Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Локальная сверхразрешимость некоторых периодических Ф С - групп 13
1. Предварительные утверждения 13
2. Локальная сверхразрешимость Ф С -групп, являющихся локально разрешимыми или группами 21
Глава 2. Строение некоторых периодических локально разрешимых Ф С - групп 37
1. Предварительные утверждения 37
2. ЯРС - группы, являющиеся локально разрешимыми - или - группами 43
3. Локально разрешимые ЯРС - группы с условием минимальности 56
Глава 3. Обобщения квазигамальтоновых групп с элементами бесконечного порядка 67
1. RKC -группы 67
2. Полшщклические К С - группы без кручения 73
3. Группы с перестановочными изоордными циклическими подгруппами 78
Литература 85
- Локальная сверхразрешимость Ф С -групп, являющихся локально разрешимыми или группами
- ЯРС - группы, являющиеся локально разрешимыми - или - группами
- Локально разрешимые ЯРС - группы с условием минимальности
- Группы с перестановочными изоордными циклическими подгруппами
Локальная сверхразрешимость Ф С -групп, являющихся локально разрешимыми или группами
Если А - нормальная подгруппа группы С ив й су ществует такая подгруппа Ь ,что A D = & и для любой собст венной в Ь подгруппы О выполняется ,то подгруп па b называется добавлением к А в G-. В этом же параграфе приведен пример, показывающий , что подгруппа Ф С - грушш не обязательно является Ф С -группой.Ясно,что всякое дополнение к нормальной Q, - подгруппе К С -грушш само является К С - группой.для конечных разрешимых Ф С - групп доказано более сильное Пусть G- - конечная разрешимая Ф С -группа и А/ - нормальная в G а. - подгруппа. Тогда всякое добавление к А/ в ( является Ф& С - группой. Этот факт позволяет, проводя индукцию по порядку конечной разрешимой Ф г С - группы,доказывать многие её свойства (см., например, доказательство предложения 2) .Как показано в 3 главы 2 обращение этого предложения неверно. Однако, проясняет эту ситуацию следующее ю. Пусть Q - конечная сверхразрешимая группа, Q - нормальная в G о. - подгруппа.Если всякое добавление к Q в G является Фр С - группой, причем о, р ,то и сама группа G является Фр С - группой. Основным результатом 3 главы 2 является ТЕОРЕМА 3. Локально разрешимая группа с условием минимальности является Ф С - группой тогда и только тогда , когда всякое добавление к её полной части является Ф , С - группой. Ясно, что строение любого добавления к полной части локально разрешимой Фю С - группы с условием минимальности в силу его конечности описывается теоремой 2 Б главе 3 диссертации рассматриваются некоторые обобщения квазигамильтоновых групп.Квазигамильтоновы группы почти полностью изучил Ивасава в работах [із] и [l4].
Пусть А и Ь - подгруппы некоторой группы,причем A D. Обозначим через L(fo,A) множество всех подгрупп из СЬ .содержащих А .Если С,Т)є L(b,A) и CD=b«C,D =b), то подгруппу В назовем относительным дополнением (относительным решеточным дополнением) к С в Ь .Обозначим через С(& , А) и К (І А") соответственно множества относительно дополняемых и относительно решеточно дополняемых подгрупп из U (Ь А)»Дахер [15] и Абрамовский [іб] рассматривали группы, у которых решетка подгрупп с относительными дополнениями, то есть группы, у которых для любых подгрупп А и Ъ из
