Введение к работе
Актуальность темы. Изучением ассоциативных алгебр с нетривиальным тождеством (PI-алгебр) занимались и занимаются многие советские и зарубежные математики. Некоторые результаты стали уже классическими и вошли в учебники По теории колец и алгебр.
Большую роль в развитии теории PI-алгебр сыграла пробле- ' ма A.F.Куроша 7J , поставленная в 1941 году:иБудет ли. всякая алгебраическая алгебра локально-конечной?" Н.Дкекобсон L23J в 1945 году решил положительно эту проблему для алгебраических алгебр ограниченного индекса (эти алгебры являются РІ«алгебрами ) , Затем в 1948 году И.Кагоганский 24j| решил проблему Куроша для РІ-алгєбр над полем. Отрицательное решение общей проблемы Куроша следует из известной теоремы Е.С,Голода - И.Р, Шафаревича. Отметим, что с точки зрения структурной теории . условие РІ является своеобразном условием конечности,
В ІУ57 году А.И.Ширщов 193 доказал принципиально новое комбинаторное утверждение - теорему о высоте» Из этой теоремы следует решение проблемы Куроша для ассоциативных PI-е гебр над коммутативным кольцом, а также для альтернативных и специальных ^ордановых алгебр. Теорема Шчршова о высоте указывает на некоторую близость конечнопорожденных Pi-алгебр к ко-нечномерным алгебрам.
Вторая важная проблема, теории Pi-алгебр была поставлена В.Шпехтом [,4] , [йб] в 1950 году:"Будат ли всякая'ассоциа-
тивная алгебра над полем характеристики нуль иметь конечный базис тождеств?"
.Проблема конечной базируемости связана с классификацией айгёбр на языке тождеств и имеет 'смысл не только для алгебр над1' пбл'ему но и для.колец, групп и вообще любых алгебраические б'истём'.' Прбблема конечной базируемости для групп была решена отрицательно' А .-Ю.-Олшанским $153 Для алгебр Ли 'над полеы конечной' характеристики ата проблема также решена отри- цательно { М.Воон-Ли |и?| ,< В.'Дрейски $5jl В 1973 году Р.Крузе 25J И И.В.Львов ІІ2Ї доказали конечную базируёмооть тождествконечного кольца.
Проблеме Шпехта для'ассоциативных алгебр над' полем характеристики нуль было посвящено довольно много работ"* Вояьіг й: цикл работ по этой проблеме принадлежит В.Н,Латышеву ІЗ\* 13$ « В.1982 году А.В.Яковлев анонсировал следующий результат!.пол-ные алгебры матриц любого порядка имеют конечный базис тождеств. Проблемой Шпехта также занимались Г.Генов^ЗЗ ,А.Попов СІ6І , М.Гаврилов Х2] .
В 1957 году ШДмицур 20]) доказал, что радикал конечнопо-рожденной РІ-алгебры является ниль-идеалом. ата теорема еще раз подтвердила, что условие РІ является своеобразным условием конечности и позволила'Б.Н.Латышеву поставить довольно смелую по тем временам проблему:яВуде'. ли радикал конечнопорож-денной PI-алгебры нильпотентен?1* L43 . Большой клад в решение этой проблемы внес Ю.П,Размыслов ІІ6І . Для алгебр над полем характеристики нуль проблема В.'-*.Латышева была решена в I960 году автором СбЗ , а в І982 году А.Браун 213 решил эту проблему для алгебр над произвольным полем. Структурная теория РІ-алгебр в настоящее время хорошо развита. Этому способство-
вала, в частности, теорема Разшслова-Форманека Cl?3 l&Q существовании центрального полинома.
Большой интерес представляют вопросы о представимости алгебр матрицами конечного порядка над расширением основного поля или над коммутативной алгеброй. Впервые представите алгебры стал изучать А.И.Мальцев l3j в 1943 году. Крупные результаты в этом направлении получены А*. 3.Ананьиным Ш и Н.Г.Нестеренко 143
Цель работы. 1%бота посвящена изучению строения товдеств-и многообразий ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Целью работы является: решение проблемы Шпехта, выявление связи меаду многообразиями алгебр и конечно-. порожденными супералгебрами, доказательство представимости приведенно - свободных к'онечнопородценных РІ - супералгебр.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории РІ-алгебр. Они также- могут быть использованы при чтеніш алгебраических специальных курсов и'подготовке учебных пособий н монографий.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 1в-й и 19-й.Всесоюзных алгебраически, конфо-ренциях (Ленинград,, І98Г; Львов, 1537 }, на 4-м и 5-м Всесоюзных симпозиумах по теории колец„аягебр и модулей (Кишинев, 193 Новосибирск» 1932 Ї, на 1-й„ 2-й и 3-й Всесоюзных йколах по теории многообразий алгебраических систем {Ба^лаул,- 1979,1931; Омск, 1983 I , на Сибирской школе по алгебре и анализу { Кемерово, 1967 } . Результаты таете докладывались на семинаре им.
V Л.Й.Ширпюва "Теоркя колец", на семинаре кафедры высшей алгебр^
МГУ, на алгебраическом семинаре ЛОМИ, на Минском городском алгебраическом семинаре, на семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственном університете им. Ленинского комсомола» на Омском городском алгебраическом семинаре, на XXI семестре в меадународном математическом центра им. С.Банаха в Варшаве,
П у б л и к а ц и и . По теме диссертации опубликовано 9 работ; І28-363 .
Объем, работы. Работа изложена на 126 странницах и состоит из введения и двух глав. Библиография содергсиш 78 наименований,