Двойные многообразия флагов и их применение в теории представлений Пономарева Елизавета Валентиновна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Пономарева Елизавета Валентиновна. Двойные многообразия флагов и их применение в теории представлений: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.01.06 / Пономарева Елизавета Валентиновна;[Место защиты: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова"], 2016.- 125 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. О двойных многообразиях флагов 18

1.1. Двойные многообразия флагов и их кольца Кокса 18

1.2. Тензорное произведение модулей и ограничение на подгруппу 20

1.3. Строение -инвариантных дивизоров на многообразиях малой сложности 23

1.4. Связь между 5-инвариантными дивизорами и алгеброй [/-инвариантов кольца Кокса 25

Глава 2. Классификация двойных многообразий флагов сложности 0 и 1 29

2.1. Некоторые леммы о сложности двойных многообразий флагов 29

2.2. Метод классификации для классических групп 30

2.3. Классификация для классических групп 36

2.4. Метод классификации для особых групп 45

2.5. Классификация для особых групп 46

Глава 3 . [/-инварианты колец Кокса двойных многообразий флагов 49

3.1. Метод поиска 5-инвариантных дивизоров 49

3.2. Метод вычисления инвариантов колец Кокса для классических групп 53

3.3. Инварианты колец Кокса для классических групп 58

3.4. Метод вычисления инвариантов колец Кокса для особых групп 101

3.5. Инварианты колец Кокса для особых групп 106

3.6. Примеры разложений тензорных произведений представлений и ограничений представлений на подгруппу 119

Заключение 122

Литература 124

Тензорное произведение модулей и ограничение на подгруппу
Связь между 5-инвариантными дивизорами и алгеброй [/-инвариантов кольца Кокса
Метод классификации для особых групп
Инварианты колец Кокса для классических групп

Тензорное произведение модулей и ограничение на подгруппу

В данном разделе мы обсудим, как устроена совокупность -инвариантных дивизоров на многообразиях сложностей 0 и 1. Более подробно про строение совокупности дивизоров можно посмотреть, например, в [19, 16.2]. Напомним определение сложности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Сложностью действия группы G на неприводимом алгебраическом многообразии X называется коразмерность с(Х) = со{Х) типичной 5-орбиты. ЗАМЕЧАНИЕ. Многообразия сложности 0 также называются сферическими.

На сферическом многообразии простых 5-инвариантных дивизоров конечное число, поскольку они являются компонентами дополнения к открытой 5-орбите.

Пусть теперь X — рациональное многообразие сложности 1. По теореме Люрота С(Х)Б С(Р1). Вложение полей С(Х) D С(Х)В задает рациональное отображение X --- Р1, типичные слои которого являются замыканиями типичных 5-орбит. Поэтому простые В-инвариантные дивизоры устроены следующим образом: все они, за исключением некоторого конечного числа, образуют семейство, которое параметризуется проективной прямой без конечного числа точек. Дивизоры данного семейства будем называть параметрическими, а остальные, которых будет конечное число, — исключительными.

Для каждого простого 5-инвариантного дивизора D С X, ограничив огс!д на С(Х)В С(Р1), получим нормирование поля С(Р:) с некоторым центром Zr Є Р1 и порядком hu Є Z+ локальной координаты в ZD (при hp = 0 в качестве ZD можно взять любую точку Р1). Дивизоры D, для которых hn 0, при отображении X --- Р1 переходят в ZD-Остальные дивизоры отображаются на Р1 доминантно. Параметрические дивизоры будут характеризоваться тем, что для них hn = 1 и не существует других -инвариантных простых дивизоров D , для которых ZD = % и hp 0. Точки z проективной прямой, для которых нет такого параметрического дивизора D, что zu = z, будем называть исключительными. Исключительных точек будет конечное число. Остальные точки Р1 назовем типичными.

