Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 5
1.1. Гиперкомплексные структуры на многообразиях 5
1.2. Связность Обаты 12
1.3. HKT-многообразия 17
1.4. Калибрации 19
Глава 2. Голономия связности Обаты на группе 23
2.1. Голоморфное касательное расслоение и связность Обаты . 23
2.2. Гиперкомплексные структуры на группах Ли 28
2.3. Голономия связности Обаты 30
Глава 3. Подмногообразия гиперкомплексных многообразий с голономией 41
3.1. Пространство твисторов гиперкомплексного многообразия . 41
3.2. Семейство калибраций на -многообразиях 44
3.3. Подмногообразия в многообразиях 49
Глава 4. Голоморфные лагранжевы расслоения на гиперком плексных многообразиях 55
4.1. Кватернионный комплекс Дольбо 56
4.2. Голоморфная лагранжева калибрация 58
4.3. Голоморфные лагранжевы расслоения на -многообразиях 61
4.4. Примеры лагранжевых расслоений 64
Литература 68
- Гиперкомплексные структуры на многообразиях
- Гиперкомплексные структуры на группах Ли
- Семейство калибраций на -многообразиях
- Голоморфная лагранжева калибрация
Введение к работе
Актуальность темы исследований.
Работа посвящена изучению гиперкомплексных многообразий. Рассмотрим компактное дифференцируемое многообразие М класса С00.
Определение 1.1. Гиперкомплексная структура на М — это тройка интегрируемых почти-комплексных структур I, J, К, удовлетворяющих соотношению
и = -Л = К.
При этом М называется гиперкомплекспым многообразием.
Гиперкомплексные многообразия являются кватернионным аналогом комплексных многообразий. Термин "гиперкомплексное многообразие" принадлежит Боеру, см. [4]. Сейчас известно довольно много примеров гиперкомплексных многообразий. Среди них гиперкэлеровы многообразия, многообразия Хопфа, левоинвариантные гиперкомплексные структуры на компактных группах Ли, построенные Джойсом [5], гиперкомплексные структуры на некоторых многообразиях Штифеля (см. [6]), гиперкомплексные нильмного-образия (см. [7]).
Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата, см. [8], [9], [10]. В работах Обаты эти структуры появились как результат изучения аффинных связностей на многообразиях с почти-комплексной структурой.
Пусть (М, /, J, К) - гиперкомплексное многообразие, V — аффинная связность на нем. Напомним, что кручение связности V — это тензор Т Є Л2М ТМ, определяемый формулой Т(Х, Y) = VXY - VyX - [X, Y] для любых векторных полей X, Y Є ТМ. Будем говорить, что связность V сохраняет гиперкомплексную структуру, если V/ = VJ = VK = 0. Одним из основных результатов, полученных в работе Обаты [8], было следующее утверждение.
Теорема 1.2 (Обата). На гиперкомплексном многообразии (М, I, J, К) существует единственная связность V, сохраняющая гиперкомплексную структуру и имеющая нулевое кручение.
Эта связность называется связностью Обаты.
Напомним определение группы голономии аффинной связности V на многообразии М. Зафиксируем точку х Є М и рассмотрим замкнутую петлю 7: [0,1] —> М, 7(0) = 7(1) = х- Параллельный перенос вдоль 7 определяет линейный оператор д1 Є GL(TXM). Группа, порожденная всеми такими операторами называется группой голономии связности V, будем обозначать ее Hol(V). Эта группа определена однозначно с точностью до сопряжения как подгруппа в GL(n,M), где п — размерность многообразия. Компонента связности единицы, обозначаемая Hoi (V), является подгруппой Ли в GL(n,M). Будем обозначать ее алгебру Ли через f)o((V). Будем говорить, что голономия является неприводимой, если ее тавтологическое представление, задаваемое вложением в GL(n, R), неприводимо. Подробнее о свойствах групп голономии см. [11], глава 10.
Если V — связность Обаты на гиперкомплексном многообразии, то Hol(V) С GL(n,H), так как V сохраняет гиперкомплексную структуру. Связность Обаты является незаменимым инструментом для исследования гиперкомплексных многообразий. Однако, даже в простейших примерах инварианты связности Обаты, такие как ее группа голономии, до сих пор не вычислены. Если (М, /, J, К) допускает гиперкэлерову метрику, то связность Обаты совпадает со связностью Леви-Чивита гиперкэлеровой метрики, и ее голономия является подгруппой в Sp(n). Верно и обратное: если на многообразии есть связность без кручения с голономией, содержащейся в Sp(n), то это связность Леви-Чивита для некоторой гиперкэлеровой метрики.
