Факторы поверхностей дель Пеццо Трепалин Андрей Сергеевич

Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав. Первая глава — введение. В ней формулируется основная задача, изучаемая в этой работе, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор хода доказательства, обозначаются дальнейшие направления применения полученных результатов, вводятся используемые обозначения.

Во второй главе даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающих в работе, и техники работы с ними.

В параграфе 2.1 объясняются основные понятия программы минимальных моделей, даются определения поверхностей дель Пеццо и расслоений на коники, изучается их классификации и основные свойства, вводятся обозна чения, которые применяются в ходе доказательства основных результатов.

При работе с поверхностями дель Пеццо большой степени и их факторами важную роль играют торические поверхности. Их определение и нужные нам свойства даны в параграфе 2.2.

Поскольку одним из объектов исследования являются группы автоморфизмов, нам необходимы некоторые обозначения и сведения из теории групп, которые мы приводим в параграфе 2.3.

В параграфе 2.4 даются ключевые факты о факторах поверхностей. Важную роль играет лемма 2.4.1, показывающая, что для изучения фактора поверхности X по конечной группе G не обязательно непосредственно работать сразу с фактором X/G, а достаточно найти в G нормальную подгруппу N, если она есть, и изучить фактор X/N. Путём G/TV-бирациональных преобразований поверхности X/N можно получить минимальную поверхность У, на которой действует группа G/N. Таким образом, мы сводим нашу задачу к аналогичной задаче для меньшей группы.

В параграфе 2.5 описываются циклические фактор-особенности, возникающие при взятии фактора поверхности по конечной группе. Нас интересует, как меняются численные свойства поверхности и кривых, проходящих через особые точки на этой поверхности, при разрешении особенностей. Для этого мы будем использовать свойства циклических фактор-особенностей, описанные в замечании 2.5.1.

Поскольку фактор любой неособой поверхности S/G бирационально эквивалентен фактору X/G, где X G-минимальная модель S, то для изучения рациональности факторов поверхностей достаточно изучить факторы расслоений на коники и поверхностей дель Пеццо (см. теорему 2.1.9). Соответствующие случаи рассмотрены в третьей и четвёртой главах этой работы.

Основной результат третьей главы — следующая теорема: Теорема 1.2.1. Пусть к - поле характеристики ноль. Пусть X - -рациональное расслоение на коники, G - конечная группа, действующая на X. Тогда фактор X/G является к-бирационально эквивалентным фактору -рационального расслоения на коники по одной из групп 2, 2V, 2Ц, 64 или%ъ.

Здесь (tk — циклическая группа порядка к, Т 2к — диэдральная группа порядка 2к, %lk — альтернированная группа степени к, &k — симметрическая группа степени к.

Для доказательства этого факта в параграфе 3.1 мы изучаем, как конечная группа может действовать на расслоении на коники, а в параграфе 3.2 посмотрим, почему на факторе образуются вырожденные слои, компоненты которых переставляются группой Галуа.

В частности, в примере 3.2.4 для каждой группы, перечисленной в теореме 1.2.1 мы построим пример нерационального фактора, являющегося расслоением на коники со сколь угодно большим количеством вырожденных слоёв. Таким образом, верны следующие предложения.

Предложение 1.2.2. Пусть к - поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда для любого числа С найдётся минимальное k-унирациональное расслоение на коники с более чем С особыми слоями.

Предложение 1.2.3. Пусть к - поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда группы 2», 2V, 2Ц, @4 и 215 имеют бесконечное количество несопряжённых вложений в группу

Cr2(k) = Bir(P).

В параграфе 3.3 мы дадим определение и изучим факторы одного специального расслоения на коники — поверхности Исковских. Это понадобится нам, поскольку большое количество групп, действующих на поверхности дель Пеццо степени 2, содержит нормальную подгруппу порядка два, фактор по которой бирационально эквивалентен поверхности Исковских.

