Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена изучению простых супералгебр Ли и алгебр Ли Каиа-Муди.й те. и другие алгебры являются обобщением класса полупростых конечномерных алгебр Ли и встречаются во многих областях математи ки и физики.
Основное достижение теории простых супералгебр Ли - их классификация над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 - было получено В.Кацем. Эта классификация существенно опирается на понятие градуированной алгебры и весьма нетривиальна. Поиск альтернативных подходов к классификации простых супералгебр Ли актуален, так как позволил бы прояснить их природу и структуру, а может быть и помог в классификации этих алгебр над полем характеристики р > 0. В данной диссертации описаны все простые супералгебры Ли, допускающие градуировки специального вида. Отметим, что изложение не опирается на классификацию простых супералгебр Ли и ''мало" зависит от характеристики поля.
Алгебры Ли Кана-Myдп являются бесконечномерным обобщением простых конечномерных алгебр Ли, что становится особенно явным,если вспомнить известное задание простой конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 порождающими и соотношениями , данное Серром. Алгебры Ли Каиа-Муди распадаются на три класса: конечномерные, аффинные и неопределенные. В свою очередь аффинные алгебры делятся на два подкласса: скрученные, и нескрученные. Нескрученные аффинные алгебры строятся непосредственно по простым конечномерным алгебрам, а скрученные по паре: простая конечномерная алгебра Ли и ее внешний автоморфизм. Задача нахождения базиса скрученных аффинных алгебр, удобного и простого - остается актуальной.
Среди алгебр Каца-Муди наиболее сложно устроены неопределенные алгебры. Простейшим примером таких алгебр являются гиперболические алгебры ранга 2. Изучением структуры таких алгебр занимались В.Кац, Р.Мудп, Дж.Леповски, С.Канг и другие. Этими авторами получены глубокие результаты по структуре группы автоморфизмов и корневых подпространств алгебр Ли Капа-Мудн. Но ввиду сложности объекта поток работ по данной теме не прекращается по настоящее время, многие естественные вопросы еше ждут своего решения.' В настоящей диссертации изучаются гиперболические алгебры Ли ранга 2
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение структуры алгебр Ли Каца-Муди и про-тых конечномерных супералгебр Ли как модулей над своими подалге-, ами. изоморфными простой 3-мерной алгебре Ли.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА и ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ/ Все основные результаты диссертации являются вовыми.габота носит теоретический характер, ее результаты- моі'ут быть использованы при дальнейшем изучении алгебр Ли Капа-Мудя и простых супералгебр Ли.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ и ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] и [2] п докладывались на 3-й международной конференции по неассоцнативной алгебре (Овпедо, Испания, 1993 г.), на Всероссийской научной студенческой конференции (Новосибирск. НГУ, 1993 г.), на семинаре "АЛГЕБРА и ЛОГИКА" (НГУ), на семинаре "Теория колец" имени А.И.Ширшова, на алгебраических семинарах Московского и Омского государственных универ-си'і-:тов, а также университетов Овиедо и Сарагосы (Испания).