Вопрос о том, какие группы могут встречаться в качестве групп голономии аффинных связностей без кручения является одним из важнейших в дифференциальной геометрии. При классификации групп голономии естественно ограничиться случаем, когда представление голономии неприводимо. Для специального класса многообразий — симметрических пространств — ответ на этот вопрос был получен Эли Картаном, см. [11], раздел 10.G. Для многообразий, не являющихся симметрическими пространствами, существенное продвижение в вопросе классификации было сделано Берже в [12]. Работа Берже полностью завершила классификацию групп голономии метрических связностей на римановых многообразиях. Для случая неметрических голономии многообразий, не являющихся симметрическими пространствами,
классификация была завершена в 1999-м году, в работах Меркулова и Шва-хофера [13], [14].
Таким образом, сейчас известен полный список групп, которые могут быть неприводимыми группами голономии связностей без кручения, не являющихся симметрическими. Помимо самой группы GL(n,№) в списке неприводимых голономии встречаются некоторые ее подгруппы, а именно Sp(n) и SL(n,M). Для каждой из этих подгрупп известны примеры компактных многообразий со связностямп, голономии которых содержатся в этих подгруппах. Для Sp(n) это гиперкэлеровы многообразия, а для SL(n,M) это, например, нильмногообразия, см. [7]. Одним из результатов, доказанных в данной работе является теорема о том, что на группе SU(3) с гиперкомплексной структурой, построенной Джойсом в [5], голономия связности Обаты совпадает с GL(2,M).
Рассмотрим более подробно многообразия с голономией, содержащейся в SL(n,M). Напомним определение этой группы. Пусть (V,/, J, К) — ква-тернионное векторное пространство вещественной размерности 4гг. Группа GL(n,M) состоит из линейных преобразований пространства V, которые коммутируют с /, J и К. Рассмотрим разложение Ходжа V r С = V}' Vl' , где Vj' и Vj' — собственные подпространства оператора /, соответствующие собственным значениям %/—Ї и —^/—Т- Пусть А/1' V = A2n(Vj' ). Тогда SL(n, Ш) — это подгруппа, состоящая из тех элементов GL(n, Ы), которые действуют тождественно на А/1' V.
Определение 1.3. Если группа голономии Hol(V) связности Обаты па гиперкомплексном многообразии М содержится в SL(n,W), то будем говорить, что М является SL(n,M) -многообразием.
Для любого 5Ь(тг,Н)-многообразия связность Обаты, индуцированная на каноническом расслоении К(М,1) = А2п'(М,1), сохраняет ненулевое сечение. Из этого следует, что К(М, I) является тривиальным как голоморфное расслоение (см. [15]). В присутствии НКТ-метрики верно и обратное: любое компактное гиперкомплексное многообразие с тривиальным каноническим расслоением К(М,1) и с НКТ-метрикой удовлетворяет условию Hol(V) С SL(n, Ж). Это утверждение доказано в [15] с использованием теории Ходжа для НКТ-многообразий, построенной в [16]. В последней работе показано,
как для SL(n, Н)-многообразия с НКТ-метрикой построить аналог ходжева разложения для когомологий структурного пучка Н*{Ощ,і))- Отметим, что во всех известных на сегодняшний день примерах у SL(n, Н)-многообразий группа голономии является собственной подгруппой в SL(n,M).
Далее, мы напомним определение НКТ-метрики. Пусть (М, /, J, К) — гиперкомплексное многообразие и д — кватернионно-эрмитова метрика на нем. Рассмотрим эрмитовы формы:
ил(Х, Y) = g(IX, Y), ojj(X, Y) = g(JX, Y), ик(Х, Y) = д(КХ, Y).
Если любые две из этих форм замкнуты, то многообразие гиперкэлерово. Обозначим ilj = uj + \[—\ык. Легко проверить, что
Определение 1.4. Метрика д называется НКТ-метрикой (hyperkahler with torsion, гиперкэлерова с кручением), если 9J7/ = 0. В этом случае форма П/ называется НКТ-формой, а (М, I, J, К, д) — НКТ-многообразием.
НКТ-метрики были введены Хове и Пападопулосом в [17] (см. также [18]) и активно изучались после этого. Существование НКТ-метрики накладывает существенные ограничения на глобальную геометрию гиперкомплексного многообразия ([19], [7]).
После работы [18] стало ясно, как важны НКТ-метрики при изучении гиперкомплексных многообразий. В этой работе была показана связь между НКТ-метриками и связностями с кососимметрическим кручением.
НКТ-метрики имеют много общего с кэлеровыми метриками — они локально задаются потенциалом (см. [20]) и могут быть использованы для получения некоторых ограничений на когомологий многообразия.
