Введение к работе
Актуальность темы. При изучении бесконечных групп оказалось естественным выделять и изучать классы таких групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп, или, как мы будем говорить в дальнейшем, классы групп с условиями конечности. Перечислим некоторые из распространенных условий конечности: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп и т. д. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние 40 лет в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [22, 17, 9, 23, 3, 1, 2, 24, 46, 25, 10, 26, 27, 18, 21, 28, 11]. Примеры Е. С. Голода, А.И.Созутова, А.В.Рожкова [9, 41, 43, 34] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см., монографии [62, 63]).
Результаты исследований, представленных в настоящей диссертации, связаны с конечностью определенным образом порожденных подгрупп:
Группа G называется (сопряженно) q-бипршіитпивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы Н в факторгруппе Na(tl)/H любая пара (сопряэ/сенных) элементов порядка q по-
рождает конечную подгруппу. Если группа G является сопряженно q-бипримативно конечной относительно любого простого числа qe7t(G), то G называется сопряженно биприми-тивно конечной группой или группой Шункова.
Очевидно, что любая периодическая группа 2-бипримитивно конечна. Класс групп Шункова очень обширен и включает в себя локально конечные, (сопряженно) n-арно конечные, (сопряженно) бинарно конечные группы, периодические и смешанные группы, так как условия конечности Шункова не предполагают периодичности группы G. Поэтому для нее, наряду с другими вопросами, актуален следующий: обладает ли группа G периодической частью, т.е. составляют ли периодические элементы в G подгруппу? Нетривиальность ответа на этот вопрос подчеркивается тем, что известны примеры [48] разрешимых бипримитивно конечных групп, не обладающих периодической частью.
Цель работы. Изучение групп со слабыми условиями конечности.
Общая методика исследований. Применяются методы теории групп.
: Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теориях конечных и бесконечных групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на Всесоюзных алгебраических конференциях, на Международных конференциях по алгебре. Они неоднократно обсуждались на заседаниях семинаров «Алгебра и логика», «Теория групп» (ИМ СО РАН и НГУ), на алгебраических семинарах в МГУ, ИММ УрО РАН, в Красноярском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[75].
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, . пяти глав и списка литературы, занимает 187 страниц текста, набранного на LATEXe. Нумерация тройная: номер главы, номер параграфа в главе, номер пункта в параграфе.