Графы TI-подгрупп, расширения и автоморфизмы графов Зюляркина Наталья Дмитриевна

Содержание к диссертации

Введение

1. Графы коммутирования ТІ-подгрупп

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Линейные группы .

1.2. Унитарные группы.

1.3. Ортогональные группы .

1.4. Симметрические группы.

2. Автоморфизмы полутреугольных графов Хигмена

2.1. Предварительные сведения.

2.2. Графы с ц = 6.

2.3. Графы с ц = 7.

2.4. Графы с ц = 8.

2.5. Геберно симметричные полутреугольные графы Хигмена .

2.6. Автоморфизмы графа с массивом пересечений {15,12, 6; 1, 2,10}.

3. Графы, в которых окрестности вершин являются кли ковыми расширениями решеток

3.1. Предварительные сведения.

3.2. Локально решетчатые графы.

3.3. Графы, в которых окрестности вершин являются кликовыми расширениями решеток .

3.4. Графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны со вторым собственным значением 2.

Список литературы

• Линейные группы
• Ортогональные группы
• Геберно симметричные полутреугольные графы Хигмена
• Графы, в которых окрестности вершин являются кликовыми расширениями решеток

Линейные группы

Лемма 1.4.1.2.Пусть L ортогональное пространство над полем порядка q и dimL = s. Если число различных двумерных квадратичных подпространств в L/L = п, то число различных двумерных квадратичных подпространств в L равно nq2s Доказательство. Рассмотрим произвольное двумерное квадратичное пространство W в L = L/L . Пусть W = Єі,Є2 Допустим, что е\ и ег это некоторые прообразы ё\ и ёгв L. Тогда пространство Єі + /і, Є2 + /2 , где h и h векторы из L , будет квадратичным. Заметим, что если 1\, 1 І,І2 и 1 2 векторы из L , такие,что (/і,/г) ф ( ь ), то пространства е\ + /і,Єг + h и е\ + 1[,Є2 + /2 будут различны ввиду своей невырожденности. Рассматривая все наборы вида (/і,/г), где і и 2 векторы из L , мы получим все квадратичные подпространства W из L, такие, что W = W. В самом деле, если W = Є\,Є2 , W = е 1} е 2 и W = W, то е[ = а\Є\ + ОІ2Є2 + h е 2 = (3\Є\ + /З2Є2 + 2, где &І и А коэффициенты из k, аll и h векторы из L . Ввиду невырожденности пространства W наборы (o!i,Q!2) и (/ЗІ, /Зг) линейно независимы. Поэтому в W можно найти линейные комбинации векторов е і и е 2 имеющие вид Єї +//1, Є2 + /2, где 1[ и 2 векторы из L . Следовательно, количество квадратичных пространств W из L, такие, что W = W равно q2s, что доказывает требуемое.

Лемма 1.4.1.3.Пусть V невырожденное ортогональное пространство размерности 2т положительного типа над полем порядка q, q = 1(4). Тогда число различных двумерных квадратичных подпространств в V равно

Доказательство. Заметим, что количество данных подпространств совпадает с количеством инволюций w типа 2 из 0(V/k), для которых V является квадратичным подпространством. Эти инволюции сопряжены в 0(V/k), поэтому их число будет равно \0(V/k) : Co(v/k)(w)\. В рассматриваемом случае V является квадратичным пространством и 0(V/fc) = 8\PQ(V/k)\ = 2qm(m l (qm — 1)П [ (q2% — 1) Вычислим \Co(v/k)(w)\. По разделу 3D из [?] Co(v/k)(w) = 0(V ) х 0(V ). Так как V является квадратичным пространством, то V также будет квадратичным пространством. Из условия q = 1(4) получаем, что V и V будут пространствами положительного типа размерности 2 и 2т —2 соответственно. Следовательно 0(V "/fc) = 8\Р0,(У /к)\ = 2q m l m 2 (qm l — 1)П [ (q2t — 1) и \0{V /к)\ = 2(q — 1) и чиcло указанных подпространств будет равно t \ mirn— 1) (nm і \rrm-l / 2г Л\ І Л( n 1 r/(m— l)(m—2) (пт—1 і \ТТт— (п Л\ гр {гп 1) (/7т l)(gm_1 + l)/2(g — 1).

