Введение к работе
- з - Актуальность теш. изучение класса групп Батлера началось в I9S5 году с работы М.Баглера [9]. Он рассмотрел наименьший класс збелевых групп без кручения конечного ранга, который содержит все группы ранга I, зажнут над конечным прямыми суммами, сервантш-ми подгруппами и гомоморфными образами без кручения. Одновременно с работой Батлера вышла статья Д.Кёлера [10], в которой он изучает квазисущественные группы, которые совпадают с группами Батлера. В дальнейшем эти группы получили название группы Батлера. В настоящее время этот класс групп широко изучается, опубликовано более ста работ. В частности, статья Д.Арнольда [5], совместные Д.Арнольда и С.Винсонхалера [6-7]. Это узкий, но весьма интересный класс групп. В нем содержатся все вполне разложимые абелевы группы без кручения конечного ранга. С другой стороны, этот класс включает много известных примеров "патологических" прямых сумм разложения групп без кручения конечного ранга (см.ФуксШ, 90). Бреннер и Батлер показали, что если К - любая конечномерная ассоциативная (О-алгебра с единицей, то существует группа Батлера с алгеброй квазиэндоморфизмов, изоморфной алгебре К [8]. Кёлер показал, что если А - абелева группа без кручения конечного ранга с конечным множеством типов, то существует единственная, с точностью до квазиравенства, группа Батлера В такая, что В А, А(т)/В(т) периодическая для каждого типа т, и множество типов
- 4 -группы А совпадает с множеством йшов группы В [10].
Д.Арнольд и С.Винсонхалер получили квазиизоморфные инварианты для групп Батлера, рассматривали точные последовательности бтих групп, двойственность в классе групп Батлера. В диссертации группы Батлера изучаются с другой стороны, используя теорию А.А.Фомина [1-3].
Цель работы. Описать пространства, соответствующие группам Батлера по эквивалентности А.А.Фомина для категории квазиизоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга с приведенным типом Ричмена 1. *$...< 1 и категории (1.,..-.,1 )-пространств, которые представляют из себя конечномерные рациональные подпространства (1,) . .. 0(1 ), где 1(1.) - кольцо 1.,-адических чисел, і = I,...,m.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей, методы теории чисел.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:
-получены необходимые и достаточные условия на коэффициенты системы 1-адических соотношений, соответствующей группам Батлера;
-описаны (1.,,....,1 )-пространства, соответствующие группам Батлера по эквивалентности А.А.Фомина для категории квазиизоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга с приведенным типом Ричмена 1 «$...< і и категории (1,,...,1 )-пространств.
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при дальнейшем изучении групп Батлера. Практический интерес представляют алгоритм нахождения приведенной системы типов и теорема восьмого параграфа для вполне разложимых групп.
Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на II международной конференции женщин -математиков (Москва, 1994 г.), на симпозиуме "Абелевы группы", посвященном 80-летию Л.Я.Куликова (Бийск, 1994 г.), на международной конференции по абелевым группам, посвященной 70-летию Л.Фукса (Падуя, Италия, 1994 г.), на алгебраических семинарах Московского педагогического государственного университета и Вятского государственного педагогического университета.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ, список которых приведен в конце автореферата [1-5].
Структура и Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 28 наименований. Полный объём диссертации 69 страниц машинописного текста.