Факторизации и ширина групп Шевалле над маломерными кольцами Смоленский Андрей Вадимович

Содержание к диссертации

Введение

1 Основные определения и конструкции 11

1.1 Группы Шевалле 11

1.2 Представления и уравнения 17

1.3 Условия стабильности 20

2 Ширина в элементарных образующих 24

2.1 Унитреугольные факторизации 24

2.1.1 Унитарная группа нечетной размерности 25

2.1.2 Группа Судзуки и большая группа Ри 29

2.1.3 Малая группа Ри 32

2.2 Ширина главных конгруэнц-подгрупп 35

2.2.1 Относительное разложение Гаусса 35

2.2.2 Относительное разложение Басса—Кольстера 36

2.2.3 Анализ групп малых рангов 39

3 Коммутаторная ширина 44

3.1 Фробениусовы клетки и их свойства 44

3.2 Построение разложения в коммутаторы 49

3.3 Варианты теоремы 3.1 55

4 Подсистемные факторизации 58

4.1 Произведения SL2-подгрупп 58

4.1.1 Классические группы 60

4.1.2 Исключительные группы в микровесовых представлениях 61

4.1.3 Группа типа E8 63

4.1.4 Исключительные группы с кратными связями 65

4.2 Произведения SL-подгрупп 66

Заключение 71

Список литературы

• Условия стабильности
• Группа Судзуки и большая группа Ри
• Относительное разложение Басса—Кольстера
• Исключительные группы в микровесовых представлениях

Введение к работе

Актуальность темы. В исследовании конечных простых групп типа Ли, полупростых групп Ли, арифметических групп, групп петель алгебраических групп и вообще линейных групп над кольцами малой размерности одним из традиционно вызывающих интерес вопросов является вопрос о ширине относительно какого-либо набора образующих. Шириной группы G относительно множества образующих X называется наименьшее натуральное число N, такое, что всякий элемент группы G представляется в виде произведения не более N элементов множества X и обратных к ним. Близким вопросом является задача о существовании факторизаций групп в терминах подгрупп (более общо, подмножеств) определенного типа: унипотентных, полупростых, параболических; а также задача построения кратчайшей такой факторизации.

В теории групп Шевалле над полями наиболее важным является разложение Брюа G(Q,F) = В(Ф, F) N(<>, F) U(Ф, F). Над полулокальными кольцами его аналогом является разложение Гаусса [] G($,R) = В(Ф, R) U~(Ф, R) U(Ф, R). Это разложение в действительности выполнено над произвольным кольцом стабильного ранга 1, но не для всей группы, а для ее элементарной подгруппы Е(Ф,Л), см. []. Кроме треугольной факторизации можно также рассматривать унитреугольную факторизацию длины 4: Е(Ф, R) = U(Ф, R) U~(Ф, R) U(Ф, R) U~(Ф, R), также имеющую место над произвольным кольцом стабильного ранга 1, см. []. Для конечных простых групп типа Ли в характеристике р унитреугольная факторизация превращается в разложение в произведение силовских р-подгрупп. М. Либеком и Л. Пибером [] были получены факторизации длины 13 (также в работе Л. Бабаи, Н. Николова и Л. Пибера [] была анонсирована оценка 5 множителей).

Над кольцами большей размерности роль треугольных факторизаций выполняют параболические факторизации, из которых наиболее известными являются два. Первое это разложение Басса—Кольстера G($,R) = G(A, R) U(E, R) U~(S, R) U(E, R) U~(S, R), где АиЕ это симметрическая и специальная части некоторого параболического множества корней A U Е С Ф. Оно было впервые замечено в основополагающей работе Х. Басса [] для полной линейной группы, а затем использовалось в вопросах сюръек-тивной стабилизации Кі-функтора в работах М. Стайна [], Е.Б. Плотки-на [], Л.Н. Васерштейна []. Второе - разложение Денниса-Васерштейна

G(<>,.R) = P_aXJ~pP/3, где P_a, Р/з — максимальные параболические подгруппы, отвечающие простым корням а и (3, а XJ~o — пересечение унипотентных радикалов параболических подгрупп, противоположных Р_а и Р^. Оно было впервые использовано К. Деннисом [] и Л.Н. Васерштейном [], а затем В. ван дер Калленом [], А. А. Суслиным и М.С. Туленбаевым [] для решения задачи о сюръективной стабилизации К₂ и инъективной стабилизации К_ь см. также обобщающую их работу М. Кольстера []. Варианты этого разложения исследовались в работах Н. А. Вавилова и C. C. Синчука [-,]. Параболические факторизации имеют место для колец, удовлетворяющих определенным условиям стабильности, близким к условию стабильного ранга. Для колец стабильного ранга 2 возможны, тем не менее, унитреугольные факторизации большей длины, однако они зависят от арифметических свойств кольца. Так, например, группы Шевалле над Z[^l/_P] и Z удовлетворяют (см. [,,,])

^{С(Ф,Ъ\}/р\) = ии~ ии~ и, Є(Ф,z) = у и~... ии~.}

40 множителей

Факторизация групп Шевалле над Z служит первым шагов в получении оценок на константу Каждана в работах М. Бургера [], Й. Шалома [], М. Кас-сабова [] и У. Хадада []. Вычисление константы Каждана используется, в свою очередь, в получении оценки времени работы «алгоритма замены произведений», позволяющего генерировать случайные элементы конечных групп [].

