Идемпотентные радикалы в категории модулей. CSP- кольца и модули над ними. Тимошенко Егор Александрович

Основные свойства функторов S и Нот

Первая глава носит предварительный характер. 1 представляет собой теоретико-множественное введение и включает, кроме прочего, необходимую информацию о кардинальных характеристиках континуума (которые, в свою очередь, тесно связаны с теорией меры и с теорией категории). В 2 собраны определения и результаты из теории радикалов модулей, а также некоторые факты, касающиеся радикалов абелевых групп; в 3 содержится ряд свойств важнейших модульных функторов S и Нот.

В 4 приводятся основные факты, относящиеся к кольцам обобщённых матриц и модулям над ними, что пригодится в 12 при построении примеров. 5 содержит технические результаты об аддитивных структурах модулей над некоторыми типами колец и об аддитивных структурах колец. В 6 вводятся (8 -радикалы и Hom-радикалы; рассматриваются их основные свойства.

Все встречающиеся в этой работе кольца — ассоциативные с единицей, модули — унитарные и, если не оговорено обратное, правые. Слово «группа» всюду означает абелеву группу. 1. Из теории множеств

Мы принимаем систему аксиом ZFC, т.е. аксиомы Цермело — Френкеля и аксиому выбора. В четвёртой главе часто будет использоваться следующее утверждение, которое, как известно, эквивалентно аксиоме выбора [2].

Лемма Цорна. Если (W, ) есть некоторое частично упорядоченное множество с тем свойством, что всякая цепь в W имеет верхнюю грань, принадлежащую W, то (W, ) содержит максимальный элемент. При любом кардинале Ж Н0 найдётся семейство кардиналов {Ж -е1 со свойством Жг Ж для всех і Є / и Жг = Ж (1.1) (достаточно взять / = Ж и Жі = 1 при любом і Є I). Это позволяет ввести понятие конфинальности бесконечного кардинального числа.

Определение 1.1. Если Ж есть какое-либо бесконечное кардинальное число, то под конфинальностью этого кардинального числа понимают число сі(ШТ), равное наименьшей мощности множества /, для которого существует семейство кардинальных чисел {ЖГІ}іеІ со свойством (1.1).

Очевидно, cf(9JT) Н0; из определения следует, что cf(9JT) Ж. Для изучения базовых полей произвольных csp-колец нам понадобятся свойства кардинальных чисел, известных как кардинальные характеристики континуума. Символами N, Z и R обозначаем множества всех натуральных, целых и вещественных чисел соответственно.

Зададим на множестве N всех функций N — N строгий порядок "- " следующим образом: zf z в том и только в том случае, когда соотношению z (i) z(i) удовлетворяют почти все і Є N. Мы назовём множество Е С N ограниченным, если существует функция z Є N с тем свойством, что z - z для произвольной функции z Є Е] в противном случае мы скажем, что Е

Из теории множеств неограниченное множество. Конфинальным назовём подмножество cN , для которого при любой функции Z EN В Е существует функция z такая, что z - z. Символом Ь (символом д) мы обозначим наименьшую возможную мощность неограниченного множества (конфинального множества) Е С N . Нетрудно проверить, что эти кардиналы связаны соотношениями где с есть мощность континуума [51, 83].

Подмножество вещественной прямой является нигде не плотным, если его замыкание не содержит внутренних точек; множество Н С R называется множеством первой категории, если оно представимо как объединение подходящего счётного семейства нигде не плотных подмножеств (иначе скажем, что Н — множество второй категории).

Все множества первой категории и все множества меры 0 образуют два сг-идеала множества всех подмножеств вещественной прямой. Обозначим эти идеалы через АЛ и АҐ соответственно; через поп(.М) обозначим наименьшую мощность множества вещественных чисел, не принадлежащего сг-идеалу АЛ, через COV(JM) — наименьшую мощность семейства входящих в АЛ множеств, объединение которого есть R. Аналогичным образом вводятся кардинальные числа поп (А[) и cov(jV). Приводимая ниже часть диаграммы Цихоня [47, 51] содержит полную информацию о неравенствах, связывающих перечисленные кардинальные характеристики.