Для доказательства этой теоремы мы разберём каждый случай поверхности дель Пеццо фиксированной степени по отдельности в параграфах 4.1-4.8. Утверждение теоремы 1.2.4 непосредственно следует из предложений 4.3.3, 4.4.1, 4.5.1, 4.6.2, 4.7.2 и 4.8.2. Также в этих предложениях указаны конкретные способы действия группы, для которых фактор не является k-рациональным. Более того, в соответствующих параграфах приведены условия, при которых факторы не рациональны.

Непосредственными следствиями основных результатов этой работы 1.2.1 и 1.2.4 являются следующие.

Следствие 1.2.5. Пусть к - поле характеристики ноль. Пусть S является к-рациональной поверхностью, aG - конечная группа, действующая на S. Если порядок группы G нечётен и не равен 3, то фактор S/G является -рациональным.

Следствие 1.2.6. Пусть к - поле характеристики ноль. Пусть К = к(х,у), aG - конечная группа, действующая на К. Если порядок группы G нечётен и не равен 3, то поле инвариантов К является чисто трансцендентным расширением поля к.

Автор выражает благодарность научному руководителю Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и неоценимую помощь в её выполнении и оформлении результатов и К. А.Шрамову за полезные обсуждения, поддержку и ценные замечания.

Торические поверхности

В этом параграфе мы докажем следующую теорему. Теорема 3.1.1. Пусть конечная группа G эффективно действует на поверхности Х,иХ обладает структурой G-эквивариантного расслоения на коники (р:Х В. Любая относительная ММП-редукция У над B/G фактора X/G обладает структурой расслоения на коники. Обозначим GB образ группы G при естественном отображении Aut(X) - Aut(B). Тогда

На протяжении этого параграфа мы будем использовать следующие обозначения. Пусть конечная группа G эффективно действует на относительно G-минимальном расслоении на коники :І4Вип- число вырожденных слоёв X. Тогда К\ + п = 8. Морфизм р является G-эквивариантным. Это означает, что существует точная последовательность: где GF — группа автоморфихмов общего слоя, действующая тривиально на базе В Pi, а GB группа автоморфизмов В.

Лемма 3.1.3. Любая относительная Gв -ММП-редукция У фактора X/GF обладает структурой расслоения на коники. Число вырожденных слоев У не превосходит п. Доказательство. Рассмотрим гладкий слой F РІ морфизма X -+ РІ Группа GF действует на F и фактор F/GF изоморфен РІ. Каждый нетривиальный автоморфизм д Є Gp имеет ровно две неподвижные точки на F, но в окрестности этих точек элемент д действует как отражение, потому что он действует тривиально на В. Поэтому на слое F/GF в X/GF не лежит особых точек.

Структурный G-морфизм р : X - В индуцирует Св-морфизм ф-.X/Gp B. Общий слой ф изоморфен РІ. Значит, применив Св-эквивариантную программу минимальных моделей над В к X/Gp, получаем, что Св-ММП-редукция Y поверхности X/Gp является рассло ением на коники. Гладкие слои на X соответствуют гладким слоям на У, поэтому число вырожденных слоёв Y не превосходит п. Далее будем считать, что GF тривиально и G = GB. Если X минимальна, то компоненты любого вырожденного слоя X — В переставляются некоторым элементом G х Gal (k/k). Лемма 3.1.4. Любой элемент д Є G не переставляет компонентов никакого вырожденного слоя.

Доказательство. Пусть найдётся элемент g Є G, переставляющий компоненты вырожденного слоя F. Очевидно, ord# чётно. Элемент g эффективно действует на базе В = Р , поэтому имеет ровно две неподвижные точки р\ и р2 на В. Если над любой другой точкой р найдётся слой F и число п такое, что дп переставляют компоненты этого слоя, тогда дп имеет не менее трёх неподвижных точек р, pi и р і на базе. Значит, элемент дп тривиально действует на базе и нетривиально на X. Это противоречит предположению, что Gp тривиальна.