Лемма 1.4.1.4. Пусть V невырожденное ортогональное пространство размерности 2т отрицательного типа над полем порядка q, q= 1(4). Тогда число различных двумерных квадратичных подпространств в V равно

Доказательство. Как и в предыдущей лемме количество подпространств указанного вида совпадает с количеством инволюций w типа 2 из 0(V/k), для которых V является квадратичным подпространством. Эти инволюции сопряжены в 0(V/k), поэтому их число будет равно \0(V/k) : Co(v/k)(w). В рассматриваемом случае V является неквадратичным пространством и 0(V/fc) = 4\PQ(V/k)\ = 2qm m l [qm + 1)П [ (q2% — 1) Вычислим \Co(v/k)(w)\. По разделу 3D из [?] Co(v/k)(w) = 0{V ) х 0(V ). Так как V является квадратичным пространством, то V будет неквадратичным пространством. Из условия q = 1(4) получаем, что V будет пространством положительного типа размерности 2, а V будет пространством отрицательного типа размерности 2т — 2. Следовательно \0(V+/k)\ = A\PQ(V+/k)\ = 2q{-m-l m-2\qm-1 + 1)Щ 2(?2І - 1) и \0{V /k)\ = 2(q— 1) и чиcло указанных подпространств будет равно 2qm(m l (qm + 1)П [ (q2% — l)/4(g — 1 (m-i)(m-2)(qm-i + l)n"2(q2i - 1) = g2(m-i) m + i)(g" -i _ l)/2(g - 1). Лемма доказана.

Лемма 1.4.1.5.Пусть V невырожденное ортогональное пространство размерности 2т положительного типа над полем порядка q, q = 3(4). Тогда число различных двумерных квадратичных подпространств в V равно уіІІ 1 j I fr Л \[ П \ \ I А\ СІ I 1 ]

Доказательство. Как и в предыдущих леммах нужно вычислить \0(V/k) : Co(v/k) (w) . Случай 1. т четно. Тогда V является квадратичным пространством и 0(V/fc) = 8\PQ(V/k)\ = 2qm(m l (qm — 1)П [ (q2% — 1) Вычислим \Co(v/k)(w)\. По разделу 3D из [?] Co(v/k)(w) = 0(V ) х 0(V ). Так как V является квадратичным пространством, то V также будет квадратичным пространством. Из условия q = 3(4) получаем, что V будет пространством отрицательного типа размерности 2, а V будет пространством отрицательного типа размерности 2т — 2. Следовательно 0(V /fc) = 8Pf2(V /fc) = 2qim l)vm 2)(дт 1 + 1)П1 (q2t — 1), 0(1 /k)\ = 2(g+l) и чиcло указанных подпространств будет равно

