается в полный исключительный набор. Такое свойство исключительных расслоений и пар, при условии конструктивности полных исключительных наборов, называется конструктивностью расслоений и пар соответственно. Теория исключительных расслоений на, Р² изложена в статье Л. Н. Гудакова {12] (1988).

Упомянутая робота Л. Н. Рудакова положила начало исследованию исключительных расслоений на различных многообразиях. Круг вопросов, которые при этом ставятся, можно сформулировать следующим образом.

1. Существуют ли полные исключительные наборы на данном многообразии?

2. Можно ли произвольный полный исключительный набор получить перс-
стройками из какого-то одного, фиксированного для данного многообразия, на
бора? (То есть вопрос о конструктивности полных исключительных наборов.)

3. Любое ли исключительное расслоение включается в конструктивный полный
исключительный набор (конструктивность исключительных расслоений)?

.4. Любой ли исключительный набор расслоений включается в конструктивный полный исключительный набор (конструктивность исключительных наборов)?

Несколько позже А. Л. Городенцсву удалось доказать, что с любым исключительным набором расслоений связана спектральная последовательность типа Бей-линсоновской ([2]), что, конечно, повысило интерес к исключительным расслоениям.

Развитие теории исключительных расслоений шло по нескольким направлениям. Было установлено существование полных исключительных наборов на Р", линейчатых поверхностях с рациональной базой (F_n), грассманиане. G(2,4), многообразии флагов, поверхностях Дель Пеццо. ...

При попытках доказательства конструктивности полных исключительных наборов, по аналогии с ситуацией на проективной плоскости, пользовались методом, основанном на выписывании уравнения типа Маркова на ранги и другие целочисленные инварианты полных наборов и изучении множества его решений. Но с. ростом размерности многообразия и ранга Ко от него задача становилась все более сложной. Кроме того, на некоторых многообразиях появились исключительные пучки кручения и перестройки новых типов, которые еще больше запутывали ситуацию. Возникли проблемы с доказательством существования перестроек в исключительных парах, которые были преодолены с выходом в производную категорию когерентных пучков. Но при этом терялся контроль над основной категорией. Исследованием уравнений типа Маркопа в некоторых случаях удавалось доказать конструктивность полных исключительных наборов на арифметическом уровне, с точностью до эквивалентности в Kg. Такого сорта теоремы были получены Д. Ногиным для поверхностей F„ и Р³ [И] (1990). Для доказательства же геометрической конструктивности требовалось описание исключительных объек-

топ производной категории. Такое описание на поверхностях Дель Псццо сделали А. Л. Городснцсв и Д. С). Орлов (1991). Ими было доказано, что любой исключительный объект производной категории когерентных пучков на иоворхносях Дсль Пеццо квазиияоморфен пучку.

Ближе всех из изучавшихся многообразий к проективной плоскости оказалась двумерная гладкая квядрикл. IP¹ х Р¹. Хотя тям и появились перестройки нового типа и ранг Ло(Р' * Р') ранги четырем, проблем с существованием перестроек исключительных пар не возникло. А. II. Рудакову удалось доказать конструктивность полных исключительных наборов и исключительных расслоений на квадрике (1988). Но оставалась проблема с конструктивностью исключительных пар, которая была решена С. Зюлиной только в 1993 году ([б]).

Несмотря на то, что исключительные расслоения изучались достаточно активно, общим жестким расслоениям уделялось мало внимания. Хотя в работе [4] (1986) Дрезс доказал, что любое жесткое расслоение на проективной плоскости — прямая сумма исключительных, этому важному факту не было придано должного значения.

Примерно в 1991 году, при изучении подходов к решению проблемы Маркова, мною было замечено, что если попытаться перестроить неисключительную пару исключительных расслоений на Р², то в результате получится сверхжесткое расслоение, прямые слагаемые которого дополняют одно из перестраиваемых расслоений до исключительного набора. Постепенно созревала идея распространения этой конструкции на все поверхности Дель Псццо. Наконец удалось получить классификационную теорему в духе Дрсзс для жестких расслоений на поверхностях Дель Пеццо. D [7] автор доказал, что любой жесткий пучок без кручения на поверхности Дсль Пеццо разлогаегся в прямую сумму исключительных расслоений. Эта информация стала основой для метода перестроек в неисключительных парах, которым удалось доказать, что любое исключительное расслоение на поверхности Дсль Псццо включается в исключительную пару.