В общем же случае для колец стабильного ранга 2 никаких подобных разложений не существует. Это связано с тем, что существование унипо-тентной факторизации конечной длины эквивалентно конечности ширины по отношению к элементарным образующим ж_а(), а классический результат В. ван дер Каллена [] показывает, что ширина SL(n, С[х]) бесконечна.

Естественно рассматривать и другие системы образующих. Так, например, элементарная подгруппа Е(Ф, R) совершенна (за вычетом отдельных исключений в ранге 1 и 2), что позволяет изучать ее ширину относительно множества всех коммутаторов. К. Сёда показал [], что каждый элемент специальной линейной группы над алгебраически замкнутым полем является коммутатором. Р. Томпсон установил [], что над произвольным полем

каждый элемент специальной линейной группы является произведением двух коммутаторов, и привел примеры элементов, не являющихся коммутаторами.

Множество работ по священно коммутаторам в конечных простых группах типа Ли. Знаменитая гипотеза Оре [] утверждает, что всякий элемент конечной простой группы является коммутатором. Доказательство этой гипотезы было завершено в работе М. Либека, Э. О’Брайена, А. Шалева и Ф.Х. Тьепа[].

Для полей, содержащих по крайней мере 8 элементов, гипотеза Оре, как и связанная с ней гипотеза Томпсона о произведениях классов сопряженности, доказана в работах Э. Эллерса и Н.Л. Гордеева []. Там доказано, что в односвязных группах Шевалле над полем каждый нецентральный элемент является коммутатором, что сразу же дает коммутаторную ширину ^ 2. То, что центральный элемент не обязательно является коммутатором, известно в случае специальной линейной группы еще из работы Р. Томпсона []. После работ Э. Эллерса и Н.Л. Гордеева [,] основным техническим средством в таких вопросах выступает разложение Гаусса с предписанной полупростой частью. Позже в работах Н. Л. Гордеева и Я. Саксла [] и Н. Авни, Т. Геландера, М. Кассабова и А. Шалева [] было обнаружено, что заменяя центр группы на полную конгруэнц-подгруппу, такой же результат можно получить и для групп над произвольным локальным кольцом.

В работе Л. Н. Васерштейна и Э. Уэланд [] было показано, что над [не обязательно коммутативным] кольцом R стабильного ранга 1 всякий элемент E(n,R) является произведением двух коммутаторов элементов из GL(n,R), а в работе Ф. Арлингхауса, Л.Н. Васерштейна и Хонг Ю [] аналогичные результаты были доказаны для четных гиперболических унитарных групп (включают симплектическую и четную ортогональную группу) при чуть более сильном предположении на кольцо. Как и в случае ширины по отношению к элементарным образующим, для колец стабильного ранга 2 в общем никаких подобных оценок не существует. Это показано в работе К. Денниса и Л.Н. Васерштейна [].

Основой для получения оценок коммутаторной ширины в работах [,] служат треугольные факторизации. После работы О. И. Тавгеня [] стало ясно, что треугольные факторизации являются одной из техник редукции к группам меньшего ранга, наравне с параболическими факторизациями. Есте-

ственным образом встает вопрос о том, нельзя ли исключить в редукционных теоремах множители, не лежащие в подсистемных подгруппах. Исследованию подсистемных факторизаций посвящено на удивление мало работ, отметим некоторые результаты:

По всей видимости, первым утверждением про подсистемные факторизации является теорема об углах Эйлера, которая устанавливает разложение компактной группы Ли SO(3) в произведение трех копий SO(2). Аналогичные разложения (длины не более 5) установлены в работе Т. Миясаки, О. Сюкудзавы и И. Йокоты [] для SU(3), Sp(3) и компактных групп типов F4, Ее и Е7.

В работе М. Либека, Н. Николова и А. Шалева [] в связи с приложениями к построению однородных семейств графов-экспандеров исследуются так называемые 8Ь2-факторизации конечных простых групп типа Ли, то есть разложения в произведение подгрупп, изоморфных SL(2,i?) = G(Ai,R). Обычно рассматриваются фундаментальные SL2, то есть отвечающие корневым подгруппам. Для групп нормальных (нескрученных) типов в работе [] установлена оценка в 5 |Ф+| множителей. В работе Н. А. Вавилова и Е. И. Ковача [] замечено, что в действительности из разложения Брюа сразу следует оценка 3 |Ф+| множителей. Чуть более подробный анализ показывает, что правильным контекстом для таких вопросов являются группы над областями Безу. В той же работе доказано, что для SL(n, R) = G(A_n_i, R) имеет место факторизация длины 2 | Ф⁺1, и намечен путь для получения такой же оценки в остальных случаях, что для некоторых классических групп проделано в дипломной работе Е. И. Ковача [].

В работе Н. Николова [] исследуются факторизации в терминах подгрупп типа А_п максимального ранга и для классических групп над конечными полями доказывается оценка в 200 множителей.