Случай 2. те нечетно. В рассматриваемом случае V является неквадратичным пространством и 0(V/fc) = A\PQ(y/k)\ = 2qm(m l (qm—l)IlrLl (q2t—1) Вычислим \Co(v/k)(w)\. Как и раньше, Co(v/k) (w) = 0{V ) x 0(V ). Так как V является квадратичным пространством, то V будет неквадратичным пространством. Из условия q = 3(4) получаем, что V будет пространством отрицательного типа размерности 2, а V будет пространством отрицательного типа размерности 2те — 2. Следовательно 0(V "/fc) = 4\PVL{V /к)\ = 2g(m-l)(m-2) m-l + 1)Щ 2( 2І - 1) и \0{V /k)\ = 2(q + 1) и чиcло указанных подпространств будет равно 2„т{т-\)( т _ іЩ"!_1(о2і — 1)/4(о + lWm_1)(m_2) (gm_1 -\- 1)П"!_2(о2і — 1) = а2(т 1Цат — l)(qm l — l)/2(g + 1). Лемма доказана. Лемма 1.4.1.6.Пусть V невырожденное ортогональное пространство размерности 2т отрицательного типа над полем порядка q, q = 3(4). Тогда число различных двумерных квадратичных подпространств в V равно q2(m-i) qin __ \ qm l __ l)/2(g + 1) Доказательство. Как и в предыдущей лемме нужно рассмотреть два случая. Случай 1. т четно. Тогда V является неквадратичным пространством и 0(V/fc) = A\PQ(y/k)\ = 2qm(m l (дт+1)П [ (q2t—1) Вычислим \Co(v/k)(w)\. Как и раньше Co(v/k)(w) = 0(Yw)х (К/Г). Так как Vj" является квадратичным пространством, то V будет неквадратичным пространством. Из условия q = 3(4) получаем, что V будет пространством отрицательного типа размерности 2, а V будет пространством положительного типа размерности 2т — 2. Следовательно 0(V /fc) = A\PQ,{V /k)\ = 2q m l m 2 (qm l — 1)П [ (q2% — 1), \0{V /k)\ = 2(q + 1) и чиcло указанных подпространств будет равно 2qm m 1 (qm + 1)П [ (q2t — l)/4(q-{-l)q(m l (m 2 (qm l — 1)П [ (q2t — 1) = q2(m_1 (qm-\-l)(qm l-\-l)/2(q-\-l). Случай 2. га нечетно. В рассматриваемом случае V является квадратичным простран ством и

Ортогональные группы

Теория графов и теория групп тесно связаны на протяжении всей истории своего развития.

С одной стороны, различные виды симметричных графов были построены с помощью известных групп. Отметим в качестве примера сильно регулярные графы ранга 3, связанные с действием группы на множестве, граф Гевиртца, построенный с использованием силовских 3-подгрупп и инволюций из AQ и т.д.

С другой стороны, информацию о группе можно получить исходя из строения связанного с ней графа. В связи с этим упомянем диаграммы Дынкина для групп лиева типа, граф Грюнберга - Кегеля, построенный при помощи простых делителей порядка группы, графы коммутирования и т. д. Заметим также, что группа может быть описана как группа автоморфизмов заданного графа. При этом свойства группы будут определяться структурой графа и наоборот.

Одним из методов исследования групп является анализ свойств определенным образом подобранных подгрупп данной группы. Аналогичный метод применяется и в теории графов, когда параметры графа определяются на основе изучения специальных подграфов данного графа.

В диссертации изучаются графы коммутирования циклических Т/-подгрупп порядка 4 в группах, близких к простым, анализируется структура группы автоморфизмов некоторых классов сильно регулярных и дистанционно регулярных графов, и исследуются графы, имеющие заданное локальное строение.

Отметим, что многие симметричные графы были построены как графы коммутирования на классе сопряженных элементов конечной почти простой группы (например: дополнительный граф к графу 3-транспозиций, графы из башни Судзуки и др.). Более того, спорадические группы Фишера, порожденные 3-транспозициями, были построены как группы автоморфизмов соответствующих графов.

Первая глава диссертации посвящена исследованию групп, содержащих циклическую ТІ-подгруппу А порядка 4. Изучаются графы коммутирования, построенные на множестве сопряженных с А подгрупп, и определяются их параметры.

Пусть G — конечная группа, А G. Будем говорить что А является ТI-подгруппой группы G если пересечение А и любой сопряженной с ней подгруппы тривиально. Если А — ТІ-подгруппа конечной группы G и \А\ четен, то будем говорить, что А — подгруппа корневого типа, если для любого элемента g Є G, такого что число Л 4(АЙ) четно, индекс \А : NA(A9)\ является нечетным.

Конечные группы, содержащие 2-группу А, являющуюся Т/-подгруппой, изучались М. Судзуки, Ф. Тиммесфельдом, Й. Хоггеймом, А.А. Махневым и Н.Д. Зюляркиной (см. [?], [?], [?], [?],[?], [?], [?]). В настоящий момент наименее исследоваными остались случаи когда А либо циклическая, либо элементарная абелева группа. Заметим, что если А — циклическая группа, то достаточно изучить ситуацию, когда \А\ = 4.