Применим программу (#)-минимальных моделей к поверхности X. На полученной поверхности Y имеется 1 или 2 вырожденных слоя над точками Р\ и р2. Поэтому Ку равен б или 7. По теореме 2.1.10 поверхность Y — это поверхность дель Пеццо степени 6. Обозначим (-1)-кривые на F через Eh Е2, ..., Е6, где Ef = -1 и E{-Ej = l, если і = j ± 1 (mod 6), иначе Ег Е3 = 0. Элемент д действует на этих кривых следующим образом: gEi = Е2,дЕ2 = ЕидЕ3 = Е6, дЕА = Е5,дЕ5 = Е дЕ6 = Е3. Кривые Е% и EQ являются сечениями расслоения на коники Y — Р -, Е\ U Е2 Ж. и i?4 U Е5 — вырожденные слои этого расслоения. Рассмотрим элемент h = д . Заметим, что h эффективно действу ет на В, поэтому все неподвижные точки h лежат на вырожденных сло ях У. Кривые Ег не являются /г-неподвижными, так как Y относительно (#)-минимальна. Значит, по формуле Лефшеца элемент h имеет ровно 4 непо движные точки. Но либо все кривые Ег являются /г-инвариантными, либо hE\ = Е2 и hE = Е5. В первом случае h имеет шесть неподвижных точек, а во втором две. Это противоречие завершает доказательство. Поскольку выполнено G = GB с Aut (В) PGL2 (к) с PGL2 (к) , по предложению 2.3.2 получаем, что G одна из следующих групп: (&, Т 2к (включая 2)4 = $), 2Ц, 64, Я5. Мы используем следующую известную лемму, доказательство которой составляет несложное вычисление.

Лемма 3.1.5. Пусть р - гладкая точка на поверхности S, неподвижная для элемента g Є Aut(S). Пусть g действует на TpS как diag (А,/І); и S — S — раздутие S в точке р. Тогда на исключительном дивизоре ровно две неподвижные точки элемента д: рх и р2, и действия на TP1S и TP2S имеют вид diag (J,/І) и diag (A, f) соответственно. Лемма 3.1.6. Пусть g Є G - элемент чётного порядка. Тогда g-инвариантные слои гладки. Доказательство. Пусть р неподвижная точка элемента g на В, и F слой над этой точкой. Можно считать, что в окрестности р элемент g действует на В как умножение на &.

Пусть F особый слой такой, а Ег и Е2 - его компоненты. Кривые Ег и Е2 являются -инвариантными по лемме 3.1.4. Пусть q\ Є Е\ и q2 Є Е2 неподвижные точки элемента д, отличные от Е\ П Е2.

В окрестности q\ элемент д действует на Е\ как умножение на для некоторого а. Применяя лемму 3.1.5, можно легко посчитать, что в окрестности q2 элемент д действует на Е2 как умножение на Га_1 (метод доказательства — д-эквивариантно стянуть Е2). Точка р является неподвижной только для элементов циклических групп, содержащих д, по лемме 2.3.3. По этому, если элемент t группы G х Gal(k/k) переставляет Е\ и Е2, то tq\ = q2, tq2 = Qi, и группы Gqi = diag (&,) и Gq2 = diag (&,дГа_1) совпадают в GL2(k). Это выполнено тогда и только тогда, когда к нечётно и а = Л Это противоречит предположению того, что к чётно.

Лемма 3.1.7. Пусть У - относительная ММР-редущия фактора X/G и f : X — У соответствующее рациональное отображение. Рассмотрим элемент g Є G нечётного порядка такой, что группа (д) не содержится в большей циклической подгруппе G. Тогда для g-инвариантного слоя F его образ f(F) гладкий.

Доказательство. Пусть р неподвижная точка элемента g на В, и F слой над этой точкой. Можно считать, что в окрестности р элемент g действует на В как умножение на &.

Пусть F — гладкий слой. Если g тривиально действует на F, то f(F) тоже гладкий слой. Иначе элемент g имеет ровно две неподвижные точки q\ и 2 на F. В окрестности q\ элемент g действует на F как умножение на для некоторого аив окрестности д2 элемент g действует на F как умножение на а.