Цель работы. Целью работы является получение аналогов известных результатов о ширине и факторизациях для групп Шевалле над маломерными кольцами, обобщение таких результатов на исключительные групп и конгруэнц-подгруппы, а также уточнение существующих оценок ширины и длин факторизаций.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в дальнейшем исследовании структуры линейных групп, в вопросах теории конечных и арифметических групп.

Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры, техника весовых диаграмм и вычислений с элементарными образующими, а также явные уравнения на орбиту вектора старшего веса.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказано, что всякая конечная простая группа типа Ли в характеристике р есть произведение четырех своих силовских р-подгрупп.

2. Получены оценки ширины главных конгруэнц-подгрупп групп Шевал-ле над различными кольцами относительно множества образующих типа z_a.

3. Получены близкие к оптимальным оценки ширины групп Шевал-ле над кольцами стабильного ранга 1 по отношению к множеству коммутаторов.

4. Построены факторизации групп Шевалле над эрмитовыми кольцами в терминах подгрупп, изоморфных SL2, более короткие, чем все известные ранее.

5. Показано, что четная спинорная группа Epin(2, R) над кольцом R стабильного ранга 2 есть произведение 9 своих подгрупп, изоморфных Е(, R).

Апробация работы. Результаты работы были изложены на следующих семинарах и конференциях: на Петербургском семинаре по алгебраическим группам (рук. проф. Н. А. Вавилов), на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фаддеева, на Московско-Петербургском семинаре по маломерной математике (рук. С. В. Дужин), на международных конференциях «Ischia Group Theory» (2012, 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [–]. В том числе одна работа [] опубликована в международном журнале, входящем в базу данных Web of Science, и одна работа [] опубликована до 30.11.2015 в отечественном журнале, входящем в список ВАК (перечень от 19 февраля 2010 г. № 6/6).

Результаты написанных в соавторстве работ [,] получены совместно с Н.А. Вавиловым, которому также принадлежит общее руководство работой и введение, кроме результатов, относящихся к группе SL(2,Z[¹/]), которые получены Сури Б.

Работа [] написана в соавторстве. В ней автору принадлежат разделы 4.2, 4.3 и 5.1, а результаты разделов 3.2 и 5.2 получены совместно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 78 страниц. Список литературы включает 100 наименований на 7 страницах.

Условия стабильности

Здесь 1Ш обозначает идеал, порожденный квадратами а2, где аЄІ. Идеал /2 же порождается произведениями вида аЪ по всем а,Ь Є I. Таким образом, 11 порождается элементами вида а2Ь для а, Ь Є /.

По теореме Таддеи [89] группа Е(Ф, R) нормальна в С(Ф, R), если Ф - неприводимая система корней ранга 2. Релятивизация Стайна [84] позволяет вывести из теоремы Таддеи, что при тех же предположениях относительная элементарная группа Е(Ф, Л, /) нормальна в С(Ф, Л, /). Это позволяет определить относительную Кі-группу посредством Кі(Ф, Л, /) = С(Ф, Л, /)/ Е(Ф, Л, /). В случае I = R мы пишем Кі(Ф, R) вместо Кі(Ф, R, R).

В некоторых случаях известно, что группа Кі(Ф, Л, /) тривиальна. Например, SKi( + 1, R) = K(Ae,R) = 1 для любого кольца стабильного ранга 1 (см. раздел 1.3), в то время как для других систем корней может потребоваться более сильное условие стабильности, такое как asv(R) = 1 или полулокальность. С другой стороны, для любого евклидова кольца R и любого идеала I R группа Кі(Ф, Л, /) тривиальна для любого Ф.

Для колец главных идеалов, не являющихся евклидовыми, тривиальность К і может не иметь места [42,48,56]. Так, например, если S — мультипликативная система, порожденная всеми круговыми многочленами, то R = S lZ\pc\— область главных идеалов, для которой Кі(Д) ф 1.

Пусть к - глобальное поле, S - конечный набор нормирований поля к, содержащий все неархимедовы нормирования. Обозначим через Os дедекиндово кольцо арифметического типа, определенное к и S, и пусть / — идеал кольца Os.