В дальнейшем будем считать, что А — циклическая Т/-подгруппа порядка 4 конечной группы G, порожденная элементом а и а = а2.

Одним из основных методов исследования групп, содержащих Т/-подгруппу, является индукция. Кроме того существенно различаются случаи, когда G содержит компоненты, а когда нет. Так как А нормализует каждую компоненту группы, то при исследовании групп, содержащих компоненты, вопрос сводится к изучению групп вида G = F (G)A, где обобщенная подгруппа Фиттинга F (G) является квазипростой группой. Поэтому для построения индукционных предположений полезно иметь информацию о том, для каких известных квазипростых групп возможна такая конструкция, и какими свойствами в таких группах обладает подгруппа А.

Отметим, что в случае групп G = ХА, где X = F (G) — квазипростая группа лиева типа, чаще всего встречается ситуация, когда а индуцирует на X внутренний или внутренне-диагональный автоморфизм. Через X обозначим множество таких расширений группы X, что для группы X из X любой элемент из X — X индуцирует на X внутренне-диагональный автоморфизм.

Для изучения групп с заданными свойствами можно исследовать связанные с ними комбинаторные объекты (графы, схемы, геометрии и др.) Одним из таких объектов является граф коммутирования. Если G — группа, А — Т/-подгруппа группы G, то граф коммутирования с(А) определяется следующим образом: вершинами графа (А) = с(А) являются подгруппы, сопряженные с А, и две верши ны смежны тогда и только тогда, когда они коммутируют. Особое внимание в теории графов уделяется графам с различными условиями симметричности. Пусть и является вершиной графа Г. Через ГДм) обозначим г-окрестность вершины и, то есть, подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии г от и. Положим [и] = Ti(u), и1- = {u}U [и]. Подграф [и] будем называть окрестностью вершины и. Для смежных ( различных не смежных) вершин и иw графа Г обозначим через \{u,w) (p(u,w)) число вершин в [и] П [w]. Граф Г называется регулярным степени к, если для любой его вершины и выполняется равенство \[и]\ = к. Граф Г называется реберно регулярным с параметрами (v,k,\) если он регулярен степени к на v вершинах и для любых смежных вершин и и w выполняется равенство \{u,w) = А. Граф Г называется кореберно регулярным с параметрами (v,k,fi) если он регулярен степени к на v вершинах и для любых двух не смежных вершин и и w выполняется равенство fi(u,w) = ц.

Граф Г — вполне регулярный граф с параметрами (v,k,\, /х), если он реберно регулярен c соответствующими параметрами, и [а] П [Ь] содержит ц вершин для любых двух вершин а,Ь, находящихся на расстоянии 2 в Г. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Если вершины u,w находятся на расстоянии г в Г, то через bi(u,w) (через Ci(u,w)) обозначим число вершин в пересечении Ti+i(u) (Ti_i(u)) с [w]. Граф Г диаметра d называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {bo, 61,... , bd-\] Сі,... , Cd}, если значения bi(u, w) и сДм, w) не зависят от выбора вершин и, w на расстоянии г в Г для любого і = 0,..., d. Граф Г диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого і Є {0,..., d} и для любых двух пар вершин (и, w) и (у, z) с d(u,w) = d(y,z) = і найдется автоморфизм g графа Г такой, что {и9 ,wg) = (y,z). Если G — группа автоморфизмов графа Г, а — вершина Г, то через Ga обознается стабилизатор вершины а в группе G.