Рассмотрим фактор-отображение тг : X -+ X/G. На слое TT(F) будут находиться две особые точки тг(ді) и тг(д2). Эти особенности торические и их разрешения являются цепочками отрицательных кривых. Индексы самопересечения этих кривых — si, ..., —Si и —гі, ..., — rj определяются цепными дробями

Действие группы Галуа

Два вырожденных слоя Y состоят из образов концов исключительных дивизоров 7Г"1 f{pi). Эти слои содержат k-точки сттг"1/( %), поэтому компоненты каждого из них переставляются группой Галуа. Два других вырожденных слоя состоят из o 7i lf (Си) = o 7i lf (Си) и (77I lf (С23) = (J7i lf (С24). Все их компоненты переставляются группой Галуа. Поэтому Y относительно минимально. Имеем KY = 4, значит, Y минимально по теореме 2.1.10. Таким образом, по теореме 2.1.11 поверхность Y не является к-рациональной.

Лемма 4.5.7. Пусть конечная группа С действует на поверхности дель Пеццо X степени 4 и f : Aut(X) - 65 - естественное отображение. Тогда группа f(G) не содержит подгрупп, сопряжённых 2 = ((12)) u2J4= ((12)(34),(13)(24) . Доказательство. Группа действует на X. Поэтому достаточно доказать, что в С нет подгрупп, сопряжённых 2 = ((12)) и 234 = ((12)(34), (13)(24)).

Пусть группа 2 = ((12)) действует на X. Можно 2-эквивариантно стянуть пять (-І)-кривых Еи Е2, Еъ, Е4 и Еъ, получив Р с действием 2. Группа порядка 2 имеет единственную изолированную неподвижную точку на Р и единственную прямую, состоящую из неподвижных точек. Точки рз, РА и РБ неподвижны для группы (2. Эти три точки не лежат на одной прямой, значит, одна из этих точек является изолированной неподвижной точкой. Точки рх и р2 переставляются группой (2, поэтому прямая, проходящая через эти две точки, содержит изолированную неподвижную точку группы (2. Собственный прообраз этой прямой на X является (-2)-кривой. Поэтому группа 2 не может действовать на X.

Пусть группа 234 = ((12)(34), (13)(24) действует на X. Можно

234-эквивариантно стянуть пять (-І)-кривых Еи Е2, Е3, Е4 и Еъ, получив р2 с действием 234. Точка р5 является неподвижной при действии 234, поэто му эта точка является единственной изолированной неподвижной точкой для некоторого элемента 234. Значит, как и в предыдущем абзаце, три точки из Pi, Р2, Рз, Pi и рь лежат на одной прямой, и группа 234 не может действовать наХ. Лемма 4.5.8. Пусть конечная группа G действует на поверхности дель Пеццо X степени 4 и А 2 = ((12)(34)) нормальная подгруппа в G. Тогда существует G/N-ММП-редущия У фактора X/N такая, что Y является k-формой торической поверхности.

Доказательство. Пусть группа 2 = ((12)(34)) действует на X. Стянем 2-эквивариантно пять (-1)-кривых Еи Е2, Е3, Е4 и Еъ на X, и получим Щ- с действием (.2. Группа (2 имеет единственную изолированную неподвижную точку на Р и единственную прямую, состоящую из неподвижных точек. Так же, как и в доказательстве леммы 4.5.7, точка р$ лежит на этой прямой. Поэтому на поверхности X группа (2 имеет две изолированные неподвижные точки L\2 П L34, Q П Е5 и кривую, состоящую из неподвижных точек, класс которой в Pic(X) равен L - Еъ.

Лемма 4.5.9. Пусть конечная группа G действует на поверхности дель Пеццо X степени 4 и N 3 = ((123)) - нормальная подгруппа в G. Тогда существует G/N-ММП-редукция Y фактора X/N такая, что Y является k-формой торической поверхности.