Для рассмотренного выше рационального отображения X --- Р1 можно найти такие сечения F и F некоторого G-линейного расслоения С — X, что это отображение будет задаваться формулой х ь- (F(x) : F!(x)). Поскольку отображ;ение постоянно на 5-орбитах, то выбранные сечения будут 5-полуинвариантными одного и того же веса. Таким образом мы задали отображение с помощью линейной системы дивизоров {D D = divs,s Є {F,F!}}. Параметрические дивизоры — это в точности простые дивизоры линейной системы. Для типичной точки z = (р : q) Є Р1 параметрический дивизор D, для которого ZD = z, будет иметь вид D = div(qF — pF ). Для исключительной точки z = (р : q) Є Р1 дивизор D = dlv(qF — pF ) не будет простым, и верно следующее разложение: div(qF — pF ) = 2Z IiDiDi, где Di — все простые исключительные дивизоры в прообразе точки z. 1.4. Связь между Б-инвариантными дивизорами и алгеброй [/-инвариантов кольца Кокса

Теперь опишем строение алгебр [/-инвариантов колец Кокса многообразий малой сложности. Будем считать, что Pic(X) конечно порождена и свободна, тем самым кольцо Кокса корректно определено.

Отметим, что если дивизор D является 5-инвариантным, то каноническое сечение Su будет -полуинвариантным, и наоборот.

ТЕОРЕМА 1.7. Пусть X — полное гладкое многообразие сложности 0, a D\,... ,Dd — все простые В-инвариантные дивизоры на X. Тогда алгебра R(X)U свободно порождается каноническими сечениями s .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что s порождают R(X)U. Любой элемент из R(X)U представляется в виде суммы сечений попарно неизоморфных расслоений, эти сечения тоже будут [/-инвариантными. Разложим [/-инвариантное сечение в сумму 5-полуинвариан-тных. Значит достаточно доказать утверждение для произвольного 5-полуинвариантного сечения s линейного расслоения на X. Его дивизор является линейной комбинацией div s = Y CLiDi. Тогда s пропорционально произведению Г] sa . по всем і = 1,..., d.

Осталось доказать, что SDt алгебраически независимы. Вначале заметим, что С(Х)В =

С. Действительно, любая / Є С(Х)В постоянна на открытой орбите, а значит, и на всем X. Если выполнено некое нетривиальное соотношение между SDi, то найдутся два непропор циональных монома от Sui одного веса и одной мультистепени. Отношение этих мономов определяет непостоянную 5-инвариантную рациональную функцию на X, что противо речит равенству С(Х)Б = С. Похожая теорема верна для многообразий сложности 1. ТЕОРЕМА 1.8. Пусть X — полное рациональное гладкое многообразие сложности 1, пусть Di — все исключительные В -инвариантные дивизоры, a F и F — сечения, определенные выше. Тогда R(X)U порождается каноническими сечениями SDt, F и F1. Если на Р1 имеется хотя бы одна или две исключительные точки, то либо один, либо оба из элементов F и F м,ожно убрать из порождающих. Идеал соотношений порождается соотношениями вида qF-pF = П 8%, ZDi=(p:q) где (р : q) — исключительная точка Р1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Конечная порождённость доказывается аналогично предыдущей теореме. Пусть s — произвольное 5-полуинвариантное сечение. Представим дивизор сечения в виде линейной комбинации простых дивизоров div s = Yl aiF i + Yya{p--q) div(qF—pF!), тогда s пропорционально П s z ГК?- — pF!)a(p:i). Если исключительных точек хотя бы две, то F и F можно выразить через sui — это легко видеть из соотношений, описанных в теореме.

Теперь найдем соотношения в алгебре R(X)U. Мы знаем, что при подходящей нормировке сечений SDi выполнены соотношения qF — pF = Y\z =(»-д)5д/ гДе (р О) — исключительная точка. Докажем, что они порождают все соотношения. Рассмотрим произвольное однородное по мультистепени и весу соотношение

П aDtm F ) + П S%9(F, F ) + ... = 0,

где f,g,... — однородные многочлены от F и F . Чуть позже мы покажем, что с учётом описанных соотношений Y\sa J{F,F ) + Y\SD-9(F,F ) можно заменить на Yi D- iF, F ). Таким образом в исходном соотношении можно последовательно уменьшать количество слагаемых вида Г] s L f(F, F!). Тогда мы редуцируем исходное соотношение к соотношению вида Y\ s D-f(F, F!) = О, которое выполняется только при / = 0.

