Введение к работе
К началу 80-х годов развитие теории многообразий привело к осознанию особой роли различного рода минимальных контрпримеров н многообразий, экстремальных относительно естественных алгебраичс-:ких свойств. Поиск таких экстремальных многообразий и контрпримеров весьма часто приводит к появлению индикаторных характеризаций. Под индикаторной характеризацией многообразий, удовлегворяю-цих некоторому свойству 0, мы, следуя Л. Н. Шеврину (см. 0 обзора 11]), понимаем утверждения типа:
Многообразие обладает свойством 0 тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр1 Лі, Ао,....
Конечно же, нас интересуют только нетривиальные описания подоб-юго сорта. Естественно, например, стремиться к отысканию индикаторных характеризаций, в которых ни одна из "запрещенных'" алгебр 4i,^2,... не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризаций будем называть минимальными.
Плюсы индикаторных описаний ярко проявляются, например, при алгоритмическом подходе, влияние которого на теоретическую алгебру, и в частности, теорию многообразий, заметно возросло в последнее десятилетие ( см., например, [12]). Алгоритмический подтекст засга-іляєт интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, по и юзможностью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству.
Предположим, что для свойства в найдена минимальная индикатор-гая характеризация. Мы хотим построить алгоритм, который по произ-юльному многообразию 2J проверяет, удовлетворяет ли оно свойству 0. Для удобства многообразия, обладающие свойством, будем называть 0-лногообразиями, а не обладающие — не ^-многообразиями.) Конечно, U должно быть задано эффективно. Возможны два основных способа такого эффективного задания:
-
<У порождено конечной алгеброй .4;
-
(Л задается конечным набором тождеств .
Легко видеть, что если V — vat Л (т.е. использован первый способ іадания), достаточно проверить, лежат ли в 2J конечные запрещенные
'Здесь и далее is тексте, чтобы избежать разночтений, слово "алгебра" употребляется і одном смысле -- "ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом единицей", а склю "кольцо" всегда означает "ассоциативное кольцо".
:5
алгебры. При этом, поскольку каждые две различные запрещенные алгебры порождают различные многообразия (характеризация минимальна), а в Ю конечное число подмногообразий (см. [4]), то и проверять нужно лишь конечное число запрещенных алгебр. Какие именно, обычно нетрудно установить, используя характеристики А (порядок, экспоненту и т.д.). Ясно, что проверка, лежит ли в 2J конечное число конечных алгебр, может быть осуществлена эффективно.
Рассмотрим теперь задачу, когда проверяемые многообразия задаются вторым способом. В этом случае доказательство того, что 2J является О -многообразием, превращается в почти рутинное. Достаточно убедиться, что ни одна из алгебр Лі, An,... не удовлетворяет системе тождеств Е. Весьма часто (а точнее, нам не известен пример индикаторной харак-теризации, когда бы это было не так) подобная проверка осуществляется эффективно.
Отметим, что картина несколько меняется, если для в найдена не индикаторная, а скажем, экеациональная характеризация, т.е. описание этого свойства на "языке тождеств". В этом случае получение на основе характеризации требуемого алгоритма — задача, как правило, нетривиальная. Например, если проверяемое многообразие 23 задается конечным набором тождеств Е, то при построении алгоритма мы по сути сталкиваемся с проблемой разрешимости эквациональной теории многообразия 23. В случае ассоциативных колец эта проблема до сих пор открыта, т.е. неизвестно, существует или нет алгоритм, который но заданному многочлену / и конечной системе тождеств Е определяет, является ли тождество / = О следствием тождеств из Е.
Одна из наиболее естественных стратегий, приводящая к появлению индикаторных характеризации, связана с поиском почти-в-многообразий. Многообразие 2J будем называть почти-0-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству в, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразие — в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не-0-многообразий.
Пусть 0 — наследственное свойство, т.е. такое, что все подмногообразия любого ^-многообразия — также ^-многообразия. В этой ситуации почти- в -многообразия играют роль минимальных контрпримеров, и любая информация о них оказывается чрезвычайно полезной. Но наибольшую ценность эта информация приобретает в случае, когда каждое не-0-многообразие содержит почти-0-многообразие. Так проис-
ходит, например, если каждое ^-многообразие лежит в каком-нибудь конечнобазнруемом ^-многообразии. Действительно, из коалгебраично-сти решетки многообразий немедленно вытекает, что полурешетка не-0-многообразий удовлетворяет лемме Цорна "вниз", а значит, каждое не-0-многообразие содержит почти ^-многообразие. В этой ситуации наше свойство обладает индикаторной характеризацией — достаточно в качестве "запрещенных алгебр" взять порождающие алгебры почти в -многообразий. Легко видеть, что такая характеризация будет минимальной.
Подобный подход неоднократно и весьма успешно реализовывался в теории многообразий колец. Были найдены индикаторные характери-зации кроссовых, цепных многообразий, многообразий колец с разрешимой элементарной теорией, дистрибутивных многообразий алгебр над полем характеристики 0, коммутативных, нильпотентных, периодических, (локально) финитно аппроксимируемых многообразий колец и т.п.