Стрелка, ведущая от кардинала ШТ к кардиналу 9?, отражает тот факт, что справедливо соотношение ШТ 9?. Известно, что если приписать каждой из рассматриваемых шести кардинальных характеристик и кардиналу с одно из значений Н1 и Н2 таким образом, чтобы это не противоречило схеме (1.2), то можно построить модель ZFC, в которой реализуются все семь требуемых равенств [47, 51].

Для натурального числа р введём обозначение Z = Z/pZ. Кроме того, для всякого бесконечного множества LcN положим

Рассматривая KL как тихоновское произведение дискретных топологических пространств Z получим компактное топологическое пространство (см. [41]). Базу топологического пространства KL составляют множества вида где Ар С Zp, причём почти для всех р Є L выполнено Ар = Ър. Известно [32], что на KL можно определить полную меру mes такую, что mes-измеримыми будут, в частности, все борелевские подмножества множества KL и при этом для подмножеств вида (1.3) будет иметь место формула шев(Л) = П peL

Последнее равенство останется справедливым также в случае, когда А ф Z для бесконечного множества значений р Є L. Ясно, что mes — вероятностная мера, т.е. mes(KL) = 1.

Точно так же определяются и топология, и полная вероятностная мера на множестве 2 = {0,1} . Как и на вещественной прямой, в пространствах KL и 2 можно рассматривать сг-идеалы Л4 и ЛГ. Известно (см. [47, 51]), что кардинальные характеристики поп и cov идеалов АЛ и N не зависят от того, в каком из трёх пространств R, KL и 2 они рассматриваются.

Важное место в теории множеств занимает аксиома Мартина (см. [51]). Она следует из континуум-гипотезы Н1 = с, но совместима и с соотношением Н1 с. Известен такой факт: из справедливости аксиомы Мартина вытекает, что все шесть кардинальных характеристик, входящих в схему (1.2), равны с (это справедливо и для всех остальных кардинальных характеристик из диаграммы Цихоня [51]). Прежде чем привести формулировку аксиомы, следует напомнить некоторые понятия.

Свойства замкнутости радикальных классов ( -радикалов

Следующий результат устанавливает связь между классами -модулей и идемпотентными радикалами категории mod-S.

Предложение 2.6 [12]. (а) Класс 1Z С mod-S радикален в точности тогда, когда справедливо равенство 1Z = 71(р), где р есть подходящий идемпотентный радикал категории mod-S. Сопоставления р » Т1{р) и 7Z - рп задают биективное соответствие между идемпотентными радикалами и радикальными классами категории mod-S. (б) Класс V С mod-S полупрост в точности тогда, когда справедливо равенство V = V(p)} где р есть подходящий идемпотентный радикал категории mod-S . Сопоставления р » V{p) и V » pv задают биективное соответствие между идемпотентными радикалами и полупростыми классами категории mod-S. Радикальным и полупростым классами идемпотентного радикала р мы называем классы lZ{p) и V(p) соответственно. Предрадикалы можно частично упорядочить: будем считать, что р а в точности в том случае, когда включение р(А) С о (А) имеет место при всех А є тосі-б1.

Мы зафиксируем некоторый предрадикал р и для каждого ординала [5 сопоставим произвольному модулю А его подмодуль рР(А). Сделаем это так: обозначим р(А) = А; если для некоторого ординала а выполнено /3 = а + 1, то рР(А) = р{р{А)); если же /3 является ненулевым предельным ординалом, полагаем р (А) = ( ра(А). Получаем убывающую цепь подмодулей Она, очевидно, стабилизируется, и существует наименьший ординал 7 такой, что справедливо равенство р {А) = р1+ (А). Обозначим р(А) = р7(А).