Осталось показать, что Г] s r -f(F, F ) + П SD-9(F, F ) МОЖНО заменить на Г] s%.h{F, F ). Обозначим sa = Y\s D-f(F,F ), sb = TisD-9(F, F ). Поскольку sa и sb имеют одинаковые веса и мультистепени, их отношение равно некоторой функции из С(Х)В С(Р:); однородными координатами на Р1 являются F и F . Тогда divsa и divs различаются на дивизор рациональной функции от F и F , и имеет место равенство где да,дь — однородные многочлены. Рассмотрим кратности вхождения исключительных дивизоров в это равенство. Если Di — исключительный дивизор с hvi = 0, то а = Ъг. Пусть z — исключительная точка Р1. Выделим в равенстве только такие дивизоры D, у которых Zr = z (и hu 0). Перегруппировав слагаемые, получим следующее равенство:

Связь между 5-инвариантными дивизорами и алгеброй [/-инвариантов кольца Кокса

Объясним, как найти вес регулярной на Up П UQ функции fi, задающей дивизор Di. Мы задавали дивизор Di некоторой координатной функцией ХІ на некотором сечении Si открытого в Up П UQ множества (полученного выкидыванием некоторых дивизоров). Её (В Г\ L Г\ М)-инвариантное продолжение на Up П UQ может не быть регулярным и иметь полюса вдоль ранее найденных дивизоров. Тогда fi можно записать в виде

Найдем условия на числа kj. Во-первых, можно воспользоваться тем, что вес канонического сечения sp i должен быть доминантным. Пусть Aj = — wt /j. То есть к весу — ЛІ = — (//j + к\Ці + ... + fcj_i//j_i) можно так добавить кратности фундаментальных весов, соответствующих простым корням из множеств I я J, задающих Р и Q, что получится доминантный вес.

Теперь объясним, как получить оценки на kj сверху, а также объясним, почему kj 0. Пусть х Є Up П UQ, И, обнуляя некоторые координаты действием элемента и Є U П L П М, мы привели точку х к точке их Є Si. Посмотрим, какой вид имеет выражение координаты ХІ точки их через координаты точки х и через Xj [j і). Для этого будем следить за видом выражений новых координат через исходные и через Xj при приведении точки х к некоторому виду. Из формулы (2) следует, что при действии элементом ЄХр(8Є/з) координаты изменяются следующим образом:

При приведении к сечению 5 3 мы будем действовать элементами вида exp(sea_/U2). При этом в формуле изменения координат (3) вместо Х\ будет Х2, а вместо \i\ будет /І2-Выражение участвующих в этой формуле координат через исходные может содержать х\ или Х2 в знаменателе. Продолжая таким образом, мы получим вид выражения ХІ через исходные координаты и Xj и оценки на kj сверху. Эти рассуждения продемонстрированы на случаях 1 и 2 из раздела 3.5.1.

Рассуждения выше показывают, что 9i = Q + f, где / — рациональная функция от других координат точки х. Поскольку q может принимать любые значения на точках дивизоров Di,... , Di-i, то Qi не может иметь нулей вдоль этих дивизоров.

Теперь опишем метод решения второй части задачи и объясним, как найти кратности полюсов [/-инвариантного продолжения fi с Up П UQ на Up[e] х С/д[е] ВДОЛЬ дивизоров Шуберта прямым вычислением.

Пусть U С G — некоторая унипотентная подгруппа, нормализуемая тором Т. Опишем, какими естественными способами можно вводить координаты на U . Пусть Л — пересечение А и некоторого замкнутого относительно сложения подмножества решетки Пусть / — регулярная функция на / з[е]. Опишем, как найти ordog ./. Для этого запишем / в координатах открытого множества, пересекающего дивизор Шуберта. Рассмотрим в G/B два открытых подмножества UA+\a.Ua.[e] и UA+\a.U-a.[ra], где та. — отражение относительно простого корня a j. Второе из них пересекает дивизор Шуберта ABJ. Поднимем / до функции / = 7г / на U[e] С G/B , где 7г : G/ В — G/Q — естественная проекция. Тогда ordDQjf = ordDBjf. Введем на UA+\ajUaj и UA+\ajU-aj координаты, заданные такими наборами множеств В\,..., &, В[,..., В к, что В\ = ВІ (і = 1,..., к — 1), Ви = {&j}, В к = {—a j}. Координаты на UA+\aUaj[e] и UA+\a.U-a[raj] будем обозначать через q ( и qi( соответственно. Координаты связаны следующим образом: q7 = qi( для 7 Є Д+ \ aj и q _a. = q l. Действительно, рассмотрим в G простую подгруппу Ga. с системой корней {iojj}, локально изоморфную SL2. В G/B есть открытое подмножество, изоморфное UA+\№J х Gaj/(B П Gaj), содержащее UA+\ajUaj[e] и UA+\ajU-aj[raj]. Тогда координаты на UA+\a. не изменяются, а связь координат q _a. и qaj устанавливается из следующего матричного соотношения: -с1

На множестве UA+\a.U-aj[raj] дивизор Шуберта DBJ задаётся условием q a. = 0. Тогда —огсі в / равен степени / по координате qa..