В работе [16] Вербицкий развил теорию Ходжа для многообразий с НКТ-метрикой, которая оказалась весьма полезной для исследования гиперкомплексных многообразий. В данной работе мы используем теорию Ходжа для НКТ-многообразий при исследовании подмногообразий в гиперкомплексных SL(n, Н)-многообразиях, а также для изучения голоморфных лагранжевых расслоений на гиперкомплексных многообразиях.
Цели диссертационной работы:
Изучить связность Обаты для левоинвариантной гиперкомплексной структуры на группе Ли SU(3). Найти группу голономии этой связности.
Исследовать подмногообразия гиперкомплексного SL(n, Н)-многообра-зия. Доказать, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим.
Построить примеры многообразий, не допускающих НКТ-метрики. Изучить голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных SL(n, И)-многообразиях.
Результаты:
Получено явное выражение для связности Обаты на гиперкомплексном многообразии. Доказано, что голономия связности Обаты на группе SU(3) с левоинвариантной гиперкомплексной структурой неприводима. Учитывая это, доказано, что группа голономии на этом многообразии равна GL{2,M).
Рассмотрены гиперкомплексные SL(n, Ы)-многообразия с НКТ-метри-кой. Доказано, что для общей комплексной структуры в твисторном семействе соответствующее комплексное многообразие не имеет дивизоров, а все подмногообразия коразмерности два являются трианали-тическими. Из этого, в частности следует, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим, а пространство тви-сторов не допускает кэлеровой метрики. Кроме того, без предположения о существовании НКТ-метрики, доказано, что для общей комплексной структуры в твисторном семействе соответствующее комплексное многообразие не имеет голоморфных лагранжевых подмногообразий.
Рассмотрены голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных многообразиях. Доказано, что если тотальное пространство такого расслоения допускает НКТ-метрику, то база расслоения является кэле-ровым многообразием. С использованием этого результата построены
примеры пгаеркомплексных многообразий, не допускающих НКТ-мет-рик.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории групп Ли, комплексной алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии.
Апробация работы. Работа была поддержана грантом ag. 11.G34.31.0023 лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений (НИУ-ВШЭ) и фондом Д. Зимина "Династия". Результаты диссертации докладывались:
На летней школе по алгебраической геометрии и комплексному анализу, Ярославль, май 2011 г.
На семинаре отдела алгебры МИАН им. В.А.Стеклова РАН, Москва, 6 марта 2012 г.
На международной конференции "Hyperkahler manifolds", Banach Center IMPAN, Варшава, апрель 2012 г.
На семинаре по многомерному комплексному анализу (семинаре Витуш-кина), МИАН им. В.А.Стеклова РАН, Москва, 26 сентября 2012 г.
На семинаре кафедры высшей геометрии и топологии (семинаре Постникова), мех-мат МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 11 марта 2014 г.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в двух печатных работах [1, 2] в рецензируемых журналах, работа [3] принята к печати в рецензируемом журнале и опубликована в электронном виде.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии. Общий объем диссертации 74 страницы. Библиография включает 66 наименований на 7 страницах.
Гиперкомплексные структуры на многообразиях
В дальнейшем мы будем всегда рассматривать дифференцируемые многообразия без края, класса С. Все расслоения и их сечения также будут предполагаться бесконечно гладкими. Пусть М — такое многообразие. Касательное расслоение к М будет обозначаться через ТМ, кокасательное — А1М, расслоение внешних к-форм — АкМ. Мы будем обозначать пространство сечений расслоения тем же символом, что и само расслоение, например, запись UJ Є АкМ означает, что и — это внешняя /с-форма на М.
Одним из основных объектов для нас будут почти-комплексные структуры на многообразии М. Напомним, что почти-комплексная структура на М — это эндоморфизм /: ТМ — ТМ, для которого I2 = —Id. Любое комплексное многообразие (то есть многообразие, атлас которого состоит из областей в Сп с голоморфными функциями перехода) обладает почти-комплексной структурой. Обратное верно только при дополнительных условиях на почти-комплексную структуру. Коротко напомним, в чем они состоят (подробности см. в [8], глава 2).
Тензор Нийенхейса для почти-комплексной структуры / можно определить следующей формулой:
Если тензор Нийенхейса равен нулю, то почти-комплексная структура назы вается интегрируемой. Несложно проверить, что на комплексном многообразии соответствующая почти-комплексная структура интегрируема. Более того, имеет место следующая фундаментальная теорема Ньюлендера и Ни-ренберга (см. [8], 2.12):
Теорема 1.1.1 (Ньюлендер-Ниренберг). Пусть I — почти-комплексная структура на многообразии М. Тогда условие Nj = 0 равносильно тому, что (М, /) — комплексное многообразие.
