Введение к работе
Актуальность темы. В 1962 году вышла замечательная работа Б.Фишера [1], центральным результатом которой является доказательство разрешимости группы правых трансляций R(G)=
В это же время происходит значительное расширение исследований в области простых конечных групп. Главным толчком к этому послужила знаменитая теорема Фейта и Томпсона, согласно которой любая конечная группа нечетного порядка разрешима [2].
Много работ посвящено группам с регулярными автоморфизмами. Интерес к этим группам связан с известной гипотезой о разрешимости их в случае конечного порядка. Дж.Томпсон доказал эту гипотезу для группы с автоморфизмом простого порядка [3]. Но полностью вопрос не был решен.
В начале 80-х годов В.М.Галкин выдвинул гипотезу о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп [4]. Привлекательность данной гипотезы заключается в том, что она включает в
себя такие на первый взгляд далекие друг от друга утверждения, как упомянутые выше теоремы Фишера, Фсйта-Томпсона, а также заключение о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами. В дальнейшем гипотеза была сведена к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте так называемых ф-групп [4]. Поэтому естественной выглядит попытка проверить известные простые группы на предмет несуществования в них нетривиального ср-автоморфизма. К настоящему времени подвергнуты проверке следующие простые группы спорадические группы, серия знакопеременных, симплектические группы в четной и симплектические группы малых размерностей в нечетной характеристике, серия проективных групп L„(q) , а также группы F4(q), 2F<(q).
Цель работы. Работа посвящена доказательству вышеупомянутой гипотезы для следующих групп: U„(q), G^q), ^2(0). 3D4(q).
Общая методика исследования. Основным инструментом в исследовании являются методы теории конечных групп, в частности техника подхода Шевалле, кроме того привлекаются результаты из теории квазигрупп. Это связано с возможностью представления квазигруппы G() однородным пространством П/Т левых смежных классов группы П по подгруппе Т, где Т определяется как подгруппа неподвижных элементов некоторого автоморфизма <р группы П, а квазигрупповая операция
выглядит тогда следующим образом: x«y=xq> (х" y)modT. Эта связь обратима.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ряд утверждений, доказанных при разработке аппарата исследования, имеет самостоятельное значение и может найти применение в теории групп, а также в квазигрупповой теории. Выработанные при этом методы и способы проверки могут быть использованы при доказательстве вышеупомянутой гипотезы для оставшихся простых конечных групп. Апробация работы Результаты диссертации докладывались на расширенном заседании кафедры алгебры МГУ, посвященном памяти А.Г.Куроша (Москва, 19%);
международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997);
алгебраических семинарах ННГУ, НГТУ (Нижний Новгород, 1996-1998) Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура и объем работы Диссертация изложена на 86 страницах, состоит из Введения и пяти глав. Список литературы включает 33 названия, в том числе и работы автора, написанные в соавторстве.