Теперь пусть / — регулярная (U П L П М)-инвариантная функция на [е] х (Up П UQ)[е]. Опишем, как найти порядок её [/-инвариантного продолжения на X вдоль DQJ. Вначале продолжим /до (U Г\ Ь)-инвариантной функции на [е] х /д[е]. При этом если дописать новые координаты слева, то есть рассмотреть на /д[е] такие координаты, что последнее множество В к = A(Up Г\ UQ), ТО выражение / через координаты от этого не изменится. Далее поднимем / на [е] х U[e] С G/Р х G/B , получим /. Если рассмотреть такие координаты на [е] х U[e], что новые координаты добавляются справа, то выражение / через координаты будет совпадать с выражением /. Порядок [/-инвариантного продолжения / на Up[e] х U[e] С G/Р х G/В вдоль дивизора Шуберта Dpj (на двойном многообразии флагов) будет равен порядку / вдоль дивизора Шуберта DBJ (на одинарном многообразии флагов). Мы уже знаем, что кратность полюса / равна степени по qa., где координаты на U[e] выбраны таким образом, что последнее Вк равно { х?}. Таким образом для вычисления степени / по qaj нужно выразить 2 рассмотренных набора координат на U[e] друг через друга.

Форма записи результата. Группу UPC\UQ МЫ будем схематично изображать на рисунках (разделы 3.5.1 и 3.5.2). Клетки соответствуют координатам Up C\UQ. Соседние по горизонтали клетки будут соответствовать координатам q7 (левая клетка) и g7+ai (правая), где і — число, стоящее снизу на горизонтальной разделяющей клетки прямой.

Аналогично с соседними клетками по вертикали (если некоторой клетке соответствует q (, то соседней сверху — Q-y+aj)- Теперь осталось сопоставить координату одной клетке. Для этого вначале заметим, что / или J совпадают с {аі} для всех двойных многообразий флагов G/Pi х G/Pj особых групп сложности не больше 1. Поэтому Up П UQ С Upa . Таким образом, у нас есть стандартная картинка для Upa ( своя для EQ И -ЕУ)? а картинка для Up П UQ является ее подкартинкой. Для стандартной картинки самый левый нижний квадрат соответствует координате qai. Чтобы в стандартной картинке выделить нужную подкартинку, мы будем некоторые клетки рисовать пунктиром: клетки, соответствующие координатам Up П UQ, будут иметь сплошную границу, остальные клетки (дополняющие до стандартной картинки) — пунктирную границу. Жирными линиями будем разделять координаты, отвечающие неприводимым подпредставлениям группы L П М.

Для краткости для группы Ее координату qk1a1+k2a2+...+k6a6 будем обозначать через Qkik2...k6 Переменные Хг на рисунках ставим в соответствии с алгоритмом, приведённым в 3.1.1. Для случая сложности 0 при замене всех ХІ на рисунке на 1 получим точку канонического вида. Для случая сложности 1 при замене всех ХІ на рисунке кроме одного на 1, а оставшегося (его клетку мы на рисунке будем закрашивать серым) — на z, получим точку канонического вида из 5-орбиты, соответствующей параметру z.

Для каждого случая информацию о дивизорах мы будем записывать в таблицу. Для краткости введем следующие обозначения для сечений: Fi = sr i} Fpti = snPi, FQ = sp,Qi-Для случаев сложности 0 для всех простых 5-инвариантных дивизоров, кроме дивизоров Шуберта, будем выписывать веса и мультистепени соответствующих им канонических сечений, координаты весов И ЛІ В разложении по простым корням и фундаментальным весам, выражение fi через gi,...,gi. Для случаев сложности 1 в таблицу будем выписывать аналогичную информацию для всех дивизоров, соответствующих некоторым ХІ. Для остальных исключительных дивизоров, кроме дивизоров Шуберта, будем выписывать только вес и мультистепень соответствующего канонического сечения. Также для случаев сложности 1 будем выписывать мономы от сечений, соответствующих исключительным дивизорам, имеющие такие же мультистепень и вес, как F и F , а также их вес и мультистепень. Напомним, что если таких мономов два, то значит исключительных точек тоже две и R(X)U свободна. Если мономов три, то исключительных точек три, соответствующие мономы связаны линейным соотношением с ненулевыми коэффициентами (которые можно считать равными 1 за счет выбора канонических сечений), a R(X)U является гиперповерхностью.