Гиперкомплексные многообразия являются кватернионным аналогом комплексных многообразий (можно также рассматривать разные кватерни-онные аналоги кэлеровых многообразий — гиперкэлеровы, либо HKT-мно-гообразия, об этом речь пойдет ниже). При этом известно довольно много примеров гиперкомплексных многообразий (в отличие от гиперкэлеровых), но их теория не так хорошо разработана.
Заметим, что гиперкомплексная структура естественным образом задает действие алгебры кватернионом ІИ в касательном расслоении к М. При этом каждый единичный чисто мнимый кватернион определяет некоторую комплексную структуру на М (интегрируемость этой структуры следует из существования связности Обаты, см. следующий раздел). Таким образом, на каждом гиперкомплексном многообразии есть семейство почти-комплексных структур, параметризованное точками двумерной сферы. Напомним, что группа (,H) определяется как группа линейных преобразований пространства H, коммутирующих с действием кватернионов. Отметим, что гиперкомплексная структура задает на многообразии (, H)-структуру, то есть редукцию главного расслоения реперов к группе (, H), см. [43]. При этом каждое касательное пространство приобретает структуру H-модуля. Из этого следует, что вещественная размерность гиперкомплексного многообразия кратна четырем.
Термин “гиперкомплексное многообразие” принадлежит Боеру, см. [10], и мы будем придерживаться этой терминологии, хотя в более ранних работах такие многообразия назывались иначе.
Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата, см. [35], [36], [37], [38]. В работах Обаты эти структуры появились как результат изучения аффинных связностей на многообразиях с почти-комплексной структурой. В работе [36] Обата изучал группу аффинных автоморфизмов связности, сохраняющей почти-комплексную структуру (то есть диффеоморфизмов многообразия, сохраняющих данную связность). В отличие от случая связности Леви-Чивита на римановом многообразии, оказалось, что эта группа не обязана сохранять заданную почти-комплексную структуру. В предположении, что голономия данного многообразия неприводима, Обата показал, что централизатор действия группы голономии может быть изоморфен либо алгебре, порожденной данной почти-комплексной структурой, либо алгебре кватернионов. В последнем случае на многообразии должна существовать вторая почти-комплексная структура, антикоммутирующая с первой. Таким образом, Обата пришел к понятию (почти-)гиперкомплексной структуры (он называл такие структуры кватернионными).
В работе [35] Обата изучал различные связности, ассоциированные с (почти-)гиперкомплексными структурами и доказал, среди прочего, что на гиперкомплексном многообразии существует и единственна связность без кручения, которая сохраняет гиперкомплексную структуру (связность Обаты). Мы рассмотрим более подробно эту связность в следующем разделе.
В работах [37], [38] Обата изучал группы автоморфизмов гиперкомплексных структур и гиперэрмитовы метрики на гиперкомплексных многообразиях. Он доказал, в частности, что все автоморфизмы гиперкомплексных структур являются аффинными преобразованиями, а также, что гиперэрмитова метрика является гиперкэлеровой (то есть кэлеровой относительно всех комплексных структур) тогда и только тогда, когда связность Обаты совпадает со связностью Леви-Чивита.
Важные продвижения в исследовании гиперкомплексных многообразий были сделаны Соммезе в работе [50]. Он использовал другое, более жесткое, чем Обата, определение гиперкомплексной структуры. А именно, Соммезе рассматривал только те гиперкомплексные многообразия, которые локально изоморфны ЕР и с функциями перехода, сохраняющими гиперкомплексную структуру. Это определение означает, что соответствующая GL(n,M)-структура является интегрируемой. В современной терминологии такие многообразия называются плоскими гиперкомплексными, поскольку данное условие эквивалентно занулению кривизны связности Обаты, см. [43], стр. 48.