Двойственным образом задаются подмодули рЛА) модуля А: полагаем Ро(А) = 0; если [5 = а + 1 для некоторого ординала а, то выберем рЛА) так, чтобы выполнялось р(А/ра(А)) = рЛА)/ ра(А); наконец, если [5 — ненулевой предельный ординал, то рЛА) = М ра(А). Получаем цепь подмодулей

Пусть 7 есть наименьшее ординальное число, для которого рЛА) = р +1(А). Введём обозначение р(А) = р7(А). Нетрудно убедиться, что р и р — предрадикалы. Предлохсение 2.7 [82]. (а) р — идемпотентный предрадикал. Кроме того, р — наибольший из всех идемпотентных предрадикалов а таких, что выполнено а р. (б) Предрадикал р является радикалом. Кроме того, р — наименьший из всех радикалов а таких, что выполнено а р. Предложение 2.8 [12]. При любом предрадикале р категории mod-S классы 1Z = TZ(p) и V = V(p) обладают следующими свойствами: 2. Из теории радикалов модулей (а) р = р , причём lZ(p) = 1Z] (б) р = pv, причём V(p) = V. Как отмечено в [12], для всякого идемпотентного радикала р и всякого модуля А справедливы равенства p(A) = J2{BcA\p(B) = B}} p(A) = ft{BcA\p(A/B) = 0}. Отсюда получаем полезный критерий: Предложение 2.9. Пусть р есть какой-то идемпотентный радикал категории mod-S и В есть какой-то подмодуль модуля As. Тогда р(А) = В в том и только в том случае, когда р(В) = В и р(А/ В) = 0.

Предложение 2.10 [12]. Для любых идемпотентных радикалов р} а эквивалентны следующие условия: 1) р а; 2) Щр) С Ща); 3) V(p) Э V(a). При помощи этого предложения нетрудно убедиться, что совокупность идемпотентных радикалов категории тосі-б будет полной большой решёткой с нулём и единицей (большая решётка отличается от обычной тем, что наша совокупность может оказаться собственным классом). Операции пересечения и объединения задаются в этой большой решётке соотношениями

Вторая глава диссертации будет посвящена идемпотентным радикалам категории mod-Z, объектами которой служат абелевы группы. Мы приведём ряд фактов о таких радикалах [19, 22, 54, 60]. Все встречающиеся в диссертации группы считаем абелевыми. Через Р обозначаем множество всех простых чисел, через t (А) и t(A) — примарную р-компоненту (р Є Р) и периодическую часть группы А соответственно. Теорема 2.12 [22, 54]. Предрадикал р} заданный в категории mod-Z, будет кручением в точности тогда, когда выполнено одно из условий: (а) р(А) = А для всякой группы А; (б) существует подмножество X (возможно, пустое) множества Р такое, что для всякой группы А выполнено p(A) = tp(A). (2.4) В частности, предрадикалы t и t , где р Є Р, будут кручениями. Теорема 2.13 [54]. Для любого идемпотентного радикала р Є ITZ(Z) и любой группы А эквивалентны следующие условия: 1) Л Є Щр); 2) і(А) Є Щр) и А/і(А) Є Щр). 2. Из теории радикалов модулей В частности, из Л є 7Z(p) следует, что t (А) Є 71(р) для всех реР.

Подгруппу В группы А называют сервантной, если для всякого п Є N выполнено В П пА = пВ, т. е. для каждого Ъ Є В и для каждого п уравнение пх = b разрешимо в А тогда и только тогда, когда оно разрешимо в В. Предложение 2.14 [60]. Для всякого радикала р Є X1Z(Z) подгруппа р(А) С А является сервантной при всех А Є mod-Z. Следуя [30, 31], мы назовём рациональной всякую группу, изоморфную некоторой ненулевой подгруппе группы всех рациональных чисел Q. Следствие 2.15 [60]. Если р Є X1Z(Z), то для каждой рациональной группы А выполнено р(А) = 0 или р(А) = А. Следствие 2.16 [60]. Предрадикал d, который ставит произвольной группе в соответствие наибольшую из её делимых подгрупп, представляет собой наименьший среди идемпотентных радикалов р Є X1Z{Z) таких, что класс TZ(p) содержит непериодические группы.

Идемпотентные радикалы, порождаемые бимодулями

Сравнивая определения модулей Ну(А) и Н(Л) и учитывая включение С {V} , получаем, что Ну (Л) С Н(Л). Ниже будет показано, что на самом деле имеет место равенство. Для этого докажем, что У-след try (Л) является не только -подмодулем, но и Л-подмодулем в AR.