Доказательство. Пусть группа 3 = ((123)) действует на X. Пусть а : X -+ Р - 3-эквивариантное стягивание пяти (-1)-кривых Еи Е2, Е3, Е и Е5. Группа (з имеет три изолированные неподвижные точки на Р , две из которых это р4 и])5. Обозначим третью неподвижную точку через р. Группа (з действует на касательном пространстве этих неподвижных точек как diag (и, и2). Поэтому на X пять неподвижных точек: ЕА П L45, Еъ П L45, Еь П Q, ЕА П Q и а_1(р). Группа 3 действует на касательном пространстве точки о 1{р) как diag (о;,о;2), а на касательных пространствах остальных точек как diag (и, и).

Пусть С\, С2, С3иС\- Сз-инвариантные кривые, классы которых эквивалентны 2Ь-Е1-Е2-Е3- Ей 2L-E1-E2-E3- Е5, L - Е5, L - Ей проходящие через а 1р и другую неподвижную точку (эти кривые являются собственными прообразами прямых, проходящих через р и р4 или р5, и коник, проходящих через р, pi, р2, рз и р4 или р5). Несложно проверить, что нет других рациональных кривых с индексом самопересечения 0, проходящих через пару неподвижных точек группы (3.

Пусть / : X - X/N фактор-отображение и тг : X]N - X/N минимальное разрешение особенностей. Тогда на X/N четыре особенности (1,1): f(EA П L45), f(E5 П L45), /(5 П Q), f(EA П Q); и одна особенность Л2: /( 7_1(р)). Гассмотрим 8 кривых /(Сі), ДС2), ДС3), ДС4), /(Я4), /(Ь45), /(Я5) и f(Q). Эта восьмёрка G/TV-эквивариантна и определена над к. Индекс пересечения любой пары таких кривых меньше 1. Поэтому их собственный прообраз на X/N является восьмёркой непересекающихся (-1)-кривых. Можно G/TV-эквивариантно стянуть эти кривые и получить поверхность Y. Тогда

Пусть конечная группа С действует на поверхности дель Пеццо X степени 4 и содержит элемент, сопряжённый ц2М. Тогда найдётся нормальная подгруппа N G такая, что G/N-ММП-редукция У фактора X/N является k-формой торической поверхности.

Поверхность дель Пеццо степени

В двух последних абзацах мы доказали лемму 4.7.8 для любой группы @з такой, что группа (з С @з порождена элементом типа 4 теоремы 4.7.1. Значит, эта Лемма выполняется для любой поверхности X типа IX. Также она выполняется для любой поверхности типа IV, поскольку группа Aut(X) содержится в расмотренной группе (a,b,r,s,j). Пусть X поверхность типа III. Группа Aut(X) порождена элементами аЪ, аЪ3, s, 7 и элементом с порядка 3 таким, что са\?с l = a2s. Пусть группа G содержит элемент с.

Если группа G содержит элемент h = a2b2, то фактор X/(h) является С/(/і)-бирационально эквивалентным поверхности Исковских S по лемме 4.7.3. Элемент с не сохраняет гиперплоские сечения Хх = fiy, поэтому с эффективно действует на базе расслоения на коники S. Значит, существует ММП-редукция Z фактора S/(G/(h)) такая, что Z является k-формой торической поверхности по леммам 3.3.3, 3.3.4 и 3.3.5.

Будем считать, что группа G не содержит элемент а2Ь2. Рассмотрим естественное отображение G - 2Ц. Образ G при этом отображении это 214 или 3. В первом случае это отображение имеет нетривиальное ядро, поскольку группа 2І4 не содержит подгрупп, изоморфных 2І4. Легко проверить, что в этом случае группа G содержит а2Ь2, что противоречит нашему предположению. Значит, если G не содержит элемента типа а2Ь2, то G изоморфна

Значит, элемент с имеет тип 3 теоремы 4.7.1. Поэтому существует С/(с)-ММП-редукция У фактора Х/(с) такая, что У является k-формой торической поверхности по лемме 4.7.3.

Предыдущее рассуждение работает для любого элемента типа 3. Значит, если X поверхность типа VI, VIII или XI, то существует нормальная под группа N G такая, что G/TV-ММП-редукция У фактора X/N является k-формой торической поверхности. Во всех случаях для построенной k-формы торической поверхности У существует ММП-редукция Z фактора Y/{G/N) такая, что Z является k-формой торической поверхности по предложению 4.3.3.