Соммезе получил несколько интересных результатов о плоских гиперкомплексных многообразиях и сформулировал ряд открытых проблем. Он подробно исследовал геометрию твисторного семейства плоского гиперкомплексного многообразия (мы обсудим определение и свойства твисторных семейств ниже) и доказал, что оно обладает интегрируемой комплексной структурой. Соммезе показал, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим многообразием (обобщение этого утверждения будет получено в главе 3). Кроме того, Соммезе заметил, что тотальное пространство твисторного семейства не может быть кэлеровым, и с помощью этого построил пример комплексной структуры на торе вещественной размерности 6, не допускающей кэлеровой метрики (и следовательно, не изоморфной структуре комплексного тора С3/Л). В упомянутой работе Соммезе [50] был поставлен вопрос о классификации гиперкомплексных многообразий вещественной размерности 4. Ответ на этот вопрос для плоских гиперкомплексных многообразий был получен Като [31]. Такими многообразиями оказались комплексный двумерный тор и некоторые поверхности Хопфа. Напомним, что поверхность Хопфа — это компактный фактор С2\{0} по конечно-порожденной группе биголоморфных автоморфизмов, действующей свободно и вполне разрывно. Като приводит список таких групп, для которых соответствующая поверхность Хопфа обладает гиперкомплексной структурой. Работа Като использует весьма сложную классификацию комплексных поверхностей. Более прямое доказательство было получено Боером в работе [10]. Боер дал полную классификацию гиперкомплексных многообразий вещественной размерности 4, без предположения о том, что гиперкомплексная структура должна быть плоской. При этом список Като пополнился іСЗ-поверхностями — единственными неприводимыми гиперкэлеровыми многообразиями вещественной размерности 4.
Гиперкомплексные структуры на группах Ли
В этом разделе приводится конструкция однородных гиперкомплексных структур на компактных группах Ли. Мы следуем работе Джойса [29]. Пусть G - компактная полупростая группа Ли с алгеброй Ли д. Обозначим через і С 0 максимальную торическую подалгебру.
Первый шаг при построении гиперкомплексной структуры на G состоит в том, чтобы записать следующее разложение для д ([29], лемма 4.1):
Здесь b - абелева подалгебра, X k – подалгебры, изоморфные ш(2), и f& -подпространства в 0, обладающие следующими свойствами:, так что к действует на fk. Требуется чтобы fk было изоморфно (как ш(2)-модуль) прямой сумме нескольких копий С2 со стандартным действием 5и(2) умножением слева.
Заметим, что c 0u(l) su(2)u(l) можно отождествить с алгеброй кватернионов E. Поскольку подалгебра Ь изоморфна прямой сумме нескольких копий и(1), мы можем (возможно, после добавления нескольких дополнительных копий и(1), т.е. умножая G на некоторое число окружностей 5 1) отождествить Ь0ф =1 Х к с Нт для некоторого т. Обозначим через Ik-,Jk-, &к элементы X k, соответствующие стандартным мнимым кватернионам при отождествлении c 0u(l) Ш. Определим три комплексных структуры /, J, К Є End(0) следующим образом: действие /, J, К на Ь 0 ф/!=і Ок — Ит задается умножением слева на соответствующий мнимый кватернион, а действие на fk определяется по формулам для X Є fk. Эндоморфизмы /, J, К определяют три левоинвариантных почти-комплексных структуры на G. Как показал Джойс ([29], лемма 4.3), они интегрируемы и удовлетворяют кватернионным соотношениям. Это задает гиперкомплексную структуру на G.
Нас интересует случай G = SU(3). Алгебра Ли д - это алгебра косо-эрмитовых матриц размера 3 х 3 с нулевым следом. Можно записать такую матрицу в следующем виде: где D Є u(2), / Є С2 - вектор-столбец, а Ь Є С удовлетворяет соотношению tr(D) + 6 = 0. Описанное выше разложение алгебры д принимает вид д = b0"D0f где д состоит из матриц с нулевыми / и 6, f — из матриц с нулевыми D и 6, а Ь состоит из диагональных матриц, коммутирующих с д. Заметим, что присоединенное действие Ь сохраняет f, и что [f, f] С Ь 0 "D. Таким образом, мы имеем Ж/2Ж-градуировку: 0 = 0о 0 01, где 0о = Ь 0 Ъ и 0i = f.
Необходимо также отметить, что можно выбрать изоморфизм ЬфЪ — Н, а также соответствующую гиперкомплексную структуру таким образом, что форма Киллинга будет кватернионно-эрмитовой, то есть эрмитовой относительно всех комплексных структур. Это задает на группе G структуру HKT-многообразия, см. [21].
Рассмотрим группу Ли G = SU(3) с описанной выше гиперкомплексной структурой. Алгебра Ли группы G является Ж/2Ж-градуированной: Q = 0о 0 01. При этом 0о — 5и(2) 0 u(l) мы будем отождествлять с алгеброй кватернионов Н, а 0i будем рассматривать как 0о-модуль с действием Н, полученным из присоединенного действия 0о, как это описано в предыдущем разделе.
Мы будем рассматривать элементы алгебры 0 как левоинвариантные векторные поля на G. Обозначим через Е элемент подалгебры 0о (и соответствующее векторное поле), который соответствует — 1 є Н при изоморфизме 0о — E. Мы будем называть Е векторным полем Эйлера.