А следует L(bjA)=К(Ь, А).Такие группы были названы Я К - группами.По аналогии как и в случае К С -групп рассмотрим группы,у которых К( ,А) = С(Ь, А) для всех А и Ь таких,что А Ь .Среди этих групп в диссертации рассматривались так называемые ИКС- группы. К К С -группой назовем группу, у которой для любых подгрупп А и Ь найдется такая подгруппа С , что АС = А,1Ъ , АпОАПЬ и Ь С. Очевидно, что подгруппа и фактор-группа R К С -группы также являются ft К С - грушшми.Ясно,что R К С -группа является КС -группой,а квазигамильтонова группа- RKC-группой. Согласно предложению 12 конечная R К С -группа является нильпотентной,а по теореме 25 из [2] конечные RK -группы - это в точности вполне факторизуемые группы с транзитивным условием нормальности для подгрупп, поэтому пересечение -8 множеств конечных R К -иЯКС- групп является множеством конечных абелевых вполне факторизуемых групп. Очевидно, что симметрическая группа третьей степени является R К - , но не R К С -группой, а всякая неабелева группа порядка р -RKC -,но не RK -группой. Б I главы 3 рассматривались R К С - грушш.Здесь было показано,что RKC - группа без кручения является квази-гамильтоновой (см. лемму 5 ). Б 2 главы 3 рассматривались полипиклические группы без кручения.Было доказано, что полициклические группы без кручения, у которых все подгруппы конечного индекса являются КС - группами, - квазигамильтоновы (см. лемму 6 ). Известно,что следующие условия эквивалентны: 1) группа является квазигамильтоновой ; 2) все циклические подгруппы в группе перестановочны ; 3) все изоордные (равных порядков) подгруппы в группе перестановочны. В связи с этим возникает вопрос изучения групп, у которых изоордные циклические подгруппы перестановочны.Грушш такого рода рассматривались в 3 главы 3. Оказывается, что грушш без инволюции (элементов второго порядка) с перестановочными изоордными циклическими подгруппами являются ква-зигамильтоновыми (см. лемму 7 ). ." В конце этого параграфа приведен пример неквазигамильтоновой & - грушш с перестановочными изоордными циклическими подгруппами.
ЯРС - группы, являющиеся локально разрешимыми - или - группами
Лемма I. ЕСЛИ локально разрешимая Jb - группа Сг является Ф С - группой, то она локально сверхразрешима. доказательство. Пусть п - конечная подгруппа в группе G и С = Ж ( Н I) «По утверждению 14 G , G , -, G,TO есть в G , найдется нормальная подгруппа К ,имеющая конечный индекс в группе G (см. [19] упражнение 2.5.13 ) Рассмотрим фактор- группу G/K .Ясно,что G изоморфно вло-жима в силовскую К - подгруппу из G/K .Согласно предложению 3 (УК - Ф С - группа,а значит по предложению 2 силов-ская % - подгруппа конечной группы G/K является сверхразрешимой. Откуда следует,что и подгруппа Н - сверхразрешимая группа.Теперь, учитывая, что G - локально конечная группа (см. [і] ,предложение І.І) получим,что G- является локально сверхразрешимой группой.Лемма доказана. Предложение 4. Если G - неединичная конечная разрешимая группа, причем при всех р из ((С()ддя любой максимальной подгруппы Р в G-n из того,что при некоторой Gp, верно следует - дополняемость г в Gr ,то и является сверхразрешимой группой. Доказательство. Допустим, что существуют группы,не удовлетворяющие предложению 4 и пусть G - группа наименьшего порядка среди групп такого рода, /V - неединичная минимальная нормальная подгруппа в G- .Так как & - разрешима, то при подходящем Q Л/ является элементарной абелевой о - подгруппой. Рассмотрим фактор группу Полагаем так как в противном случае G - абелева группа, что противоречит её выбору Діусть ре s (IG7/VO . P//V - максимальная подгруппа в (G/A/)p и Р/Л/, (С/Л/) , = G-//V Нетрудно заметить, что г р является максимальной подгруппой в некоторой Сгр,при-чем Рр решетвшо дополняема в а о помощью некоторой up, взятой из полного прообраза (G/Л/О ,в G- .