Лемма 4.7.9. Пусть конечная группа G действует на поверхности дель ПеццоX степени 2иХ типа I. Если G не перечислена в предложении 4.7.2, то существует ММП-редукция Z фактора X/G такая, что Z является -формой торической поверхности.

Доказательство. Группа Aut(X) PSL2(F7) содержит 48 элементов порядка 7, 56 элементов порядка 3, 42 элемента порядка 4 и 21 элемент порядка 2. Элементы порядка 3 являются элементами типа 4 теоремы 4.7.1. Силовская 2-подгруппа изоморфна D8. Случай, когда G является подгруппой 2)8 полностью разобран в доказательстве леммы 4.7.7.

Если в группе G содержится элемент порядка три, но не содержится элементов порядка 7, то G изоморфна 3, 63, 214 или 64. Случаи G = 3 и G = 63 разобраны в доказательстве леммы 4.7.8. В случаях G = 214 и G = 4 в группе G содержится нормальная подгруппа N = 2З4, порождённая элементами типа 1. Существует G/TV-ММП-редукция У фактора X/N такая, что У является k-формой торической поверхности по лемме 4.7.4.

Если в группе G содержится подгруппа, изоморфная (7, то по теореме Силова такая подгруппа одна или их восемь. В случае, если таких подгрупп восемь G = PSL2(F7). Иначе в группе G содержится нормальная подгруппа N 7. Существует G/TV-ММП-редукция У фактора X/N такая, что У является k-формой торической поверхности по лемме 4.7.3.

Во всех случаях для построенной k-формы торической поверхности У существует ММП-редукция Z фактора Y/{G/N) такая, что Z является k-формой торической поверхности по предложению 4.3.3.

Пусть G = PSL2(F7). Каждый элемент порядка 7 имеет три изолированные неподвижные точки, на касательных пространствах которых этот элемент действует как diag , !); всего 24 точки. Каждый элемент порядка 3 имеет две изолированные неподвижные точки, на касательных простран ствах которых этот элемент действует как diag( x ,6 j), и две изолированные неподвижные точки, на касательных пространствах которых этот элемент действует как diag(w,w2); всего по 56 точек каждого типа. Каждый элемент порядка 4 сопряжён diag(i, —г, 1,1) и имеет две изолированные неподвижные точки, на касательных пространствах которых этот элемент действует как diag(i, —і); всего 42 точки. Каждый элемент порядка 2 имеет две изолированные неподвижные точки, на касательных пространствах которых этот элемент действует как diag(—1,—1), и гиперплоское сечение, состоящее из неподвижных точек.

Доказательство предложения 4.7.2. По леммам 4.7.7, 4.7.8, 4.7.9, если G не перечислена в предложении 4.7.2, то существует ММП-редукция Z фактора X/G такая, что Z является k-формой торической поверхности.

Во всех случаях Z(k) ф 0, так как Х(к) плотно. Поэтому X/G « Z является k-рациональной по теореме 2.1.11. Поверхность дель Пеццо степени 1

Поверхность дель Пеццо X степени 1 изоморфна раздутию Р в восьми точках. Кубические кривые на Р , проходящие через эти восемь точек, про Ж. ходят через девятую общую точку. Значит, линейная система - КТ\ имеет единственную базисную точку р. Точка р определена над к и является неподвижной для любой группы G, действующей на X.

Поверхность дель Пеццо X степени 1 изоморфна гладкой поверхности степени б в k-форме пространства РЕ(1 : 1 : 2 : 3). Отображение линейной системой \-2Кх\ даёт двойное накрытие F2, разветвлённое в гладкой кривой степени 6. Соответствующая инволюция (3 поверхности X называется инволюцией Бертини. Очевидно, инволюция /3 коммутирует с любым элементом Aut(X). Значит, если конечная группа G С Aut(X) содержит /3, то фактор X/G « F2/(G/(/3)) является k-бирационально эквивалентным k-форме тори-ческой поверхности по предложению 4.3.3.