Также выберем какой-нибудь ненулевой элемент W Є Q\. Тогда (,W) задают базис над Ш в алгебре 0. В этих обозначениях действие Ш на 0i задается следующим образом:
Замечание 2.3.1. Заметим, что подгруппа Go соответствующая подалгебре 0о изоморфна группе 577(2) х U(1) и является гиперкомплексным подмногообразием в G. Если отождествить QQ с алгеброй кватернионов Н, то гиперкомплексная структура задается кватернионным умножением слева. Из формулы (2.1.4) следует, что связность Обаты в этом случае записывается так: для любых X, Y Є 0о. Здесь означает умножение в EI о± QQ. Легко проверить, что в этом случае связность Обаты на Go является плоской. Группа Go — SU(2) х U(1) диффеоморфна многообразию Хопфа (К4\{0})/, где - бесконечная циклическая группа, порожденная гомотетией z ь- Xz для некоторого А Є К о, А = 1. Векторное поле на Go, соответствующее 8 Є 0о, поднимается до обычного поля Эйлера на М4\{0}, которое порождает поток гомотетий.
Примечательно, что Эйлерово векторное поле 8 на SU(3) обладает некоторыми полезными свойствами, как будет показано в следующем предложении. Отметим, что поле 8 уже встречалось в работе [41], хотя наши обозначения немного отличаются от обозначений в этой статье.
Семейство калибраций на -многообразиях
Ниже дается определение кватернионного комплекса Дольбо. Наше изложение следует работе [64], хотя этот комплекс появился еще в работах Са-ламона (см., например [14]).
Пусть (М, /, J, К) — гиперкомплексное многообразие, diniR М = 4п. Гиперкомплексная структура задает естественное действие группы 577(2) С Н на внешней алгебре Л (М).
Как известно, каждое неприводимое комплексное представление группы SU(2) является симметрической степенью Sl(Wi), где W\ — это стандартное двумерное представление. Будем говорить, что представление U имеет вес і, если оно изоморфно Sl(W\). Из формулы Клебша-Гордана следует, что вес мультипликативен в следующем смысле: если , то где Wi = Sl(Wi) обозначает неприводимое представление веса і.
Обозначим через Vі С Аг(М) сумму всех неприводимых подпредстав-лений W С Л (М) веса г. Так как вес мультипликативен, то V = ф Vі является идеалом в Л (М).
Легко видеть, что дифференциал де Рама d увеличивает вес не более чем на единицу: dVl С Vl+1. Поэтому V С Л (М) является дифференциальным идеалом в DG-алгебре де Рама (A (M),d).
Определение 3.2.1. Обозначим через (A _(M),d+) фактор-алгебру A (M)/V . Она называется кватернионной алгеброй Дольбо, или ква-тернионным комплексом Дольбо многообразия М (qD-алгеброй или qD-комплексом для краткости).
Ходжева биградуировка совместима с весовым разложением Л (М) и определяет разложение Ходжа для Л (М) (см. [56]):
Подрасслоения A jlyM) являются весовыми для некоторого выбора карта-новской подалгебры в su(2). Действие su(2) индуцирует изоморфизм весовых подпространств внутри неприводимого представления. Из этого следует следующее утверждение ([56]): Предложение 3.2.2. Рассмотрим гиперкомплексное многообразие (М, /, J, К) с ходжевым разложением qD-комплекса, как определено выше:
Предположим, что Ф/ вещественно, то есть J\Qi) = Ф/. Существование такого сечения эквивалентно тому, что Hol(V) С SL(n,M): где V обозначает связность Обаты (см. [62]). Часто бывает удобно определить 5Х(п,Е1)-структуру зафиксировав кватернионное действие и голоморфную форму Ф/.
Следующее предложение устанавливает некоторые важные свойства отображения VP:q (доказательство приводится в [64], предложение 4.2, или [1], теорема 3.6): Предложение 3.2.3. Для SL(n,M)-многообразия (M,I,J,K) и отображения
Далее мы напомним конструкцию семейства калибраций на 5Х(п,Е1)-многообразиях, следуя [22]. Эти калибрации будут играть центральную роль в доказательстве основной теоремы этой главы.