Теорема. Пусть Ф - система корней ранга 2. Предположим, что поле к имеет вещественное вложение. Тогда Кі(Ф, Os, I) = 1. Доказательство. Следует из [22, теорема 3.6] и [63, следствие 4.5]. 1.2. Представления и уравнения Пусть тг - базисное представление группы Шевалле G( , R) на модуле V. Лемма Мацумото [63, лемма 2.3] утверждает, что можно нормировать базис Vх, X Л (тг), va, а А(тг) таким образом, что действие корневых унипотентов ха() будет описываться следующими простыми формулами: Если Л Л , Л + сЛ, то xa()vx = vx; Если Л, Л + а Л , то ха(0 х = vx ± &х+а; Если а Л , то xa(t)v = v для любого v V; Если а Л , то ха(ф-а = v-a ± v(a) ± и xa(Z)v0 = v±Za (v)va. Здесь і;0(а) это определенный унимодулярный элемент V, а а - некоторый унимодулярный элемент двойственного модуля (VY = Ноігід(У , R). В случае, когда а П, a v = va, последние две формулы принимают более простой вид: xa(C)va = va- 2(va, xa(C)v-a = v-a + va - f V. Это отвечает действию корневого унипотента в присоединенном представлении группы SL(2, R), где va, v-a и va образуют стандартный базис алгебры Ли si2. Замечание 1.3. Пусть Аь А2 Л(тг) - пара весов представления тг классической группы, для которых Лі - Х2 Ф. В такой ситуации нам будет удобно писать ЖАЬА2(0 (при некотором выборе Лі и Л2) вместо ЖАІ-А2(0- Например, для Ф = А будем писать хіг2(0 = х - +а Ь = жаі(0- Эт0 сделано с целью зафиксировать знаки в лемме Мацумото. Для классических групп имеется стандартный выбор знаков. Мы будем нумеровать веса векторных представлений классических групп следующим образом: 1,2, ..., + 1 в случае Ф = А , ,2,... ,,0,-,... ,-2,-1 вслучае Ф = В, 1,2,... ,,-,... ,-2,-1 вслучаях Ф = Q, D. Так, мы пишем 1 вместо VJ\, 2 вместо w\ - а\, и так далее. Тогда в случае Ф = Q длинные и короткие корневые унипотенты в симплек-тической группе имеют вид ЖІ-І(0 = Є + ЄІ-І, Xij{) = Є + frij - ЄіЄ Є-j-i, і ф ±j. Здесь є І — знак і. В случае Ф = В , D длинные и короткие унипотенты в SO(n, R) это xbJ() = є + Єу - &Ч-г, і ф ±j, i,j ф 0, Жю() = Є + 2еЮ - е0,г - Єг,-г, І Ф 0. Мы будем пользоваться весовыми диаграммами. Весовая диаграмма базисного или присоединенного представления это граф, вершинами которого служат элементы Л(7Г), и две вершины А и /І соединены ребром с меткой І, если А —/i = iCKj.

Диаграмма ориентирована, то есть мы читаем ее справа налево и снизу вверх, больший вес всегда стоит левее или выше меньшего. Иногда для присоединенного представления мы будем изображать только положительную часть диаграммы, то есть включающую положительные и нулевые веса.

Весовые диаграммы позволяют визуализировать действие корневых унипо-тентов. А именно, для корня а надо найти все цепочки ребер, метки на которых (скажем, iu...,ik) суммируются в а, то есть а = аи + ... + аи. Прибавление тогда происходит вдоль всех таких цепочек по правилам, описываемым леммой Мацумото.

Мы будем пользоваться также уравнениями на орбиту вектора старшего веса, то есть уравнениями, которым удовлетворяют элементы вектора gv+ для любого ЄС(Ф,Д).

Первый тип уравнений - квадратные, или, в терминологии работы [61], тг/2-уравнения. Они отвечают квадрату, то есть множеству весов Q С Л, имеющему не менее 4 элементов и удовлетворяющему дополнительному условию: для любого А Є Q разность А — /І является корнем для всех ц Е Q, кроме одного, обозначаемого А (и А —А ф Л). Типичным примером квадрата является диаграмма векторного представления группы типа Df.

Каждому максимальному квадрату П = {Аь Аь ..., Хк, Хк} отвечает одно уравнение, имеющее вид V\.VT ± . . . ± V\,VT = 0. Л1 Лі Лк Лк В присоединенном представлении имеются и другие, учитывающие нулевые веса. Нас будет интересовать только случай Eg. Пусть а и (3 — два ортогональных корня. Тогда вектор v из орбиты вектора старшего веса удовлетворяет следующим трем уравнениям. тг/2-уравнение имеет вид VaVfi = ±V yVS, где S i2{a,/3) = { {7,5} I 7 + 5 = a + /3, {7,5} ф {a,(3} } . 2тг/3-уравнение имеет вид va (/3, as)vs = 2 ± W s=1 h,S}eS27T/3(a,f3) (7,/?)=l где S2 /3{a,P) = { { y,6} I 7 + = a, (7,/3) 0). Наконец, 7г-уравнение имеет вид где s=l s=l (7,J)eS,;(a,J8) (7, 5)є (а,/3) (a,/3) = {(7,-7) I (7,a = (7,/5 = -l} , (a,/3) = (7,-7) J (7,a = -7,/3 = -l} . Группу Шевалле, отвечающую системе корней Ф с кратными связями, можно реализовать как скручивание группы, отвечающей некоторой системе Ф с простыми связями. Тогда уравнения на орбиту вектора старшего веса можно получить, рассматривая ограничение представления G( ) на G( ).

Так, E i можно рассматривать как 2D +i. Занумеруем веса векторного представления G(Dm) = SO(2 + 2) как 1,..., + 1, - - 1,..., -1. Тогда группа G(B ) = SO(2 + 1) является подгруппой преобразований, оставляющих неподвижным вектор ve+1 — v l l. На уровне матриц это означает, в частности, что + 1-й и — — 1-й элементы первого столбца равны, поэтому уравнение на орбиту вектора старшего веса для SO(2 + 2), имеющее вид

Группа Судзуки и большая группа Ри

В данном доказательстве мы будем писать aiJ, работая со всей матрицей или с какой-то из ее строк, и (ж, у, zf для ее первого столбца. СЛУЧАЙ 1. Предположим, что х ф 0. Применяя нижнее преобразование, можно добиться того, чтобы элемент в третьей строке стал обратимой t-компонентой. В случае Ft = F достаточно, чтобы элемент стал ненулевым. Полагая теперь z Є F\ применим верхнее преобразование с а = -y/z, чтобы получить 0 во второй строке. Это возможно, так как любой у является n-компонентой.