Геберно симметричные полутреугольные графы Хигмена

Вторая глава диссертации посвящена исследованию групп автоморфизмов графов. При этом применялся метод Хигмена, основанный на целочисленности характеров мономи-альных представлений указанных групп автоморфизмов. Графу Г соответствует симметричная схема отношений (X, {RQ, RI, R2}), где Ro — отношение равенства на множестве вершин X графа Г, R\ — отношение смежности вГ, i?2 — отношение смежности в дополнительном графе Г. Для автоморфизма g графа Г через oij(g) обозначается число вершин и Є Г таких, что (и,ид) Є Rj. Данный метод позволяет определить возможные простые делители порядка исследуемой группы. В дальнейшем анализируется перестановочность элементов простых порядков с помощью комбинаторных и теоретико-групповых рассуждений. В работе были исследованы автоморфизмы полутреугольных графов Хигмена и дистанционно-регулярного графа с массивом пересечений {15,12,6; 1,2,10}.

Полутреугольным графом Хигмена назовем сильно регулярный граф 1 с v = 0 и k = 2{m— 2). Интерес к таким графам обусловлен результатом Д. Хигмена ([?]), который, изучая графы ранга 3, показал, что если G — группа подстановок ранга 3 степени . , т 5 с подстепенью 2{т — 2), то либо G изоморфна 4-транзитивной подгруппе из Sm, действующей на 2-элементных подмножествах, либо G изоморфна подгруппе РГЬг(8) из Sg, действующей на 2-элементных подмножествах, либо выполняется одно из утверждений:

Позднее, в [?] были классифицированы графы ранга 3 и в случаях (1-3) имеется единственный граф с ц = 6, т = 9, реализуемый с помощью группы G2(2) . Фактически, в [?] было доказано, что сильно регулярный граф Г с v = ("2) и к = 2(т—2) либо изоморфен треугольному графу Т{т) или одному из графов Чанга, либо выполняется одно из утверждений (1-3), либо /х = 6,т=7иГ изоморфен дополнительному графу к Т{7). Результаты второй главы связанные с условиями (1-3) приведены в следующих теоремах: Теорема 2.1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (36,14,4,6), G = Aut(r), д — элемент простого порядка р из G и Fix(g) = П. Тогда выполняется одно из следующих утверждений: (1) Q — пустой граф, р = 2 или 3 и а\(д) = 6г; (2) Q является 1-кликой, р = 7 и а\(д) = 14 или 3-кликой, р = 3 и а\(д) = 6г; (3) Q является l-кокликой, р = 2 и І Є {4, 6, 8}; (4) р = 3, Q С а± для некоторой вершины a, Q(a) является 2 х А-решеткой (и в этом случае а\(д) = 0) или Q является объединением двух или трех изолированных треугольников; (5) р = 2, П 18, степень вершины в графе П четна и меньше 14. Теорема 2.2. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (136,30,8,6), G = Aut(r), g — элемент простого порядка р из G и Fix(g) = П. Тогда выполняется одно из следующих утверждений: (1) П — пустой граф, р = 2 и а\(д) = 20г + 4 или р = 17 и а\(д) = 34; (2) П является 1-кликой и р = 3, 5 или П является 3-кликой, р = 7 и а\(д) = 70г + 42 или П является А-кликой, р = 3 и а\(д) = ЗОг + 12 или П является 7-кликой, р = 3 и а\(д) = ЗОг + 24; (3) П является t-кокликой, р = 3 и t Є {4, 7,10,13,16} или р = 2 и t Є {6, 8,10,16}; (4) П не является пустым графом, кликой или кокликой, иp Є {2,3}. Теорема 2.3.Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (351,50,13,6), G = Aut(r), g — элемент простого порядка р из G и Fix(g) = П. Тогда порядок группы Ga не делится на 25 и выполняется одно из следующих утверждений:

