Группы с системами фробениусовых подгрупп Созутов, Анатолий Ильич

Введение к работе

Актуальность теми. За последние десятилетия а теории бесконечных групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции (периодических) групп, построено много серий примеров [1, 4, 6, 11, 12, 15,16, 17]. Эти примеры убедительно продеионстриро-вали, как радикально могут отличаться свойства произвольной (периодической) группы от свойств (лохалыю) конечпьгх групп.

Известные примеры бесконечных (f-порожденных р-групп с конечными (d - 1)-порожденными подгруппами [4] показывают," что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. За последние три десятилетия в теории бесконечных групп сформирова-иось новое направление, в рамках которого исследуются периодические я смешанные группы со слабыми условиями конечности. Центральным методом исследования групп со слабыми условиями конечности в настоящее время является метод фробеииусовых подгрупп (см., например, [18,19,22,31, 32,34,35,36,53,55,57,64]). Большинство основных результатов настоящей диссертации посвящено развитию и применениям данного метода. Выделение групп с системами фробеииусовых юдгрупп в самостоятельный объект исследования было решающим монетой в развитии этого метода.

Большое значение в исследованиях групп с условиями конечности імеют признаки непростоты групп, обладающих системами фробеииусовых подгрупп с фиксированным циклическим неинвариантным мно-кителеи (см. теоремы 2.1.3, 2.4.2, 3.1.3, 8.1.2, 8.2.2 диссертации). От-шчительной чертой этих теорем является то, что в их формулировках гет никаких других ограничений на исходную группу, т.е. она может

быть н группой без кручення (потеишіально), и смешанной группой, и бесконечной периодической, и конечной. Так, например, теоремы 2.1.3, 8.1.2 представляют несомненный интерес для конечных групп: частные случаи теоремы 2.1.3 и только для конечных групп доказывались Б.Фишером и М.Ашбахерсм [37, 41, 42].

В локально конечных группах, теория Которых развивается более полувека, конечные подгруппы составляют локальную систему, что позволяет широко использовать аппарат теории конечных групп (локальный анализ) и получать в некоторых случаях почти исчерпывающую информацию о строении группы. Другая ситуация в группах с конечными элементами. Там зачастую приходится исследовать группу G, исходя только из строения подгрупп вида L₃ = (а, а⁹}, где а — фиксированный элемент. Тем не менее, в некоторых случаях такой бинарный анемгю приводит к глобальным заключениям о строении исходной группы (см., например, основные результаты из [30, 35, 36] и многие теоремы .настоящей диссертации).

К бинарному анализу можно отнести такие глубокие результаты, как теорема В.П.Шуикова о группах с почти регулярной инволюцией [30], Z*-теорема Д.Глаубермаиа [45], результаты В.Фишера [43], М. Ашоахера [38] и Ф.Тиммссфельда о группах с нечетнхтми транспозициями и корневыми инволюциями, результаты Д.Томіхона о грулпая с квадратичной парой [5] и др.

Теория групп изначально неразрывно связана с другими областям» математики [9, 14]. Совместные решения ослабленной и неограниченной проблем Бернсайда и соответствующих проблем теории колец — ярк'.к: примеры плодотворности связей между группами и кольцамі [4, 11, 12]. Основные результаты глав 7, 9, 10 диссертации также до казываются, благодаря связям групп с ассоциативными нильалгебраш и алгебрами Ли.

В диссертации много внимания уделено решениям конкретных вопро сов, актуальных для групп с различными условиями конечности. Пол ностыо решены 2 вопроса из Коуро'вской тетради (вопросы 1.39, 6.54 и даны решения 4 вопросов в классах групп (вопросы 1.24, 2.75, 6.53 10.G0 из [13]).

Перечислим основные условия конечности, встречающиеся в диссер тации (отметим, что под условием конечности, в отличие от [25], здес понимается наличие в группе определенных систем конечных поді рупії).

1. Группа G содержит бесконечный веер конечных подгрупп—'множество конечных подгрупп с нетривиальным пересечением [21].

2. Группа t7 содержит такие несдиничпне элементы а и 6, что (почти) для всех элементов пс-дгрутты L_g = (а,) конечны [57].

3. Группа G обладает конечным элементом «: все подгруппы L_g = (a,a^s) в G конечны [32].

4. Группа G слабо сопряженно бипрішптхівно конечна; все ее эле-мепты простых порядков конечны [53].

5. Группа G слабо бипршштивно конечна: в G лгабые два элемента одного и того же простого порядка порождают конечную подгруппу [53].

6. G — CF-группа: дла любой конечной подгруппы Н С G в Nc{H)fH найдутся иседипичннс элементы а и 6, дла которых подгруппы вида (а, Ь⁹} конечны [57].

7. Группа G сопряженно бипримитпено конечна: любая факторгруппа Ng{H)[H по конечной подгруппе Я слабо сопряжепно біь прпмптивно конечна [32].