После моего доклада на семинаре А. Н. Рудакова, Д. О. Орлов заметил, что нужно заменить одно из перестраиваемых расслоений на исключительный пучок кручения. И этим, поистине замечательным приемом, с использованием теоремы о жестких расслоениях, ему удалось включить произвольное исключительное расслоение на поверхности Дель Пеццо в полный исключительный набор. Результат Орлова, важный сам по себе, показал, что можно решать проблемы конструктивности, не прибегая к уравнениям типа Маркова.

Развивая далее этот метод, буквально через две. недели, я обосновал перс-стройку исключительного пучка кручения и сверхжееткого расслоения. В результате получилась теорема о том, что любой исключительный набор на поверхности Дсль Пеццо включается в полный.

Итогом этих исследований дожна была стать совместная статья. При работе над ней у меня возникла идея перестраивать пары сверхжестких расслоений, ассоциированных с иключительньши наборами. Оказалось, что такая перестройка влечет серию перестроек соответствующих исключительных наборов. Это-то и позволило мне доказать теорему о конструктивности исключительных наборов на поверхностях Дель Пеццо.

Все результаты об исключительных пучках на вышеуказанных поверхностях вошли в работу [8]. Этим достижениям в теории исключительных пучков на поверхностях Дель Пеццо была посвящена часть доклада А. II. Рудакова на международном математическом конгрессе в Цюрихе (1991).

Упомянутая работа важна и г. методологической точки арония. Она заставила переосмыслить подход к проблемам конструктивное в теории исключительных расслоений. Стало ясно, что три ладачи: конструктивность расслоений, наборов и полных исключительных наборов - - следует решать одновременно с использо-ва.нием информации о структуре жестких и сперхжестких пучков. Действенность этого подхода проявила, себя также при исследовании исключительных и жестких расслоений на гладких проективных поверхностях с антиканоническим классом бел базисных компонент и положительным квадратом. Этот класс поверхностей содержит поверхности Дсль Пеццо и является их естественным обобщением.

Цель работы.

1. Выяснить структуру жестких и свбрхжс.стких расслоений на поверхностях с антикажшнческим классом бел балиеных компонент и положительным квадратом.

2. Доказать конструктивность исключительных наборов расслоений на поверхностях Дсль Пеццо.

3. Докапать конструктивность исключительных наборов расслоений на поверхностях с антиканоническим классом без базисных компонент и положительным квадратом.

Общая методика исследования.

Исключительные расслоения п диссертации исследуются с помсшп.к> сверхже.ст-кчх, которые тесно связаны с исключительными наборами, и, перестраивая сверхжесткие расслоения, мы перестраиваем соответствующие исключительные наборы.

При изучении исключительных расслоений использовался новый метод перестроек сперхжестких расслоений.

При работе, с. исключительными расслоениями и наборами используется метод ограничения на. подходящие кривые, что позволяет вычислять группы когомоло-гий.

Построение фильтраций с заданными свойствами для свсрхжсстких расслоений позволяет доказать совпадение ортогональных дополнений к свсрхжссткому расслоению и к ассоциированному с ним исключительному набору.

Научная повизна.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в алгебраической геометрии и аналитической теории многообразий В частности, результаты и новые методы диссертации могут быть использованы при изучении свсрхжсстких расслоений на линейчатых поверхностях, многообразиях высших размерностей, при построении и исследовании многообразия модулей полустабильных пучков, при решении проблемы Маркова, в теории деформаций многообразий.

Аппробацня.

Результаты докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. международная конференция по алгебраической геометрии (г. Ярославль 1992 г.);

2. международная конференция по алгебраической геометрии (г. Ярославль

1994);

3) семинар отдела алгебры МИГ АН им. D. Л. Стеклова под руководством
И. Р. Шафарсвича (1994);

4) семинар А. II. Рудакова по векторным расслоениям в НМУ (1992 - 1994).
Основные результаты диссертации, в качестве составной части, вошли в до
клад А. ІЇ. Рудакова иа международном математическом конгрессе. (Цюрих 1994).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах (одна из них в соавторстве), которые приведены в конце автореферата.

Структура н объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 84 страницы текста, написанного в редакторе IAT^jX. Список литературы содержит 25 названий.