Следствие 2.1. Сильно регулярный граф с параметрами (378,52,1,8) не является реберно симметричным. Теорема 2.7. Пусть Г — сильно регулярный граф с v = ("!),к = 2(га — 2) и и = 8. Г Если те = 36, G = Aut(r), д — элемент простого порядка р из G и П = Fix(g). Тогда 7г(С) С {2,3,5,7,17} и выполняется одно из следующих утверждений: (1) П — пустой граф, либо р = 3 и «і(с?) = 51г + 12, либо р = 5 и a\(g) = 85s — 5, либо р = 7 и а\(д) = 119 + 63; (2) П является т-кликой, либо те = 1, р = 17 и а\(д) Є {34,323,612}, либо га = 3, р = 3 и а\(д) = 51г + 27 или р = 11 и а\(д) = 187г + 44; (3) П является 21-кокликой, р = 2, 2 / 33 и а\(д) = 34г + 10/ + 12; (4) р = 3, степень любой вершины в П не меньше 8, но не больше 38 и 36 П 78; (5) р = 2, степень любой вершины в П не меньше 6, но не больше 44 и П 80. Следствие 2.2. Сильно регулярный граф с параметрами (630,68,1,8) не является реберно симметричным. Теорема 2.8. Пусть полутреугольный граф Хигмена Г является реберно симметричным. Тогда либо ц = 4 и Г является треугольным графом, либо ц = 6 и га равно 7 или 9. Исследование дистанционно-регулярного графа с массивом пересечений {15,12, 6; 1, 2, 10} представляет интерес ввиду результата из [?], где были найдены массивы пересечений дистанционно регулярных локально циклических графов с числом вершин не большим 1000.

Графы, в которых окрестности вершин являются кликовыми расширениями решеток

В третьей главе диссертации исследуются графы с заданным локальным строением. Пусть Т — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально -графом, если [а] лежит в Т для любой вершины а графа Г. Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется а-частичной геометрией порядка (s,t), если каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих L (обозначение pGa(s,t)). В случае а = 1 геометрия называется обобщенным четырехугольниками обозначается GQ(s,t). Точечным графом (графом прямых) геометрии точек и прямых называется граф, вершинами которого являются точки (прямые) геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой (содержат общую точку). Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pGa(s,t) сильно регулярен с параметрами: v = (s + 1)(1 + st/a), k = s(t + 1), Л = (s — 1) + (a — l)t, ц = a(t + 1). Сильно регулярный граф, имеющий вышеуказанные параметры для некоторых натуральных чисел a,s,t, называется псевдогеометрическим графом для pGa(s,t).

Граф на множестве пар X х Y называется р х q-решеткой, если \Х\ = р, \Y\ = q, а пары (x\,yi) и (ж2,уг) смежны тогда и только тогда, когда х\ = Х2 или у\ = у2. Треугольным графом Т{т) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вершин, \Х\ = т и пары {а,Ь}, {с, d} смежны только, если они имеют единственный общий элемент.

Графом Джонсона J(n, т) называется граф, вершинами которого являются т-подмно-жества данного г-множества X, и вершины a, b смежны тогда и только тогда, когда они пересекаются по (т — 1)-множеству (очевидно Т(п) совпадает с J(n, 2)). Частным графа Джонсона J(2m,m) назовем граф J(2m,m), полученный отождествлением каждого т-множества с его дополнением.

Граф Грассмана Jq(n,m), 2 т п в качестве вершин имеет m-мерные подпространств заданного п-мерного пространства V над конечным полем порядка q, причем вершины а и 6 смежны, если размерность а Г) b равна т — 1. Диаметр Jq(n,m) равен 2 только в случае т = 2.

Заметим, что в графе Грассмана Jq(n,m) окрестность каждой вершины является кли-ковым -расширением решетки. При изучении графов без корон, в которых /х-подграфы являются регулярными графами заданной положительной степени (см. [?], [?]) наибольшие трудности вызвал случай, когда окрестность каждой вершины является кликовым (3 расширением р х д-решетки.

Через Ктп будем обозначать полный двудольный граф с долями порядков т, п. Результаты, касающиеся графов, у которых окрестности вершин являются решеткой или кликовым расширением решетки, приведены в следующих теоремах. Теорема 3.1. Пусть Г - сильно регулярный локально р х q граф. Тогда либо ц = 2р, р)ф 1(4), либо Г = J(10,5), либо Г - лестничный граф (объединение изолированных ребер).