Пусть (М, /, J, К) является 5Х(п,Е1)-многообразием с вещественной голоморфной формой объема Ф/, сохраняемой связностью Обаты, как и выше. Следующая теорема была доказана в [22] (теорема 5.4):
Теорема 3.2.4. Пусть (М,1, J,K) является SL(n,M)-многообразием, njn — это (п,п)-компонента формы Ф/ по отношению к комплексной структуре J, a g — НКТ метрика. Тогда на М существует такая функция СІ, что Vn+in+i := І ІТҐ Л j является калибрацией по отношению к метрике g = Qg, конформной g. При этом калиброванные подмногообразия — это комплексные подмногообразия в (М, J), которые коизотропны по отношению к (2,0)-форме сок + л/—їй/. лгТ s- л п-\-г,п-\-г л т
Нам понадобится следующая характеризация форм V +i n+i (доказательство см. в [22], замечание 3.8 и предложение 3.9):
Предложение 3.2.5. Пусть Vn+in+i Ап+г,п+г(М, I) — калибрация из теоремы 3.2.4. Тогда форма Vn+in+i пропорциональна формам \?І,І(Щ) и с некоторыми положительными коэффициентами, не зависящими от комплексной структуры I (здесь Qj обозначает HKT-форму). В частности, форма V +i n+i имеет максимальный вес и для любого а ЄЗамечание 3.2.6. Заметим, что калибрации V +in+i построены в том случае, когда имеется HKT-метрика. Однако это условие не нужно при і = 0. Так как согласно предложению 3.2.3 форма Vo,o(l) всегда замкнута, предложение 3.2.5 верно для і = 0 даже если метрика не является HKT-метрикой. Данное замечание существенно для доказательства 3.3.5 без предположения о существовании HKT-метрики.
Замечание 3.2.7. Вообще говоря, форма V +in+i не обязана быть параллельной относительно связности Обаты. Если эта форма параллельна, то поскольку Ф/ параллельна, то и UJJ параллельна. Тогда многообразие (М, /, J, К, д) является гиперкэлеровым. В общем случае V +in+i не является параллельной ни для какой связности без кручения на М (см. [21], утверждение 6.6). 3.3. Подмногообразия в SL(n,M)-многообразиях
В этом разделе мы докажем основное вспомогательное утверждение 3.3.2 и выведем из него основную теорему этой главы 3.3.3.
Рассмотрим 5L(n, 1Н)-многообразие (М, 7, J,K) с НКТ-метрикой д. Выше было объяснено, как строится последовательность замкнутых положительных дифференциальных форм Vn+in+i 1 П М-, і = 0,1,...,п. Мы будем использовать эти формы для доказательства теоремы 3.3.3.
Доказательство теоремы 3.3.3 основывается на следующем, по существу линейно-алгебраическом, наблюдении. Рассмотрим кватернионное векторное пространство (U, 7, J, К) вещественной размерности 4п с формой объема Ф/ Є Л/7- U и пусть Vn+in+i элемент Aj г,п (7 ), построенный так же как в 3.2.4. Рассмотрим /-инвариантное подпространство W С U комплексной размерности п + г. Заметим, что сііпіс(И/ГП J(W)) 2г. Обозначим через и поливектор, соответствующий W (он корректно определен с точностью до скалярного множителя). Рассмотрим функцию ф: 577(2) — К, которая отображает д Є SU(2) в (V +in+j, #( ))- Подпространство W инвариантно относительно 7, поэтому функция ф постоянна на подгруппе 7(1), которая соответствует комплексной структуре 7. Поэтому мы можем рассматривать ф как функцию на SU{2)/U{1) = ЄР1.
Голоморфная лагранжева калибрация
Как было сказано выше, голономия связности Обаты на гиперкомплексном многообразии является подгруппой GL(n,M.). Если голономия связности Обаты содержится в SL(n,M), то М называется 5Т(п,1Н1)-многообразием (определение этой подгруппы и более подробную информацию об SL(n,Н)-многообразиях можно найти в разделе 1.2). Из определения немедленно следует (подробности см. в [60], утверждение 1.1), что на 5Т(п,1Н1)-многообразии каноническое расслоение Л7П М является плоским относительно связности Обаты. Кроме того ([60], утверждение 1.2), любое параллельное сечение расслоения Aj М является голоморфным. Можно также доказать, что если (М, /, J, К) является компактным HKT-многообра зием, то условие Но1(М) С SL(n, Ш) эквивалентно условию голоморфной тривиальности канонического расслоения ([60], теорема 2.3).
Обозначим через Ф/ Є Л/7- М параллельное сечение, и будем называть его голоморфной формой объема. Заметим, что оператор J определяет вещественную структуру (то есть комплексно-антилинейную инволюцию) на А/1 М, следующим образом: г] ь- Jr]. Мы можем предполагать, что форма Ф/ вещественна относительно этой структуры.
