Формы Уикса в свободных группах и свободных произведениях групп Вдовина, Алина Александровна

Введение к работе

Актуальность темы.

Является ли элемент свободной группы произведением g коммутаторов? Произведением g квадратов? Эти задачи — частные случаи более общей проблемы подстановки, сформулированной Линдоном и Шуппом¹.

Пусть w(Xj,...,X_k) — элемент свободной группы F с базисом x₁,...,x_k, ay — произвольный элемент группы G. Можно спросить, существует ли гомоморфизм (р : F—>G, такой, что W(p = у . Другими словами, является ли у значением слова W, то есть имеет ли элемент у вид у — w(u_h...,u^) для некоторых tij,...,u_k группы G.

Первые результаты в этом направлении были получены М. Уиксом² в 1962 году. Уикс показал, что элемент свободной группы F является коммутатором тогда и только тогда, когда он сопряжен с циклически несократимым словом вида abed Ъ~ с , где а, Ь, с — некоторые слова. Также Уикс³ нашёл, что элемент свободной группы является произведением двух квадратов тогда и только тогда, когда он сопряжён со словом вида аЬЪа се или аЪасЪ^с.

¹ Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.:
Мир, 1980

² М. J. Wicks. Commutators in free products II J. London Math.
Soc, v.37 (1962), 433-444

³ M. J. Wicks. The equation x у = g over free products II Proc.
Cong. Singapore Nat. Acad. Sri., (1971), 238-248

После работы А. И. Мальцева⁴ и работ Уикса, видимо, около десяти лет не было статей, касающихся форм коммутаторов. В начале семидесятых годов интерес к квадратичным словам появился в связи с решением уравнений в группах. Квадратичными уравнениями в свободных группах в различное время занимались Линдон и Ньюмен⁵, Р. И. Григорчук и П. Ф. Курчанов⁶, Эдмунде и Комерфорд⁷ и др. В перечисленных выше работах использовались алгебраические методы.

Методы решения квадратичных уравнений с использованием диаграмм и геометрических соотношений применялись Куллером⁸ и А. Ю. Ольшанским⁹. В их работах используется тот факт, что разрешимость уравнения

⁴ Мальцев А. И. Об уравнении zxyx^y'z'¹ = abd'h^b в
свободной группе // Алгебра и логика. 1962, Т.1, № 5, 45-50

⁵ R. С. Lyndon, М. Newman. Commutators as products of squares
II Proc. Amer. Math. Soc, v.39 (1973), № 2, 267-272

⁶ Григорчук P. И., Курчанов П. Ф. Некоторые вопросы
теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и
техники. Сер.: Совр.пробл.мат. Фунд.напр. 1990, Т.58, 191-256

⁷ L. P. Comerford jr., С. С. Edmunds. On the rank of quadratic
equations in free groups II J. Pure and Applied Algebra, v.60 (1989),
21-31

⁸ M. Culler. Using surfaces to solve equations in free groups II
Topology, v.20 (1981), № 2, 133-145

⁹ Ольшанский А. Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп
поверхностей II Сибирский математический журнал. 1989, Т.30,
№6,150-171

где U — циклически несократимое слово, равносильна возможности склейки из диска, на границе которого, состоящей из \U\ рёбер, написано слово U, сферы с g < т ручками. Введём основные определения, которые будут использоваться в диссертации.

Слово U в некотором групповом алфавите называется квадратичным, если каждая буква, входящая в U, встречается в U в точности дважды.

Квадратичное слово U называется ориентируемым, если каждая буква входит в U вместе с "обратной" буквой.

Квадратичное слово U называется неориентируе-мым, если существует буква, входящая в U дважды с одинаковыми показателями.

Пусть U — элемент коммутанта [F,F\ группы F, тогда род U определяется как наименьшее целое g такое, что существуют элементы а_г, bj, ... , a_g, b_g є F и U — [cii,b]\ ... [cig,bg] в группе F; [a,b] обозначает aba^b'¹.

Определим род неориентируемого слова U как наименьшее целое п, такое, что найдутся такие элементы а_ь ..., a_nEF, что U—a₁ ... а_п.

Редуцированным назовём такое квадратичное слово U, в котором для любого подслова аЪ циклического слова U Ь~ а не является подсловом U ч ab встречается в U лишь однажды. (Если слово не является редуцированным, то всякое его значение совпадает со значением слова, полученного заменой ab одной буквой С.)

Циклически несократимое редуцированное ориентируемое (неориентируемое) слово рода g назы-

вается ориентируемой (неориентируемой) формой Уикса рода g.

Пусть слово W получено из некоторого слова U путём подстановки несократимого слова Ф^(а) для каждой буквы cf, =±1. Будем говорить, что W получено из U несократимой подстановкой, если Ф{а)ф\, Ф(Ь)ф\ и нет сокращений между &(а) и (Е>(Ь), когда аЪ является подсловом циклического слова U.

Формы U и W называются эквивалентными, если U может быть получена из W или W' с помощью циклического сдвига и биективной замены переменных.

Проблема отыскания ориентируемых и неориен-тируемых форм представляет интерес в связи со следующей теоремой Куллера⁸:

Теорема . Пусть W— циклически приведённое слово. Если W — ориентируемое слово и его род равен g в некоторой свободной группе F, то W может быть получено из некоторой ориентируемой формы Уикса U рода g с помощью несократимой подстановки, причём \U\ < 12g" — 6 . Если W — неориентиру емое слово и его род равен п в группе F, то W можно получить несократимой подстановкой из неориентируемой формы

Уикса U рода п, причём \U\ < 1 In — 6.

Основные результаты настоящей диссертации — это описание способов построения ориентируемых и

неориентируемых форм Уикса рода g > 1 в свободных группах и свободных произведениях, а также нахожде-

ниє асимптотических оценок для числа неэквивалентных ориентируемых (неориентируемых) форм Уикса рода g в свободной группе.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является исследование форм Уикса в свободных группах и свободных произведениях. В круг поставленных задач входило нахождение асимптотических оценок для числа форм Уикса данного рода, а также разработка индуктивных методов построения этих форм.

Методы исследования.

При доказательстве основных результатов использовались методы комбинаторной теории групп и теории графов. Ориентируемые и неориентируемые формы Уикса оказалось удобным представлять как обходы связных графов.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми. Основные положения полученных результатов можно объединить в три раздела.

1. Приводятся индуктивные способы построения форм Уикса в свободных группах и свободных произведениях.

2. Найдены асимптотические оценки для числа неэквивалентных ориентируемых форм Уикса рода g и для числа неориентируемых форм Уикса рода g в свободной группе.

3. Перечислены ориентируемые формы Уикса рода три, неориентируемые рода три и четыре в свобод-

ной группе, а также ориентируемые рода два в свободном произведении групп.

Практическая и теоретическая ценность диссертации.

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в теории групп и теории графов.

А пробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по алгебре и теории групп в МГУ им. М. В. Ломоносова, а также на международных семинарах по теории графов в Одессе (1991, 1993 годы) и на Пятом межгосударственном семинаре по дискретной математике в Москве (1995 год).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, включающих в себя двенадцать параграфов. В тексте диссертации приведено 16 рисунков, поясняющих или наглядно иллюстрирующих некоторые результаты. Список литературы содержит 42 наименования. Общий объем диссертации — 114 страниц.