Введение к работе
Актуальность темы. Класс слоґпю конечных групп введен С.П.Черниковым в 1945 году и получил в его работах полное описание, которое можно найти в [20, 39]. В 70-х годах интерес к слошю конечным грушіам заметно вырос в связи с появлением н ряде работ [II, 17, 21, 22] харак тсрпча ціпі почти локально разрешимых труни с уоктпсм примар ной минимальности в различных классах групи, где существенно используются некоторые свойства слойпо конечных групп.
Напомним, что слойпо конечной называется группа, » которой множество элементов каждого порядка конечно.
После установления свойств слойпо конечных групп возник вопрос об их месте среди других классов групп и прежде всего их отношение к периодическим труппам. Одной из первых характерпзащш слойпо конечных трупп послужило установление связи с близким классом групп — локально нормальными группами [5]. Они охарактеризованы почти одновременно в ряде работ С.II.Черникова, Р.Бера, Х.Х.Му-хаммоджапа [10, 11, 18, 19, 31]. Наиболее; полной является теорема С.Н.Черникова: класс слойпо конечных групп совпадает с классом локально нормальных групп с чернпковскнмп силовскими подгруппами.
И 60-х годах как обобщение класса слойпо конечных труни Я.Д.Половшшш [15, 16] описывает класс слоило чернпкоь-екпх групп, т.е. групп, в которых каждое множество элементов одного и того же порядка порождает чернпковскую группу.
13 7U-X годах слойпо конечные группы нашли прпложе-
пня при описании групп с различными условиями конечности. Первыми в этом направлении, видимо, являются работы В.П.Шункова [23, 24, 25], в которых разработана методика изучения таких групп. При исследовании этих групп естественно применение теории слойно конечных групп, поскольку периодические группы с условием примарной минимальности при условии почти локальной разрешимости представляют собой расширение слойно конечной группы при помощи слон но конечной группы (легко показать, что класс слойно конечных групп не замкнут относительно расширений). В частности, с помощью данной методики получена характерпзацни слойно конечных групп в классе периодических групп с условием примарной минимальности [39]. Е.И.Седова охарактеризовала слойно конечные группы в классе периодических финитно аппроксимируемых F*-rpynn, а В.О.Гомер в классе периодических бинарно разрешимых групп (см. 12 в [39]).
Одним из основных методов исследования бесконечных групп является наложение условия обрыва цепочек подгрупп. К таким условиям относятся условие примарной минимальности, условие минимальности для абелевых подгрупп и наконец просто условие минимальности для подгрупп. Немного позднее появились условия конечности, не связанные с обрывом цепочек подгрупп: бинарная конечность, биприми-тпвная конечность, сопряженно бппримптшшая конечность. Эти условия касаются конечности тех или иных двупоро-жденных подгрупп в группе или ее сечениях.
Одним из первых результатов, связавшим условия конечности этих двух типов является теорема Остыловского-Шупкова [13]: сопряженно бппримптпвно конечная группа
без инволюций, удовлетворяющая условию минимальности для подгрупп — черниковская.
Различными обобщениями слойной конечности занимался Л.А.Курдаченко. В его работах [6, 7] рассматривается три обобщения слойно конечных групп. Сначала требование конечности снимается с конечного, числа слоев и строение таких групп описывается при дополнительном ограничении локальной конечности. Затем на основе вышеприведенной характеризации С.Н.Черниковым слойно конечных групп как локально нормальных групп с черниковскими си-ловскими подгруппами вводятся группы у которых силов-ские р-подгруппы не являются черниковскими только для конечного множества простых чисел р. Наконец, третье обобщение касается прнмарных слоев (состоящих из р-элементов) В слойно конечной группе каждый примарный слой конечен, и в качестве обобщения рассматриваются группы, у которых требование конечности снимается с конечного числа примарных слоев. Взаимосвязь между этими обобщениями класса слойно конечных групп исследуется в работе [7]. Л.А.Курдаченко также ввел группы, двойственные к слойно конечным, а именно, группы с конечными фактор-группами G/Gn для любого п Є N. В работе [8] такие группы описываются им в абелевом случае, позднее нильпотентный случай рассмотрен в совместной работе Н.В.Калашниковой и Л.А.Курдаченко [9].
Все предыдущие характеризации слойно конечных групп касались в основном класса локально конечных групп. В связи с построением П.С.Новиковым, С.И.Адяном и А.Ю.Ольшанским примеров не локально конечных групп, обладающих очень хорошими абстрактными свойствами (например,
все локально конечные подгруппы конечны, централизатор любого неодиничного элемента — циклическая группа и др.) -..' естественно возникает вопрос: каковы границы распространения результатов для локально конечных групп?
Дальнейшие характеризащш слоино конечных групп в классах бинарно разрешимых групп и периодических групп возникли в 80-х годах в научной школе В.П.Шункова и представляют собой большой этап исследований свойств периодических групп с применением свойств слоино конечных групп. Эти результаты можно найти в [39].