Теперь у = 0, так что применяя еще одно верхнее предобразование, можно получить 1 в первой строке. А именно, поскольку у = 0, после применения верхнего преобразования элемент в первой строке равен х + [5z. Чтобы получить 1, положим /3 = (1 - x)/z. Соответствующая n-компонента может быть получена исходя из того факта, что Ft = F, но мы проведем более общее рассуждение, работающее во всех случаях, когда z Є Ft является обратимой t-компонентой: п - 1-х 1-х (l-x)z + (l-x)z з + д = 1 = = z z zz z + z -xz-xz z + z" z z z z Поскольку z Є Ft является t-компонентой, существует такой 7, что z + z = 77-Можно положить а = 7/2. Из столбца с х = 1 легко получить (1,0,0) одним нижним преобразованием. Заметим, что z + z = уу. Поэтому можно использовать а = -уи /3 = z. В итоге имеем ап = 1, а21 = азі = 0. Из уравнений (U1.2) и (U1.3) следует 2з2 = 0 и 2зз = 1- Поскольку det(A) = 1, (I22 = 1. Это означает, что мы получили верхне-унитреугольную матрицу, применив три элементарных преобразования, а такая матрица, лежащаяя в SU3, является элементом типа х+. Отсюда А = ж_( )ж+( )ж_( )ж+( ).

В силу уравнения (U1.1) выполнено у = 0, отсюда z Є F . Уравнение (U1.2) показывает, что ayi = 0. Из (U1.3) получаем — 2зі«їз = - т0 есть зГ = аїі-Поскольку det(A ) = 1, имеем а22 = -а а . t A. г13 ура Обозначим Ь = 2із, и пусть а — соотвествующая n-компонента, так что (а, Ь) Є A. Из уравнения (U3.3) получаем = (а23, Ьа:і:і) Є A. Рассмотрим b l -± C= (b-\b-la:i:i) и заметим, что А = х. Ъ 1 -+ С w+ (а, Ъ) = ж_( )ж+( )ж_( )ж+( ). П Пусть теперь F = С — поле комплексных чисел с комплексным сопряжением в качестве инволюции. В этом случае Q = {х Є С Re х 0} и Сп = С. Лемма 2.3. Группа SU3(C) допускает унитреугольную факторизацию SU3(C) = U U" U U" и длины 5. Доказательство. Мы снова фиксируем элемент А є S773(С) и работаем с его первым столбцом, обозначаемым (ж, у, я) .

СЛУЧАЙ 1. Предположим, что Іт(ж) ф 0. Сначала мы получаем 0 во второй строке, применяя нижнее преобразование с а = (—х/у). Теперь при у = 0, мы можем получить обратимую t-компоненту в третьей строке с помощью еще одного нижнего преобразования. А именно, положим х = хх+х2г, Р = Pi+foi- Требуется найти такие (Зъ (32 Є R, А 0, что Re(z+(3x) 0. Re(z+(3x) = Rez+хфі-х . Возьмем /Зі = 1, тогда ясно, что можно найти /32, для которого -х2/32 \Rez\-xi. Тогда [3 = 1 + [32г являкется t-компонентой параметров искомого преобразования. Остаток доказательства в этом случае совпадает с доказательством случая 1 кеммы 2.2.

СЛУЧАЙ 2. Если 1т(ж) = 0, мы применяем одно верхнее преобразование, чтобы получить в первой строке элемент с ненулевой мнимой частью, а затем пользуемся случаем 1, что дает факторизацию длины 5. Заметим, что в случае х = 0 мы не могли бы повторить доказательство из леммы 2.2, так как z ф 0 может не быть t-компонентой. Это действительно является препятствием к существованию более короткой факторизации: Лемма 2.4. Если Ft ф F, то не существует унитреуголъной факторизации длины меньше 5.

Допустим, А может быть выражена как произведение 4 элементарных матриц: Эквивалентно, можно применить к Л три элементарных преобразования А и получить нижне-унитреугольную матрицу: ж+( )ж_( )ж+( )Л = ж_( ). За фиксируем некоторые коэффициенты (аг,/3і) Є A и рассмотрим произведе ние В = х+(а\, /Зі)ж_(«2, /32)ж+(«з, (Зз)А. Прямое вычислением показывает, что Б33 = [52/х. С другой стороны, как диагональный элемент нижне-унитреугольной матрицы, зз = 1. Отсюда 02 = х ф Ft, противоречие. П

Группа Судзуки рассматривается как подгруппа симплектической группы Sp(4, F) над полем F = q,q = 22m+1, поэлементно инвариантная под действием исключительного автоморфизма. Далее обозначим через {а,/3,а + /3,2а + /3} положительные корни С2.