До условию в G найдется - дополнение L К 1 р .Если о - р ,то если ( Р , то по утверждению 6 А/ 4Г С .В обоих случаях по модулярному тождеству получим значит ,где Ф - полный прообраз 9P(G/A/) в G- «Из последнего следует, что CNIN является (й/Л/)ф -дополнением кР/А/ BGT/A/ .Откуда нетрудно заметить, что фактор-группа Gr/A/ удовлетворяет условиям предложения 4, а значит в силу выбора группы Gr фактор-группа G7/V является сверхразрешимой. Из полученного, в частности, следует, что Ф(Сг) = і (см. [l9] упражнение 20.3.2)и /V - единственная неединичная минимальная нормальная в G подгруппа (так как, если Л/ -ещё одна неединичная минимальная нормальная в & подгруппа, то по теореме Ремака 6г изоморфна подпрямому произведению, сверхразрешимых групп G7/V и fi/А/ (см. [I9J ,теорему 4.3. 9 ),а значит и сама Q- является сверхразрешимой группой, что противоречит её выбору). далее, так как Q- CGr) - і »то в & найдется максимальная подгруппа Д\ ,такая,что Q- - А/ х /А ,причем,в силу М- Gr /Л/ , М -сверхразрешима.Пусть Мл -силовская -подгруппа в г\ , тогда А/Х/Лй- силовская о, - подгруппа в Qr (см. [17] ,лемму II.6),которую обозначим (Згл Ясно, что Д/ о, .Пусть & -нормальная в G- подгруппа из А/ индекса о, в/\/ .Тогда Мя- максимальная подгруппа в Заметим, что S ХМ , G л і) = G .Действительно, если Т= = SxAAo.7G"o» - собственная подгруппа в G- ,то А/Т - G и IG .TH -Так как )// ,то А/ЛТ і и/MTV А/. Но,очевидно, ,что противоречит выбору подгруп пы А/ в группе G. Таким образом, по условию найдем &ЯР- дополнение /_ к Так как ФСС-Л == { ,то /д - дополнение к S Мд в G .Ясно,что Г . ,где Г= max йг((М().Действительно, полагая ґ с о, , то есть /Л л = І, получим & = S/J. Откуда следует LH/V Ф I , L Г\/V + Л/ ж L П Л/4 Q. Последнее противоречит выбору подгруппы А/ в группе G-» Известно, что в М найдется нормальная подгруппа ft , имещая порядок г (см. [IJ ,предложение 7.2).Покажем , что к & , то есть А/ - неединственная неединичная минимальная нормальная в Gr подгруппа.Полученное противоречие и докажет окончательно предложение 4. Допустим ґ= с .Тогда из /V A R 4 G- имеем (/УЛЙ)1 G. Но (А/л R) /V и,так как коммутант э,- группы не может иметь в ней индекс л , то, в силу выбора A/ f(/VAft) = Откуда, очевидно, следует R 4 Q-.
Теперь рассмотрим случай, когда Г Q, .Не ограничивая общности рассуждений, полагаем R L .Действительно, так как силовская г - подгруппа в L является силовской Г- подгруппой в G тпри подходящем х из Gr верно & L ,где /J 1 тоже дополняет $A/VU в Ос (см. [17] ,лемму II.5). И теперь в качестве U будем рассматривать U
Локально разрешимые ЯРС - группы с условием минимальности
Пусть Сх - локально сверхразрешимая группа, С со и всякое число в больше всякого числа в & «Тогда, если Сг ) = »то 6V Ф - является абелевой группой и от деляется прямым множителем в группе Сг . До утверждению 18 Gr . Сг «Так как і ґ і ,то по утверждению 14 & = G- л G . «Поэтому достаточно показать , что G- 2(G) «Но это легко следует из Cr , Gr] G- П Сг 25. Если & - неединичная конечная сверхразрешимая группа и Ф(Сг) = 4 ,то Сг представима в виде й-(ЕхК)лН9 где Н - абелева группа, Z = И(бг)и К - G- ,причем Z K прямое произведение подгрупп простых порядков нормальных в группе Q . По утверждению 23 в G- силовские р - подгруппы по всем р из со являются абелевыми.Откуда следует,что Z П К= = 1 (см. [23J .