Метод классификации для особых групп

Группа Lai локально изоморфна D5 х Сх. Её диаграмма Дын-кина получается из диаграммы Дынкина для Е6 выкидывани- ( ем вершины, соответствующей простому корню oi1. Для группы D5 есть стандартное задание корней через веса ЄІ (СМ. [1, табл. 1]) — подпишем корни на рис. 1.0.1. Веса в Up, , (относительно тора в Е6) имеют вид а 1 + 2i=2 h&i- Проекция а 1 на пространство весов D5 равна 12{—Є1 — Є2 — Є3 — 4 + Є5). Таким образом, представление [Lai,Lai] в Up, , — это полу-спинорное представление ортогональной группы. Весами этого представления будут веса вида 12(±Є1 ± Є2 ± Є3 ± 4 ± Є5) с чётным числом минусов. Изобразим веса представления на рис. 1.0.2, изображая вес 12(±Є1 ± є 2 ± є3 ± є4 ± 5) столбцом из плюсов и минусов.

Обозначим множество коней {7 — скі 7 Є « і} через Л\ — а\. Рассмотрим сечение 5 2, состоящее из точек полученного вида. Оно схематично изображено на рисунке 6.1.1.

Обозначим через fi2 = «і + 2о!2 + 2о!3 + «4 + OLQ. Координату Х2 = q 2 мы обнулить на всем сечении 5 2 не можем. Действительно, чтобы обнулить q , оставаясь внутри 5 2, нужно подействовать группой Ull2-a1, но ц2 — сх\ ф A(U ПІП М). Условие Х2 = 0 задаёт на 5 2 дивизор. Отметим, что [/д1_а1-орбиты в Si\Di пересекают 5 2 трансверсально. Замыкание объединения (В Г\ L Г\ М)-орбит точек из 5 2 с Х2 = 0 будет (В Г\ L Г\ М)-инвариантным дивизором на Up C\UQ.

При приведении точки к сечению 5 2 мы действовали подгруппой [/д1_а1 С U П L П М, осталось действие /д(с/ппм)\Д1-а1- Подгруппа Я2 := /д(с/ппм)\Д1-а1 сохраняет S2. Действуя Н2, мы можем обнулить оставшиеся координаты (на местах ): 5122111, 9122211, 9123211, 9123212 Таким образом, вне дивизоров Di, D2 любая точка из Up П UQ действием группы U Г\ L Г\ М приводится к виду, схематично изобра- і—і — х 5 женному на рисунке 1.1.2. Если подействовать еще тором Т, то можно .—. Lil 4 ІХ1І I I I сделать X\ = X2 = 1. Значит, любая точка (из Up П UQ) вне Di и D2 2363236

Инварианты колец Кокса для классических групп

Группа Lai локалвно изоморфна E6 Х СХ. Её диаграмма Дынкина получается из диаграммы Дынкина для Е7 выкидыванием вершины, соответствующей простому корню о 1. Для группві Е6 еств стандартное задание корней через веса ЄІ и є (см. [1, табл. 1]) — подпишем корни на рис. 2.0.1. Веса в Up, } (относителвно тора в E7) имеют вид ск1 + і=2 &%(%%. Проекция о 1 на пространство весов E6 равна —Є1 — е. Таким образом, представление [Lai,Lai] в Up, } — это минималвное представление E6. Весами этого представления будут веса вида —ЄІ±Є, є І + Sj. Изобразим веса представления на рис. 2.0.2.