Обозначим в = 2т, так что q = 2в2, и рассмотрим автоморфизм t t поля F. Он позволяет определить исключительный автоморфизм Sp(4, F), отвечающий симметрии ее диаграммы Дынкина, следующим образом: а: х,{ (0 і— жт UXh)e) , где А(7) = і 1, если короткий, 2, если длинный. Группа Судзуки определяется как Sz(q) = 2С2 ( 22m+1 ) = {g Є Sp(4, F) \ a(g) = g} . Это определение не очень подходит для прямых вычислений, так как не выявляет никаких уравнений на матричные элементы, кроме тех, что приходят из симплектической группы. К счастью, группа Судзуки наследует разложение Брюа Sz(q) = Ц В w U, где w пробегает ее группу Вейля. Это разложение можно по существу использовать в качестве определения группы Судзуки.

Можно даже не вычислять элементы д2 под диагональю и просто заметить, что д2 имеет вид h(e) X-(t,u) для некоторых t,u Є F, что и требуется. В действи тельности t = є2в-1(1 + є2в-1)ии = є + єв + є2в. Большая группа Ри рассматривается как подгруппа группы Шевалле G(F4, q), q = 22m+1, задаваемая исключительной симметрией диаграммы Дынкина таким же образом, как группа Судзуки. Она не является группой ранга 1, поэтому из существования разложений для групп типов Ai and 2С2 по теореме Тавгеня получаем

Относительное разложение Басса—Кольстера

Отметим, что единственное место в теореме 3.1, где по существу возникают предположения на базовое кольцо - существование унитреугольной факторизации. Поэтому начиная с факторизации другой длины или над другим кольцом, можно получить аналогичные хорошие оценки на коммутаторную ширину. Так, например, группы Шевалле над булевым кольцом допускают унитреугольную факторизацию Е(Ф) = U+ITU+ длины 3, так что каждый элемент сопряжен произведению uv для каких-то и Є U+, v Є U . Отсюда следует, что каждый элемент Е(Ф, R) может быть выражен как произведение N — 1 коммутатора (где N такое же, как в теореме 3.1).

Как было упомянуто в главе 2, группа Е(Ф,Ж[і/Р]) допукает факторизацию длины 5, и потому удовлетворяет той же оценке на коммутаторную ширину, что и группы над кольцами стабильного ранга 1.

В работе [49] показано, что для пространства Стейна X размерности 1 или 2 специальная линейная группа степени 2 над кольцом 0(Х) функций, голоморфных на X, допускает унитреугольную факторизацию длины 4 или 5 соотвественно. Теорема Тавгеня о редукции ранга [6,14] расширяет этот результат на все элементарные группы Шевалле (но не на объемлющую группу, так как SKi(n, 0(Х)) не Рисунок 3.7: (Е6,ш2) обязательно тривиален при п 2), поэтому Е(Ф, 0(Х)) имеет коммутаторную ширину не более N, снова для того же N, что и в формулировке теоремы 3.1. В работах [19,94] коммутаторная ширина вычислена также для расширенных групп Шевалле (например, GLn, GSp2n, GOn и так далее). Получающиеся оценки чуть лучше, потому что можно вместо унитреугольной факторизации начинать с разложения Гаусса Е(Ф, R) = Н(Ф, R) 11+(Ф, R) и-(Ф, R) и+(Ф, R). Можно изменить лемму 3.6 следующим образом (здесь Т8С(Ф) - расширенный тор, см. [1,23]): Лемма 3.16. Для любого Ь Є Н(Ф) U+ существует такой г] Є Т8С(Ф)и+ что фтгг]-1 - фробениусова клетка. Результат получается таким же образом, как в теореме 3.1. Более того, для расширенных групп не требуется отдельно рассматривать случай Ф = А +ь так как можно положить г = Рп, что и сделано в [94]. Другая интересная деталь работы [19] — еще более низкая оценка в случае четной ортогональной группы 02п. Трюк состоит в том, чтобы использовать не элемент Кокстера группы Вейля W(D ), а элемент Кокстера А _ і-подсистемы А в композиции с внутренним автоморфизмом, отвечающим симметрии диаграммы Дынкина D. Тогда можно положить Е = 5 П А_ъ так что на соответствующей унипотентной подгруппе U(E) действует Е(А П A _i), что в точности совпадает со случаем А _1. Однако этот автоморфизм является внутренним только для 02п, но не для SC 2n, как утверждается в [19].

Следующее рассуждение, показывающее, что этот автоморфизм является внутренним для С 2п, принадлежит С. Гарибальди.

Пусть р: G — GL(V) — неприводимое представление G со старшим весом А. Умножая данный автоморфизм а системы корней Ф на подходящий элемент группы Вейля, мы может полагать т(П) = П (при этом и переводит доминантные веса в доминантные веса). Мы хотим найти такой х Є GL(V), что а(д) = хдх 1 для каждого д Є G. Предложение 2.2 работы [24] утверждает, что такой х существует в том и только в том случае, когда а (А) = А. Пусть теперь р — естественное представление 02П, и поскольку w\ не меняется при симметрии, такой х найдется в GL2n. Для каждой G-инвариантной полиномиальной функции /наУ функция xf является p(G)-инвариантной. Но p(G) = G, так что xf G-инвариантна. Если / - невырожденная квадратичная форма на V, то xf 80(/)-инвариантна и является невырожденной квадратичнйо формой, так что она должна быть пропорциональна /. Отсюда х Є 02П.