В диссертации развивается направление характеризащш известных, хорошо изученных классов групп в других классах групп при наложении некоторых дополнительных (достаточно слабых) условий конечности. Направление развивается автором с 1980 года. Все работы связаны с характе-ризацией классов групп, близких к слоино конечным группам. Сначала характеризапию получают при различных дополнительных ограничениях группы со слоино конечной периодической частью, затем почти слоино конечные группы, т.е. конечные расширения слоино конечных групп и группы с почти слоино конечными периодическими частями, затем характеризуются обобщенно черниковские группы, являющиеся расширениями слоино конечных групп при помощи слоино конечных групп, и группы с обобщенно черниковски-ми периодическими частями.
Класс почти слоино конечных групп значительно шире класса слоино конечных групп. В нем содержатся, например, все черниковские группы.
Периодическая почти локально разрешимая группа, удовлетворяющая условию примарної! минимальности называ-
ется обобщенно черниковской группой.
Группа G удовлетворяет условию примарной минимальности если для любого простого р каждая цепь
GV>G2 > ... > Gn > ...
подгрупп из G такая, что в любой разности Gn \ Gn+i содержится элемент дп, что д* " Є Gn+1 для некоторого кп, обрывается через конечное число шагов.
Термин " обобщенноїчерниковские группы" впервые появился в [26] и там же охарактеризован В.П.Шунковым и А.А.Шафиро в классе локально конечных групп. Его использование можно обосновать тем, что по теореме Я.Д.Половиц-кого [16] обобщенно черниковская группа G является расширением прямого произведения А квазициклических р-групп с конечным числом множителей для каждого простого числа р при помощи локально нормальной группы /?, причем каждый элемент из G поэлементно не перестановочен лишь с конечным числом силовских примарных подгрупп из А. Для сравнения черниковская группа является конечным расширением прямого произведения квазициклических групп, взятых в конечном числе.
Почти все теоремы диссертации доказаны при наложении на группу условия сопряженно бипримитивной конечности. Примеры групп Новикова-Адяна [1] и Ольшанского [12] показывают, что его отбрасывание приводит к неверным результатам.
Напомним, что группа называется сопряженно биприли-тивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы Н в фактор-группе Nq{H)JН любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.
(
Невозможно также ослабить это условие до .Р*-условия конечности (напомним, что группа G.называется ./^-группой, если в произвольной ее подгруппе U для любой конечной подгруппы Я < U и любых элементов а,Ь Є Т = Nu{H)/H простого порядка q Є 7r(f/) существует элемент с Є Г такой, что гр(а,с~1Ьс) конечна), так как группа Ольшанского [12] является F*-rpynnori. Поэтому условие сопряженно би-примитивной конечности является в некотором смысле предельным в теоремах. Не вижу других условиїі конечности между условием F* и условием бипримитивной конечности, также остается открытой проблема Шункова: совпадают ли классы бипримитивно конечных групп и сопряженно бипри-митивно конечных групп?
Неоднократно отмечалось, что условие сопряженно бипримитивной конечности является слабым ограничением, наложение которого приводит к самым неожиданным результатам. Представляет самостоятельный интерес изучение класса сопряженно бипримитивно конечных групп и многие теоремы диссертации можно рассматривать с точки зрения характеризации этого класса групп. В монографии автора [39] предпринята попытка рассмотрения этого класса групп и систематичного изложения примеров, разделяющих близкие к сопряженно бипримитивно конечным классы групп (сюда относятся примеры групп А.А.Черепа, М.Ю.Баховой, Е.С.Голода, которые можно найти в [39]).
Цель работы. Определить место слойно конечных групп, почти слойно конечных групп, обобщенно черниковских групп в классе всех групп (в частности, в классе периодических групп).
Методика исследования. Применяются теоретико-груп-
повые методы исследования, в том числе разработанные автором (методы частично представлены в монографии [39]) и его научным консультантом В.П.Шунковым (см. монографии [27, 29]).
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные рез}7льтаты применяются в теории бесконечных групп, используются при чтении специальных курсов лекций по алгебре и могут быть использованы в дальнейших исследованиях бесконечных групп.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на I, II и III Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989 г., Барнаул, 1991 г., Красноярск 1993 г., соответственно), на Международной математической конференции (Иран, 1991), на Меж-дЗ'народной конференции "Infinite Groups — 1994" (Италия, 1994). Многие из результатов диссертации прошли апробацию впервые на семинаре по общей алгебре МГУ, основанном О.Ю .Шмидтом, на семинарах " Алгебра и логика" и "Теория групп" (ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре по теории групп ИММ УрО РАН, на Красноярском городском алгебраическом семинаре, семинаре ВЦ СО РАН в г.Красноярске.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32]—[5^].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы (97 наименований), занимает 235 страниц текста, набранного на MgX и содержит 16 теорем и четыре следствия. Нумерация