Поясним, как мы нашли D$. Будем действовать в соответствии с общей схемой поиска оставшихся (кроме Di,..., Dj) исключительных дивизоров, описанной в разделе 3.1.2. В качестве F и F мы возьмем FQFP FQ И F3F7. Из соображений весов и степеней F — zF может делиться на F2. Тогда нам хотелось бы найти такой D$, чтобы F — ZQF = F2F% для некоторого ZQ. Для этого мы будем приводить точку к другому каноническому виду — изображенному на рис. 2.4.2. Тогда дивизоры D i} соответствующие переменным ХІ на рис. 2.4.2 будут иметь следующие веса и мультистепени:

Рассмотрим двойное многообразие флагов для группы Ее, соответствующее подмножествам {сх\} и {а\,а }. Данное многообразие флагов имеет сложность О, алгебра R(X)U порождается элементами мультистепеней (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,1, 0), (1, 0,1), (1,1,1), (1, 0,1) и весов OJI, OJI, и ,, Ш2, с 5, OJQ, 0J4, 0 соответственно. Для данного многообразия флагов согласно теореме 1.4а имеем следующую формулу разложения тензорных произведений:

Рассмотрим двойное многообразие флагов для группы SO21, соответствующее подмножествам {а і} и {с , СХІ+І}, где 1 г I - 3. Данное многообразие флагов имеет сложность 1, алгебра R(X)U порождается элементами мультистепеней (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,1,0), (2,1,0), (1,0,1), (1,0,1), (2,0,1) и весов шг, ши ші+г, с _ь ші+г, ши Mi, 0Ji+2, 0Ji+i соответственно, а определяющее соотношение имеет мультистепень (2,1,1) и вес ШІ + ШІ+\. Для данного многообразия флагов согласно теореме 1.5 а имеем следующую формулу разложения тензорных произведений:

Поскольку фундаментальные веса EQ ЯВЛЯЮТСЯ проекциями соответствующих фундаментальных весов Е7 на пространство весов Ее, и вес ш\ ортогонален этому пространству, то

Получена классификация двойных многообразий флагов сложности 0 и 1 единым концептуальным методом. Таким образом, проверены уже известные результаты Литтельма-на, Стембриджа и Панюшева (для сложности 0; для сложности 1, когда обе параболические подгруппы, задающие двойное многообразие флагов, максимальны) и получены новые результаты для случая сложности 1 (когда хотя бы одна из параболических подгрупп не максимальна).

Найдено задание с помощью образующих и соотношений алгебр унипотентных инвариантов колец Кокса двойных многообразий флагов сложности 0 и 1. Таким образом, проверены уже известные результаты Литтельмана и Панюшева (для случая, когда параболические подгруппы, задающие двойное многообразие флагов, максимальны) и получены новые результаты для случая, когда хотя бы одна из параболических подгрупп не максимальна. Это даёт новые правила разложения тензорных произведений некоторых серий неприводимых представлений.

Доказано, что либо алгебра унипотентных инвариантов кольца Кокса двойного многообразия флагов сложности 1 свободна, либо её образующие связаны единственным определяющим соотношением. Таким образом, обобщён результат Панюшева на случай, когда хотя бы одна из параболических подгрупп, задающих двойное многообразие флагов, не максимальна.

Получены новые правила ветвления, которые следуют из доказанного диссертантом обобщения результата Литтельмана о связи между структурой алгебры унипотентных инвариантов кольца Кокса многообразия флагов относительно действия подгруппы Леви и структурой алгебры унипотентных инвариантов кольца Кокса двойного многообразия флагов.

В диссертации рассмотрены применения двойных многообразий флагов к задаче разложения тензорных произведений неприводимых представлений. В качестве следствия, возникло применение к задаче разложения ограничения неприводимого представления связной редуктивной группы G на подгруппу Леви параболической подгруппы. Естественно рассмотреть более общую задачу ограничения неприводимого представления на произвольную связную редуктивную подгруппу. Следуя геометрическому подходу, решение задачи разложения ограничений неприводимых представлений, реализующихся в пространствах сечений линейных расслоений над многообразием флагов G/P, на подгруппу Н вытекает из описания структуры алгебры (U Г\ і7)-инвариантов кольца Кокса R(G/P), где U и U Г\ Н — максимальные унипотентные подгруппы в G и Н соответственно. В случае, когда сложность действия подгруппы Н на многообразии флагов G/P мала, данная алгебра допускает относительно простое описание.

Отметим, что задача разложения тензорных произведений неприводимых представлений является частным случаем задачи разложения ограничения неприводимого представления на подгруппу, где в качестве подгруппы рассматривается диагональ diag(G) С GxG.

Таким образом, дальнейшая разработка темы диссертации включает в себя следующие задачи: классификация действий сложности 0 и 1 редуктивных подгрупп Н С G на обобщённых многообразиях флагов G/P редуктивных групп G, и описание инвариантов соответствующих колец Кокса R{G/Р) относительно максимальной унипотентной подгруппы в Н.