Для четной спинорной группы Spin2n такой элемент не может существовать ни в группе Ріп2П, ни в группе Клиффорда, поскольку он переставляет старшие веса двух полуспинорных слагаемых ее спинорного придставления.

Исключительные группы в микровесовых представлениях

Будем работать в присоединенном представлении (Е8,ет8) и изображать на диаграмме только положительную часть. Мы будем использовать ее же для отрицательной части, читая ее слева направо и сверху вниз вместо справа налево и снизу вверх.

Положительная часть раскладывается в сумму одномерного представления на Rv+, двух микровесовых представлений (Е7,ет7) и (Е6,ші), полуспинорного представления (D5,ro5), бивекторного представления (А4,ш2) и положительной части присоединенного представления (А4, ad).

Начнем с обнуления элемента v.WR при помощи G8. Если в результате в (Е7,ет7)-части найдется ненулевая компонента, можно найти элемент из G(A8) = G(E7), который сделает нулевыми все vx, А Є -Е8 \ {-а8}, при этом v.as станет ненулевым.

Теперь, когда v.a, ф 0, рассмотрим тг/2-уравнение, отвечающее паре корней (—а8,/3) для какого-нибудь (З Є A7j8. У каждого элемента { ,5} Є 5 7Г/2(—а8,/3) одна из компонент лежит в — Е8 \ {—а8} (а другая в Е7 П А8), так что vp = 0. Отсюда автоматически щ = 0 для всех і = 1,..., 6. Это следует из того, что в противном случае действие х0.(1) делало бы va. ненулевым. Но оно не меняет v\, А Є — Eg, так что рассмотренное уравнение по-прежнему влечет vai = 0.

Рассмотрим 27г/3-уравнение, отвечающее паре корней (—а8,— ао). Как и ранее, у каждого элемента {7, 5} Є 5,27Г/з(—«g, —«в) одна из компонент лежит в —Eg \ {—ag}. Правая часть уравнения тогда равна нулю, а левая равняется v.as(v5 - 2щ + v7), поэтому v7 = 0. Следовательно, vx = 0 для всех А Є -Е7П А8 (в силу действия ж_А(1)).

Теперь рассмотрим тг-уравнение, отвечающее паре корней (атах, а7). Для каждой пары (7,5) Є (атах,а7) выполнено 7 Є -Е8 \ {-а8}. В S n(-amax,-a7) то же самое выполнено для всех элементов, кроме одного, а именно (—а8, а8). Так что 7г-уравнение имеет вид —щ щ = V-aa v0a. Это означает, что стол-бец (уаа,щ,У-ааУ удовлетворяет условию Леммы 4.3, так что он переходит под действием некоторого элемента G8 в ( , 0, 0) . 2тг/3-уравнение для (а7 + а8, а6 + а7) принимает вид va7 va„ = 0. Действи-тельно, для каждого { ,6} Є 5 /з(а7 + «8, 6 + а7) либо одна из компонент Рисунок 4.4: (Е8,щ ON лежит в -{б,7} П А8, либо {7,} = {а7,а8}, в то время как дг = 0 для всех і = 1,..., 8. Поэтому va = 0. Отсюда следует, что v\ = 0 для всех А Є 7 П Ag. В самом деле, для Л Є а7 + б П А7 умножение на x\-aJl) поставило бы ненулевой элемент в позицию а7, не трогая при этом отрицательную часть и vaa, противоречие. Таким образом, все элементы на позициях из множества а7 + Se П А7 равны нулю, а остальные равны нулю, поскольку применение еще одной элементарной трансвекции сделало бы ненулевым один из элементов на ПОЗИЦИЯХ «7 + Se П А7.

Теперь, когда ненулевыми являются только г л с А Є g, мы снова применяем случай (E7,z&i) и обнуляем все элементы, кроме vUmax и vamax-a8, после чего завершаем редукцию умножением на элемент из Gg.

Если же (Е7,ш7)-часть состоит целиком из нулей, мы используем случай (Е6,ші), чтобы обнулить все элементы из -Е7\ \а7\. Если v.Q, ф 0, то рассужде-ние, аналогичное случаю г _а8 т 0, показывает, что vp = 0 для всех /З Є А{6 7jg} и что % = 0 для г = 1,..., 5. Это следует из тг/2-уравнения для (-а7, /3). Из 2тг/3-уравнения для (—«7, —«s) следует, что г б = 0 и г л = 0 для всех А Є — T.Q П А7. Из тг-уравнения для (атах, а7) следует, что щ = 0.

Положим а = —«і—2«2—2«з—3«4—2а5—«в, то есть а — минимальный корень подсистемы типа Ее. Поскольку единственный ненулевой элемент в отрицательной части это V-ar, 7г-уравнение для (а, — CXQ) превращается в v7 = —var V-ar, так что мы применяем лемму 4.3 с G7, чтобы обнулить v-ar и v7.