Положим U = V S S R- Как мы знаем из теоремы 3.5, группу U можно естественным образом превратить в правый Л-модуль; этот Л-модуль задаёт в mod-Л идемпотентный предрадикал tr и идемпотентный радикал Н .

Доказательство, (а) Для элементов модуля V = R/e{S) Є mod-zS мы будем использовать обозначения г, fl и т.д. Пусть р Є Homs(V,A). Возьмём произвольные элементы (р(хі) Є Im ср и г2 Є R. Полагая гр(г) = p(f) для всех г Є Л, мы получаем гомоморфизм ф Є Нот5,(Л, А). Определим отображение Х- R — А равенством %(г) = VKri)r — (т г), где г Є R. Аддитивность этого отображения очевидна. Далее, для произвольного элемента s Є S выполнены соотношения x(rs) = ip{r\)rs — ip{r\rs) = (ip r — ( i ))s = x{r)s i 10. Т(е)-модули, Е(е)-модули и связанные с ними радикалы следовательно, х Hom it , А). Кроме того, для произвольного s Є S имеем x(e(s)) = (гі)5 lKr\s) = 0, а значит, e(S) С Ker%. Поэтому можно задать гомоморфизм -модулей х: V А, полагая %(г) = х(г) Для каждого г Є R. Из х(г2) = (гі)г2 гКг\г2) получаем (гі)г2 = х{г2) + (гіг2); отсюда ( і)г2 = гКгі)г2 Є Imx + Im = Imx + Im C try(A).

Итак, для всякого б -гомоморфизма ip: V — Л выполнено (Іпк/?)і2 С try (А). Тогда try (A) it" С try (Л), а это и значит, что try (Л) — подмодуль в AR. (б) По теореме 3.6 и предложению 3.7 получаем

Ног%(ї/, А) Нот (У,Нотд(Л, Л)) Нотд( , Л), причём изоморфизм є: Homs(V,A) — Нотд(?7, Л), как несложно убедиться, задаётся посредством равенства [є(р)] (v sr) = (p(v)r, где ip Є Нот5(У, A), v Є У и г Є R. Тогда для каждого ір Є H.oms(V,A) имеем Ітє(р) = (lmp)R, а значит, trc/(A) = try(A)i2. Ввиду пункта (а) мы получаем, что справедливо соотношение try (Л) = tru(A). Ш Теорема 10.10. Для всякого модуля А Є mod-it выполнены равенства Я(А) = Яи(А) = Яу(А). В частности, Н є 1U(R). Доказательство. По трансфинитной индукции легко установить, что модули try (Л) и tYjj{A) совпадают; иначе говоря, выполнено Ну (Л) = Яи(А) (ср. с доказательством теоремы 10.7). Отсюда имеем Ну (Л) Є mod-Л; далее, из А/ Ну (А) Є {V} вытекает, что А/ Ну (А) — Е(е)-модуль. Таким образом, Н(Л) С Ну (Л), откуда следует равенство Н(А) = Ну (Л).

Теоремы 10.7 и 10.10 дают следующий результат: как бы мы ни задали Л-модульную структуру на -модуле А (для фиксированного гомоморфизма е: S — R и при условии, что такая структура согласована с уже имеющейся -модульной), модули W(A) и Я(А) будут одними и теми же. Проще говоря, чтобы узнать, как действуют радикалы W и Н категории mod-it", достаточно

10. Т(е)-модули, Е(е)-модули и связанные с ними радикалы выяснить, как радикалы WF и Hv категории тосі-б действуют на -модули, принадлежащие классу Ое(mod-it ). Итак, справедлива

Теорема 10.11. Подмодули W(A) и ЩА) определяются S-модульной структурой модуля AR однозначно.