Если дано 5Х(п,Е1)-многообразие М с гиперэрмитовой метрикой д и голоморфной формой объема Ф/, то обозначим через Qj = UJJ + \/—1шк форму типа (2,0) относительно /, ассоциированную с метрикой. В работе [22], было построено несколько калибраций (определение и общее обсуждение теории калибраций см. в разделе 1.4) на 5 Ь(п,ІНІ)-многообразиях В частности, было показано, что форма является калибрацией по отношению к некоторой метрике, конформно эквивалентной д. Было показано, что эта форма калибрует Г2/-лагранжевы подмногообразия в М. Напомним, что комплексное (по отношению к комплексной структуре /) подмногообразие N С М комплексной размерности п называется Г2/-лагранжевым, если ограничение формы Qj на гладкую часть N равно нулю. Это условие равносильно следующему: TXN ортогонально к J(TXN) относительно метрики д в любой гладкой точке х Є N. Для дока-зательства заметим, что для пары векторных полей А, У Є ЇІ М. имеем Qj(X,Y) = 2g(JX,Y).
Нам не понадобится конструкция из работы [22] в полной общности, а только некоторые основные свойства формы Ф. Эти свойства сформулированы в следующей лемме (доказательство, приведенное ниже независимо и отличается от того, которое дано в [22]). Лемма 4.2.1. Рассмотрим SL(n,M.)-многообразие (M,I,J,K) веществен-ной размерности 4п; с голоморфной формой ооъема Ф/ Є Л7 М, и Ф = (—д/— 1)П7П;П(Ф/) Є Aj M. Пусть N С М является I-комплексным подмногообразием, dime N = п, таким что TXN П J(TXN) = 0 во всех гладких точках х Є N. Тогда:
Доказательство. 1. Как было сказано выше (см. также формулу 4.2.2), оператор lZni7l индуцирован 577(2)-действием на внешней алгебре многообразия М. Так как связность Обаты V сохраняет гиперкомплексную структуру то она коммутирует с этим 577(2)-действием, а значит и с оператором 7П;П. Выше было объяснено, что УФ/ = 0, поэтому также и УФ = 0. Связность Обаты не имеет кручения, так что из последнего равенства следует ІФ = 0.
2. Пусть х Є N — гладкая точка. Из предположений леммы следует, что можно выбрать такой базис ei,...,en пространства Tj xN: что Єї,..., en, Jei,..., Jen образуют базис пространства Tj xM. Чтобы доказать строгую положительность формы Флг, вычислим значение Ф на поливекторе
Будем пользоваться следующим явным описанием оператора 7П;П. Рассмотрим операторы: Н = — л/— 1/, Л = (\/—1К — J) и У = (\/—1К + J), которые действуют на Л М. Несложное вычисление показывает, что эти операторы удовлетворяют стандартным (С) соотношениям: [А З ] = Н, [Н,Х] = 2Х: [Н,У] = —2 У- Кроме того,
Можно продолжить операторы 7i: X :У как дифференцирования на всю внешнюю алгебру. Тогда получим, что
Напомним, что голоморфное лагранжево подмногообразие в 5Х(п,Е1)-многообразии — это подмногообразие, калиброванное относительно формы Ф из леммы 4.2.1 (см. также раздел 1.4). Мы будем рассматривать лагранжевы расслоения на 5Х(п,Е1)-многообразиях с HKT-метрикой.
Определение 4.3.1. Рассмотрим SL(n,H)-многообразие М и пусть ф: (М, /) — X — гладкое голоморфное расслоение над комплексным многообразием X. Оно называется голоморфным лагранжевым расслоением, если все его слои являются голоморфными лагранжевыми подмногообразиями. Мы говорим, что расслоение ф: (М, /) — X гладкое, если ф является суб-мерсией (и следовательно, все слои гладкие).
Замечание 4.3.2. Предположим, что задано произвольное гладкое голоморфное расслоение ф: (M.I) — X, где М компактно, а dimrX = dimcM. Обозначим через Fx слой отображения ф над точкой х Є X. Рассмотрим множество U = {х Є X: J(TFX) П TFX = 0}. Ясно, что U является открытым подмножеством, и что все слои над U можно сделать лагранжевыми, если правильным образом выбрать гиперэрмитову метрику на прообразе U. А именно, из условия J(TFX) П TFX = 0 следует, что каждый слой векторного расслоения J(TFX) проецируется изоморфно на ТХХ дифференциалом отображения 0, поэтому мы можем поднять любую эрмитову метрику с U на J(TFX). Далее мы можем однозначно доопределить эту метрику так, чтобы J(TFX) было ортогонально TFX. Другими словами, множество лагранжевых слоев отображения ф открыто в М.