Аналогичный подход применяется и в данной диссертационной работе, основная цель которой — нахождение индикаторных характериза-цнй некоторых естественных свойств многообразий колец. Изучаемые свойства разбиваются на три группы. Первая из них связана с хорошо известными обобщениями свойства коммутативности эпгелевостъю и П(рсетановочностъю. Напомним, что кольцо или многообразие называется энгелевым, если оно удовлетворяет некоторому тождеству вида [х, у,..., у] = 0, и перестановочным, если удовлетворяет некоторому тождеству вида
XiX2 Хп = XiaX2tr Хпа,
где п — произвольное натуральное число, & ст — нетривиальная пе
рестановка множества {1,2, п}. Описание почти энгелевых много-
образнй алгебр над полем характеристики 0 получено Ю. Н. Мальцевым в [fij. Почти энгелевы многообразия алгебр над полем положительной характеристики, по-видимому, не исследовались вообще. Случай колец рассматривался в [8]. Там доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец суть в точности ненильпотентные почти коммутативные' многообразия, полный список которых был найден в [7]. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым (см. [2], проблема З.Ь'Л). Список же почти перестановочных многообразий не был найден даже в случае алгебр над полем нулевой характеристики. Восполнению этих пробелов посвящена первая глава диссертации.
Следующая группа изучаемых в работе свойств касается свойства финитной отделимости. Подмножество М алгебры А называется финитно отделимым в /І, если для любого элемента х Є А \ М существует гомоморфизм <р алгебры А в конечную алгебру, при котором <р(х) (f(M). Это естественное понятие впервые возникло в известной работе А. II. Мальцева [5], который указал на его тесную связь с классическими алгоритмическими проблемами. Нас интересуют многообразия колец с финитно отделимыми подмножествами тех или иных типов. Описание многообразий, в которых все (все конечнопорожден-ные) кольца обладают лишь финитно отделимыми двусторонними идеалами несложно извлечь из [13] (соответственно, из [3]). Многообразия, в которых условие финитной отделимости накладывается на подкольца всех или всех конечнопорожденных колец, исследованы М. В. Волковым и М. В. Сапиром в [1].
Неизученными, таким образом, оставались многообразия, в которых аналогичные условия касались бы правых идеалов. Такие многообразия мы исследуем во второй главе данной работы.
Последняя группа свойств касается многообразий с ограничениями на критические кольца. Напомним, что кольцо называется критическим, если оно конечно и не лежит в многообразии, порожденном собственными подкольцами и гомоморфными образами. Информация о строении критических колец чрезвычайна полезна при исследовании многообразий. В этой связи заметный интерес представляют многообразия, в которых критические кольца удовлетворяют важным кольцевым или решеточным свойствам.
Наиболее естественные решеточные ограничения приводят прежде всего к изучению алгебр с цепными и дистрибутивными решетками конгруэнции. Кольцо будем называть цепным (арифметическим), если оно обладает цепной (дистрибутивной) решеткой двусторонних идеалов. В третьей главе диссертации изучаются многообразия, все критические кольца которых являются цепными (арифметическими). Отметим, что в [9] найдено несколько эквивалентных описаний многообразий GF(p)-алгебр, все критические алгебры которых арифметические.
В работе используются методы, конструкции и результаты теории колец и теории многообразий колец.
В диссертационной работе получены следующие теоретические результаты:
описаны почти энгелепы многообразия алгебр над полем и почти энге-іеиьі многообразия колец; ііаіідена индикаторная характернзацпя свой-:тва энгелевости;
исследованы почти перестановочные многообразия алгебр над полем; голучен полный список таких многообразии как в случае бесконечного, 'ак и в случае конечного поля:
найден простой базис псевдотождеств для псевдомногообразия всех юнечных перестанопочных гілгебр;
получены индикаторные и эквациональные характеризации мггого-(бразнй, все (конечнопорожденные) кольца которых обладают лишь фи-інтно отделимыми правыми идеалами;
описаны многообразия колец, все критические кольца которых явля-отся арифметическими;
Доказано, что псе найденные в работе описания эффективны, т.е. сказаны алгоритмы, которые по конечному заданию многообразия (ко-іечной порождающей алгеброй или конечным базисом тождеств) определяют, обладает ли оно одним из указанных выше свойств.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные >езультаты могут быть применены в теории колец и теории многообра-іий колец.
Основные результаты диссертации докладывались на III Междуна-юдной Алгебраической конференции (Красноярск, 1993), Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), Третьей Суслинской конференции (Саратов, 1994), Междуна-юдной конференции по теории колец (Мишкольц, Венгрия, 1996), IV Международной Алебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), іаседаннях семинаров ''Теория колец" СО РАН (1996, 1997), "Алгебра і логика" СО РАН (1997), заседании семинара по теории колец кафе-фы высшей алгебры МГУ (1997), заседаниях семинара "Многообразия солец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского госуииверситета 1995, 1996, 1997), заседаниях семинара "Алгебраические системы" (Ур-
;У).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14]—[20].
Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 пара-рафов, и библиографии, включающей 60 наименований. Общий объем щесертации составляет 99 страниц.