Поскольку va, ф 0, из 2тг/3-уравнения для (а7 + а8, а6 + а7) следует, что = 0, а из 2тг/3-уравнения для (а6 + а7, а5 + а6) следует, что vae = 0. Поэтому vx = 0 для всех А є 6 П А7.

В этот момент мы действуем G8 на вектор {va7+a va7)\ делая var = 0. Тогда для любого /З Є 7 П А8 тг/2-уравнения для (а7 + «8, /3) показывает, что = 0. Поэтому мы опять можем использовать случай (Е7, ш7). Заметим, что получаемое произведение 8Ь2-подгрупп лежит в произведении, которое мы использовали в случае V-a8 ф 0.

Если v-ar = 0, то есть (Е6,еті)-часть состоит из нулей, мы идем глубже и проводим аналогичную процедуру на (D5,ro5)-части. Далее, если необходимо, делаем то же самое на (А4, ет2)- и (А4, асі)-частях. Для последнего мы используем тот факт, что (А, ad) раскладывается в сумму (А _ь wx) и (А _ь ad), так что мы по очереди обнуляем все те веса из -Е2 П А5, -Е4 П А{2;5}, -Е3 П А4, которые не являются минус простыми, и повторяем рассуждение, использованное для всех других частей.

В целом мы использовали произведение 1 + 27 + 1 + 27 + 1 = 57 множителей, чтобы перевести д 8 в v+. Заметим, что 57 + 56 + 126 - 7 = 240 - 8. 4.1.4. Исключительные группы с кратными связями Случай (F4, wA). Сначала мы используем элемент из G4, чтобы обнулить элемент, отвечающий младшему весу, затем рассуждение, аналогичное случаю 4 4 V/ 1 1 V/ 4 Рисунок 4.5: (F4,ro4) (D4, i), дает элемент из G3 G2Gi G3 G2 G3, обнуляющий все, что стоит на позициях из - 4 \ {-аЛ. Если v-n. Ф О, то все элементы на позициях из -3 равны нулю, так что мы можем использовать Лемму 4.3 с G4, чтобы перевести все в положительную часть. Теперь мы можем использовать элемент из G4 G3 G2 G3 Gi G2 G3, чтобы перевести v в v+, поскольку vx = 0 для всех А є S3 П A4.

Если У-ал = 0, то мы могли использовать G2 Gi сразу после применения G4, чтобы сделать v-nQ единственным ненулевым элементом в отрицательной части. После этого используем G3, чтобы перевести его в положительную часть, и G4 для того, чтобы перевести его в позицию аъ + а4. Этот случай уже был разобран ранее. Таким образом, мы построили произведение 15 множителей, переводящее та-й столбец в v+, а 15 + 14 + 15 = 48 - 4.

Случай (G2, i). Поскольку группа G(G2) в своем 7-мерном представлении является подгруппой S07 и диаграмма Дынкина является цепочкой, существует элемент из GiG2GiG2Gb переводящий первый столбец в г;+ а 5 + 4 + 1 = 12-2. 4.2. Произведения SL-подгрупп Основной результат работы Н. Николова [67] дает оценку на длину SL-факторизации: Теорема. Пусть — классическая (возможно скрученная) группа Шевалле ранга над конечным полем. Тогда раскладывается в произведение не более 200 подгрупп, изоморфных SL.

Доказательство в [67] основывается на унитреугольной факторизации длины 13, так что уже просто использование результатов [6] или [82] значительно улучшило бы получающиеся оценки. В действительности гораздо более эффективно начинать не с треугольной факторизации, а с параболической факторизации. Мы будем использовать разложения Денниса-Васерштейна. Заметим для начала, что из него моментально следует следующая вариация леммы 4.2:

Лемма 4.4. Предположим, что sr(7) п - 1. Тогда SL(n + 1, Д, /) есть иртш-ведеше ив более 5 подгрупп, изоморфных SL(n, Л, /). Доказательство. Классическое разложение Денниса-Васерштейна (см. [7] и [13, Лемма 2.1]) позволяет представить SL(n + 1, R, І) в виде SL(n + 1, Д, /) = Pi -Xni Pn = G(Ai) U(Ei) Xni U(En) G(An). Разложим далее U(Ei) = (UinG(An)) Xln и U(En) = Xi„-(C7(En) П G(Ai). Остается заметить, что Xin Xni Хы Є G(Ai)Wl2 W. П Сейчас мы продемонстрируем на примере Ф = Df, что разложения Денниса-Васерштейна подходят для изучения подсистемных факторизаций в других группах, хотя и с худшими оценками на длину факторизации и условие стабильности. Рассмотрим убывающую цепочку Фк, к = 1,..., [/2\ подсистем системы корней Ф = Df, определенную следующим образом. Если 2к ф , мы полагаем Ф равным подсистеме системы Ф, порожденной простыми корнями СХ2к-1, ... ,&. Такие системы Ф имеют тип Di_2k+2. В случае 2к = положим Ф = (од) = Ai. Обозначим через /Зк максимальный корень системы Фк, то есть /Зк = атйХ(Фк), к = 1,..., [/2\. Обозначим через В множество всех [5к.