Гипотеза Кервера-Лауденбаха и уравнения над группами Клячко, Антон Александрович

Введение к работе

іКТуаЛЬНОСТЬ Темы. Вопрос о том является ли система уравнений азрешимой над группой представляется весьма сложным даже в лучае одного уравнения с одним неизвестным. Имеются примеры етривиальных уравнений неразрешимых над группой. Простейший ласе таких примеров составляют уравнения вида

(u(t))-¹gu(t)=g₂

где g , g 6 G - элементы разных порядков. Некоторое время не

ыло известно других примеров (см. [2]), В настоящее время звестны более изощренные примеры (смотрите [19]) Полной лассификации неразрешимых уравнений не существует даже для руппы 2 .

Отметим наиболее известные результаты о разрешимости равнений над группами.

Г.Хигмэн, Х.Нейман и Б.Нейман доказали разрешимость над роизвольной группой G систем вида

{t^_1pt = р*. рЄР}

где Р и Р^ - пара изоморфных подгрупп группы G, ф -гзоморфизм.

р і > _G

Из конструкции О. Шрейера свободного произведения с (бъединенной подгруппой следует, в частности, разрешимость

'равнений вида х =g

Значительным усилением этого результата является теорема >.Левина [18] о разрешимости над любой группой G любого ^гравнения вида

g tg t. . . g t=1

Пусть a : G*F(x x ) —> Ж

есть отображение, заданное формулами

0-^)=0, 0-^)=1, cr^x )=0 (при i*d)

Система уравнений над группой G

' w (x , . . . X ) = 1

1 I ' n

_w w (x, ... X ) =1

называется невырожденной, если невырождена" матрица (о (w

М.Герстенхабер и О.С.Ротхауз [12] доказали разрешимость невырожденных систем над группами, локально аппроксимируемыми связными компактными группами Ли, в частности над конечными группами.

С.Д.Бродский доказал разрешимость любого (одного) нетривиального уравнения над локально индикабельной группой, т.е. над группой, каждая конечно порожденная подгруппа которой имеет эпиморфизм на Z.

Дж.Хауи ( [14] > [15]) доказалразрешимостьнадпроизвольной

группой любого нетривиального уравнения вида (u(t)) = 1 прик>4-Уравнения такого типа при к>2 и u(t) не сопряженным с элементами из G называются степенными. Егоров [1] установил разрешимость таких уравнений для к=3 при отсутствии 2- и 3-кручений в группе G.

Дж.Р.Столлингс [23] доказал разрешимость над группой без кручения уравнений вида

g tg t. . . g t = tg't ...g'tg'

М.Еджвет [7] доказал разрешимость уравнений вида

at^k=t^xb при к 1, кроме случая, когда

'|<а>|=2

- |<Ь>|=3 (и симметричного случая).

Большинство из упомянутых теорем, а также многочисленные более специальные утверждения, не вошедшие в этот краткий обзор, были в значительной степени стимулированы стремлением доказать или опровергнуть три известные гипотезы, к описанию которых мы теперь переходим.

1. гипотеза Кервера-Лауденбаха.

2. Над группой без кручения разрешимо любое уравнение.

3. Степенное уравнение разрешимо над любой группой.

О гипотезе Кервера-Лауденбаха следует сказать подробнее, этот термин служит для обозначения трех различных утверждений, усиливающих друг друга.

1а (Классическая версия.). Если группа G нетривиальна, то группа Н = ; v(t) = 1> также нетривиальна.

16 Всякое невырожденное уравнение над любой группой разрешимо над ней.

1в Всякая невырожденная система уравнений над любой группой разрешима над ней.

Классическая версия 1а наиболее известна, в такой форме она содержится в известных монографиях [2], [3] > [4].

Следующее утверждение показывает, каким образом гипотеза 1а звязана с уравнениями.

Гипотеза 1а эквивалентна следующему утверждению:

над любой группой G разрешимо всякое уравнение w(t)=1 с здиничной суммой показателей.

Гипотеза Кервера-Лауденбаха наиболее знаменита, ее іритягательность объясняется, в частности, тем, что впервые она юявилась в топологии (в теории узлов). В разное время зпециалистамибыливысказанынесколькопредположений (некоторые -із них имеют чистб геометрическую формулировку), из которых зледовалабыгипотезаКервера-Лауденбаха. Примечательно, чтовсе эти предположения оказались ложными [11].

Из приведенного выше краткого обзора видно, что лишь гипотеза 3 может считаться близкой к тому, чтобы быть указанной. Упорное сопротивление первой и второй гипотезы привело к возникновению такого направления, как исследование сравнений малых длин. Под длиной уравнения

(4) g^ig^a. . . g_ktⁿ_k = 1 (п<Е 1)

понимается у |n |

Под слоговой длиной уравнения (4) понимается число 2к, если 5апись (4) циклически несократима и g 1 в G.

На сегодняшний день здесь известно следующее.

Гипотеза 16 верна для уравнений длины не превосходящей іетьірех [13] j [9]. Имеется. ряд частичных результатов об сравнениях длины 5 [17], [8].

Гипотеза 1в верна для систем из двух уравнений, длины ;оторых не превосходят трех [17] . Этот результат представляет інтерес в связи с замечанием С.М.Герстена [10] о том, что

гипотезу їв достаточно доказать для систем, состоящих из уравнений, длины которых не превосходят трех.

Гипотеза 2 доказана для уравнений длины не превосходящей шести [24] и для вырожденных уравнений, слоговая длина которых не превосходит четырнадцати [6]. ' -

Теория уравнений над группой не исчерпывается доказательством различных достаточных условий разрешимости. Изучается поведение универсальных групп решений различных типов уравнений, их алгебраические и алгоритмические свойства ( [5] , [в], [16]).

Рассмотрение уравнений естественным образом приводит к понятию алгебраически замкнутой группы. Такие группы, как оказалось обладают во истину удивительными алгоритмическими свойствами ([22], [21], [20], [2]).

ЦбДЬ работы. Получение новых результатов о разрешимости уравнений над группами.

Научная НОВИЗНа. Все результаты диссертации являются новыми.

В качестве основных результатов настоящей работы упомянем следующие две теоремы.

ТеоремаА. Еслигруппав без кручения, v(t) 6G* \G, тс

система уравнений

{v(t)g = gv(t), g 6 G}

разрешима над G.

ХЄОрема Б. Гипотеза la верна для групп без кручения.

МеТОДЫ ИССЛеДОВаНИЯ. Используются геометрические методы, основанные на лемме Ван Кампена.

НаУЧНаЯ И Практическая ЦеННОСТЬ. Диссертация имееі теоретический характер, ее результаты могут быть полезш специалистам по теории групп.

АпробаЦИЯ рабОТЫ. Результаты диссертации докладывалис] на семинаре по теории групп в МГУ, на семинаре по алгебре в UTI и на III международной конференции по алгебре в Красноярске (1993).

Публикации. Результаты диссертации опубликованыв работа автора, перечисленных в конце настоящего автореферата.

СТРУКТУРа И Объем ДИССертаЦИИ. Диссертация состоит и: введения, двух глав и списка литературы. Общий объем работы 9! стр. Библиография содержит 38 наименований.