8. Группа G бипрхшитивно конечна: любая факторгруппа Ng(H)/H по конечной подгруппе Л слабо бипршштивно конечна [29].

9. Группа G сопряженно п-арпо конечна: в G любые п сопряженных элементов порождают копечпуга подгруппу [63].

(10) Группа G п-арно конечна: в.п элементов порождают конечную подгруппу [4] (отметим также, что абстрактные бинарно конечные группы первыми, по-видимому, начали изучать Ш.СКемхадзе [10] и С.П.Струнков [21]).

Вышеперечисленные условия конечности, за исключением двух последних, не предполагают периодичности группы G. Поэтому для нее, наряду с другими вопросами, актуален следующий: обладает ли группа G периодической частью, т.е. составляют ли периодические элементы в G подгруппу? Нетривиалыюсть ответа на этот вопрос в каждом конкретном случае подчеркивается тем, что известны примеры [24] разрешимых бипримитивпо конечных групп, не обладающих гериодической частью.

Понятно, что изучение групп из вышеперечисленных классов возможно только при наложении дополнительных условий; покажем, что эассиатриваемые в диссертации дополнительные условия продикто-наны логикой развития теории периодических групп. Все известные юнетрукпии периодических групп можно разбить па два больпшх клас-

са: группы, заданные непредставлениями, и группы, заданные пред ставленнями [17]. Мы обратимся к более важному для пас первом] классу (группы из этого класса широко используются в днссерташш J качестве примеров). Для многих групп из данного класса справедливе хотя бы одно из следующих свойств:

10. насыщенность парами Фробениуса {{G, 11) — пара Фробениуса если Я — собственная подгруппа, группы G и Я П H^s = 1дл$ любого д GG\ Я);

11. расщегыяемостъ или "почти" расщепляемость;

12. отсутствие f-локальныз; подгрупп, т.е. бесконечных подгрупп < нетривиальный локально конечным радикалом..

Строение лтих групп напоминает строение свободных групп, свободных произведений [14]. Современные комбинаторные методы в теорій, периодических групп эффективно работают с достаточно "болыгшш: соотношениями" "глобального характера", причем анализ этих соотношений очень сложен [1, 18]. Большинство известных конструкції! периодических групп реализованы в классах групп без инволюций, т.к инволюция в периодической группе является конечным элементом, 2 яюсой конечный элемент, если он не содержится в конечном нормальном делителе группы, дает бесконечное множество соот нэшений, трудно учитываемых современными комбинаторными методами.

Вполне естественно при изучении групп с условиями конечности вышеперечисленные 3 свойства накладывать в качестве дополнительны}! ограничений, тем более что становление теорий локально конечны* групп также начиналось с изучения групп с данными условиями [2, 25] а классическая теорема Фробениуса и результаты о конечных расщепляемых групп лежат в фундаменте современной теории конечные групп [3, 5, 23].

Цель работы. 1) Получить обобщения теоремы Фробениуса на классы групп с условиями конечности.

2. Описать строение нормального замыкания элемента о с \а\ > 2 і группе G, обладающей достаточно большими системами фробезшусо-вых или близких к фроосниусовьш подгрупп с дополнительным множителем (а).

3. Исследовать строение расщепляемых групп с допусти ной нормальной подгруппой (в частности, групп Фробениуса), удовлетворяюшиї условиям конечности.

4. Доказать существование бесконечных /-локальных и абелевьгх под

рулп в бесконечных группах .с условиями гспечзюста.

5) Обобщить примеры шіяьі лгсбр и р-групп Е.С.Голсшан разделить
лассы групп с Еишсперечнслеїшиїїи условиями Еохечсостн.

6. Показать эффекткшость метода фробештусезых подгрупп в званиях групп с дополняемыми подгруппами.

7. Исследовать группы с симплектичесіснші З-транспогицялш? п свр-інньте с ними алгебры Ли.

Общая методика исследований. Пркх'езшгатся методы теории групп,

хоциативных колец и алгебр Ли.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются

ЗЗЫШ1.

Практическая ценность. Диссертация ноелт теоретичеашй харак-гр. Результаты и методы работы могут быть использованы в теориях зг^чиых и бесконечных групп, ассоциативных колец и алгебр Ли. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 5 -Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на 13 - 18 Всесоюзных ігебралчесїшх конференциях, на 2 - 3 Международных конференциях э алгебре. Окя неоднократно обсуждались на заседаниях семннароз Алгебра и логика", "Теория групп", "Теория колец" (ИМ СО РАН н ГУ), на алгебраических сешшарах в МГУ, ИММ УрО РАН, в Крас-зярском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубляЕовалы в раг-)гах [53] - [67].

Обьеы и сгрзт:т,ура работы. Диссертационная работа состоит из вве-!кия, десяти глав и списка литературы (178 наименований), занимает !1 страницу текста, набранного на Ш^Хе. Нумерация тройная: но-гр главы, номер параграфа и главе, номер пункта п параграфе.