Пример 10.12. В доказательствах теоремы 10.7 и теоремы 10.10 были использованы специфические свойства S -S -бимодуля R/e(S). На самом деле ситуация, которая описана в этих двух теоремах, вообще говоря, не является характерной. Другими словами, идемиотентный радикал р категории mod-zS далеко не всегда задаёт предрадикал в категории mod-it", т. е. может найтись Л-модуль А такой, что p{As) не является подмодулем в AR. Легко заметить, что для этого должно быть выполнено Im е . Z(R); в противном случае при любом г Є R отображение а - аг принадлежит группе Нот5,(Л, А), поэтому в силу определения предрадикала справедливо включение р(А)г С р(А). Пусть Е — некоторое кольцо. Положим д=М, s=M, /=М Из предложения 4.2 следует, что R является кольцом относительно обычных операций сложения и умножения матриц; при этом ясно, что S — подкольцо кольца Л, а і — идеал кольца S. Положим р = Н7; в качестве гомоморфизма колец е будем рассматривать вложение S — R. Очевидно, Homs,(i, R/1) = 0, т.е. R/I Є V(p). С другой стороны, і Є 71(р), а тогда ввиду предложения 2.9 имеем p(R) = I. Следовательно, p(R) не является подмодулем в Лд, поэтому сопоставление AR - р(Ое(А)) не будет предрадикалом категории mod-it . 11. Идемпотентные радикалы, порождаемые бимодулями

Тем самым мы получаем унивалентный функтор Qd из mod-zS в mod-it"; этот функтор задаёт изоморфизм между mod-zS и полной (ввиду сюръективности гомоморфизма d) подкатегорией категории mod-it . Несложно убедиться, что композиция Ое о Qd есть тождественный функтор категории mod-5 (отсюда, в частности, получаем, что сужение Qd на Т является функтором, обратным к сужению функтора Ое на полную подкатегорию категории mod-it", которая состоит из всех Т(е)-модулей). Таким образом, всякий -модуль может быть получен как притягивающий модуль из подходящего Л-модуля. Поэтому для рассматриваемого гомоморфизма е: S — R можно говорить не только о том, что W однозначно определяется радикалом WF, но и о том, что радикал WF однозначно определяется радикалом W (фактически WF представляет собой сужение радикала W на полную подкатегорию категории mod-Л). Ясно, что аналогичный факт имеет место и для идемпотентных радикалов Н Є I1Z(R) иН ЄІВД.

Логично задаться вопросом: при каких условиях на левый -модуль F класс {F} С mod-zS представим в виде класса Т (для какого-либо гомоморфизма колец е: S — R)? Из приведённых выше рассуждений вытекает, что это возможно, если F является б -б -бимодулем. Начало параграфа будет посвящено доказательству того факта, что всякий ( -порождённый каким-либо модулем F Є /S-mod радикал из X1Z{S) обязательно ( -порождается также некоторым б -б -бимодулем. Отсюда мы получим, что подходящий гомоморфизм колец е существует для любого модуля SF

Проективные модули над csp-кольцами

Из доказательства теоремы 15.10 известно, что для подходящего идем-потента конечного типа 5 рассматриваемое разложение модуля М содержит ровно ШТ слагаемых, равных R(l — 6). Кроме того, существует идемпотент 6 такой, что приведённое выше прямое разложение модуля А будет содержать ШТ слагаемых, равных R(l — 5 ); обозначим X = supp U supp .

Мы рассмотрим изоморфизм М = М {1 — ех) 0 {М ех 0 М"), а также аналогичный изоморфизм для модуля А. Заменяя ими изоморфизмы (15.19) и (15.20), приходим к записям того же вида, но с дополнительным условием: для любого і Є I выполнено включение X С supp П siipp (далее считаем, что это условие соблюдено). Легко видеть, что «новые» разложения «новых» модулей М и А1 будут содержать ровно по ШТ слагаемых, равных R(l — ех). Для произвольного і Є I и множества Y = supp ді \ X имеем аналогичный изоморфизм справедлив и для модуля А . Пусть слагаемое М" из разложения (15.19) имеет вид (15.9). Учитывая лемму 15.11 (надо применить её к модулю V = М ): можно считать, что для любого р . X кардинальное число rp(F ) или строго больше ШТ, или равно 0; аналогичное предположение применимо к модулю А". При всех р Є L имеем гр(М) = Гр(М ) + rp(Fp). Для р Є X отсюда будет следовать rp(Fp) = гр(М), а для р ф X (с учётом наших дополнительных предположений) — F = 0 или г (F ) = г (М) соответственно в случаях г (М) = Ш и г (М) ШТ. Поэтому все ранги г (F ) однозначно определены системой инвариантов проективного модуля М (совпадающей с системой инвариантов модуля А). Следовательно, М" А" и, далее, М А. Ш Предложение 15.12. Пусть Ш — бесконечный кардинал, cf(9JT) = Н0 и модуль М задаётся равенством