Теорема 3.3. Пусть Г — сильно регулярный граф с отрицательным собственным значением —т, в котором окрестность каждой вершины является кликовым /3-расшире-нием р х q-решетки, 2 р q. Тогда выполняются следующие утверждения: (1) число вершин в максимальной клике L графа Г равно 1 + (3q или 1 + /Зр, и (Ь,В) является (г , b, г, fc, Л) схемой, где В — множество сингулярных прямых графа V, лежащих вЬ, k = /3-\-l, \= 1 и тройка (v,b,r) равна (1 + /3q,(l + /3q)q/(/3 + l),q) или (l-\-/3p,(l-\-/Зр)р/(/3-\-1),р) соответственно, в частности, /З + 1 делитр(р—1) uq(q-l); (2) для двух несмежных вершин a, b любая строка (любой столбец) решетки, отвечающей [а], содержит 0 или /3 + 1 вершин из [Ь] и ц = t(/3 + 1), где (3 + 1 t р; (3) если р q, то число (1 + (3q)-KAUK в графе Г равно pv/(l + /3g) и 1 -\- /3q делит р(р— l)([i—p-\-l), а число (1 + /Зр)-клик равно qv/(l + /Зр) и 1 + /Зр делит q(q—l)([i — q-\-l), если р = q, то 1 + /Зр делит 2(р — t)(p — 1, /3 + 1)(р + 1, /3 — 1); (4) если t = /3 -\- I, то [а] П [6] является t х t-решеткой и Г является треугольным графом Т{т), т 4; графом J(10,5) шга графом Грассмана Jt-i(n,2), п 4; (5) если т = р — и, то t р — и, причем равенство достигается лишь при и = 0, в частности, t ф р — 1 и если t = р — 2, то т = р — I, (2/3 + 1)(р — 2) = /3(q — 1) и /3 + 1 делит 2(р — l,q); (6) если t = р, то т = р и (і) Г является псевдогеометрическим графом для pG/3-\-i(/3q,p — 1) и (/Зд +р — /3 — 1)(/3 + 1) делит р(р — l)/3q(/3q + 1), (И) если р q, то Г является геометрическим графом и каждый ц-подграф в графе прямых данной геометрии является объединением непересекающихся (/3 + 1) х (/3 + 1) решеток, /3 + 1 делит q — 1 и р/3 + 1 делит q(q — l)(/3q + 1); (ш) если р = q, то (/3 + I)2 делит р2{р(3 + 1).

Теорема 3.4. Пусть Г — сильно регулярный граф, в котором окрестность каждой вершины является кликовым (3 расширением р х q-решетки, 2 р д. Если р 6, то выполняется одно из следующих утверждений:

В работах [?],[?], [?] изучены графы, в которых окрестности вершин являются псевдогеометрическими графами для pGs_2(s, t). В третьей главе диссертации были исследованы вполне регулярные графы, у которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами v = (2s2 + 5s + 3)/3, к = (2s2 — 4s)/3, Л = (2s2 — 13s + 24)/3, \i = (2s2 — 10s + 12)/3, и s = — 1 (mod 3).

Теорема 3.5. Пусть Г — связный граф, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами v = (2s2 + 5s + 3)/3, k = (2s2 — 4s)/3, Л = (2s2 — 13s + 24)/3, \i = (2s2 — 10s + 12)/3, и s = — 1 (mod 3). Тогда Г не является вполне регулярным графом.

Классификация дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы с неглавным собственным значением 2 завершена в [?].

Отметим, что методы исследования группы автоморфизмов, описанные во втором разделе диссертации будут очень полезны при характеризации групп, содержащих циклическую Т/-подгруппу А и имеющих симметричный граф коммутирования. Достижению этой же цели будут служить и способы получения параметров графа на основе его локальной структуры. Это связано с тем, что в графе коммутирования окрестность вершины связана со строением централизатора инволюции из A, что позволяет применить к исследуемой группе методы локального анализа.