Если ЭДТ = Н0, то положим 9ТП = 1 при всех п Є N; в противном случае мы зафиксируем произвольную последовательность бесконечных кардиналов вида (15.10), для которой выполнены соотношения (15.11). Далее, разобьём / на (непересекающиеся) подмножества {1п}пе таким образом, чтобы каждое множество 1п имело мощность 9ТП, и обозначим Ап = Дн М-г

Введём на счётном множестве X х N строгий порядок " С" так, чтобы упорядоченные множества (X х N, C) и (N, ) были изоморфны. Построим теперь по индукции инъекцию K:XXN4N. Пусть (р, /) Є X х N, и пусть значения к,(р }1 ) уже определены для каждой пары (р ,1 ) С (р, /); положим Н = {к(р , V) (р , V) С (р, /)}. Если s — наибольшее число в Н U {1}, то Е тр(Лп) Е \Jn\ = J2mn тах(Я, OtJ ЭДТ, пєЯ пєЯ пєЯ поэтому из 2_ rp(An) = rp(M) = 9Я следует V гр(Аг) = %ft Из последнего равенства можно вывести, что при некотором п Є N \ Н имеет место неравенство г (Ап) 9? . Положим к(р,1) равным наименьшему из чисел п Є N \ Н: обладающих указанным свойством. Итак, мы построили инъективное отображение к.

Для каждого р Є X обозначаем через D объединение множеств I, , где / пробегает N; пусть D0 есть множество всех тех индексов і Є /, которые не принадлежат ни одному из таких множеств D . Для р Е X U {0} через S будем обозначать прямую сумму всех идеалов Mi: где і Є D . Мы знаем, что тр{А, гч) Щ при любых р Є X и / Є N. Так как для всех р Є X модуль Sp изоморфен прямой сумме модулей А, гч, где / пробегает N, то

Предложение 15.13. Пусть обозначения ШТ, М, W имеют тот же самый смысл, что и в предложении 15.12, причём \W\ = Н0 и выполняется свойство (15.22). Кроме того, пусть Ш = г (М) и обозначения 9ТП имеют тот же самый смысл, что и в теореме 15.10. В этом случае М изоморфен модулю М , задаваемому условиями (15.14) и (15.15). поэтому \Dn\ = 9?п (договоримся также, что D0 = 0). Из равенства VK = N0 мы видим, что объединение возрастающей последовательности множеств Dn равно /. Обозначим In = Dn \ Вп_х\ тогда {1п}пе разбиение множества / на непересекающиеся подмножества, при этом \In\ = \Dn\ — \Dn_l\ = 9?n.

Теперь мы допустим, что (15.10) — произвольная строго возрастающая последовательность со свойством (15.11), a s 0 — наибольшее целое число, для которого 9TS конечно. Применяя к модулю М(1 — es) приведённые выше рассуждения, приходим к изоморфизму

Это означает, что в разложении (15.7) можно заменить идеалы Mi идеалами Mi 0 R5ri. В связи со сказанным будем далее предполагать, что выполняется свойство (15.22).

Если р Є W, то множество І = {і Є I \ г JM-) = 0} имеет мощность ЗЛ (в случае \1р\ ЗЛ из равенства ЗЛ — \1р\ = ЗЛ следовало бы г (М) ЗЛ, что невозможно). Итак, при любом р Є W имеем \1р\ = ЗЛ Шр г (F ), откуда легко вывести, что существует прямое разложение peW ІЄІ 15. Проективные модули над csp-кольцами 183 такое, что для всякого і Є I выполнено Мі П Rd = 0. Это позволяет перейти от исходного разложения (15.7) к аналогичному разложению