теорему 1У.2.2).Ясно,что Z К і , так как из GV = і следует "Z - Сг Ф- і .Для доказательства утверждения 25 достаточно показать,что всякая неединичная нильпотштная нормальная в Сг подгруппа N дополняема в С и представима в виде прямого произведения нормальных в & подгрупп простых порядков. По утверждению 8 ф(Л/) = 1 ,а значит N представима в виде произведения подгрупп простых порядков.далее, так как G является сверхразрешимой группой, то в А/ найдется нормальная в G: подгруппа Л/ простого порядка.В силу Ф((дЛ = 1 в G- найдем максимальную подгруппу Л\ , не содержащую Р/±, то есть & - А/. А М .По модулярному тождеству А/ (Л\ П /У )= = N и, очевидно, tAA ПА/4 G- .Если МП/\/ Ф І , то как и ранее в //\1ПА/ найдем нормальную в G- подгруппу A/g прос того порядка,а также найдем дополнение Мй к А/ в G- «Яс но, что выполняется равенство А (AL Г) МЙ)=А »Откуда следует,что /V = /Vi X Ыг X (А\А Л М2 Л А/ ) и (Л/.хА/„ ) А ( АІ АА « ) = бг .Продолжая этот процесс,при некотором натуральном числе К получим А/- П А/. и Если G - конечная сверхразрешимая группа, G р абелева подгруппа и подгруппа А дополняема в G-p fTO А дополняема в группе Сг . Пусть у - гомоморфизм группы Сг с ядром Фрі (G).Так как Фр\ (Gr J - і ,то силовские 0 -подгруппы в G при всех О кз Си по утверждению 23 являются абелевыш.Очевидно, А дополняема в (Gp) ,откуда согласно следствию 5 из [20] найдем дополнение Ь к А в Gr .Пусть Ъ - полный прооб раз Тогда очевидно,что 1Ъ дополняет А в & , 27, Если 6г - конечная сверхразрешимая группа и под группа А из Go содержит Фр (G-) ,то А 0Ф- дополняема в G- тогда и только тогда, когда А Сг Ф - дополняема в В одну сторону утверждение 27 очевидно, в силу утверждения I Допустим, что подгруппа А $Ф - дополняема в 3р Тогда по утверждению 4 А/Фр (Gr) дополняема в &р/Ф (&). Но, так как ( р / Фр(Сг) - силовская р - подгруппа в й/Фр(&) и Фр ( Ст/Фр(&)) = 1,то по утверждению 23 получим, что Сх /ФрССг)- абелева группа и, применяя утверждение 26,найдем дополнение Ь/Фр (GO к А/Фр (G-) в Q./фр(Сг).Ясно,что Ь - СгФ - дополнение к А в & . 28, Если А Ь = G ,где А и Ь - подгруппы конечной сверхразрешимой группы Если Ф(А)П Ф(0= 1 ,то доказывать нечего.Допустим, что элемент о лежит в [Ф(А)ПФ(ЬУ/\ф(й) .Тогда в Gr найдется максимальная подгруппа М ,не содержащая 0 При некотором простом числе р выполняется G-! М 1- р (см. [19 2 , теорему 20.3.1).
Заметим, что подгруппы А и fb не содержат неединичных р - элементов, не лежащих в /А .Действительно, допуская, что \i - неединичный р - элемент из А\1Л ,получим т1 М - G-, откуда следует А М = ч .Но так как порядок группы Сг равен IMHA (AAAV) ,то А .(АЛЛ\) = р .то есть ДОМ - максимальная в А подгрулпа.Последнее означает, что о 6 /Л , так как Ф(А) АПЛ\ /Л .Это противоречит выбору подгруппы /Л в Gr .Аналогично доказывается для подгруппы Ь .
Известно, что в подгруппах А и Ь можно выбрать такие силовские р - подгруппы Ар и Ьр ,что Ар & р является, силовской р - подгруппой в группе бг (см. fl7j ,лемму II. 6).хіо,как было замечено ранее, Ар и Ьр лежат в/А ,то есть Ар Ьр .Последнее противоречит тому, что подгруппа /А имеет индекс р в группе Сг
Группы с перестановочными изоордными циклическими подгруппами
Доказательство, Согласно предложению 12 достаточно показать, что прямое произведение RKC -групп z Gra взаимно простых порядков также является Я К С - группой (здесь учитываем,что подгруппа R. К. & - группы также является RKC -группой).
Пусть А и Ь - некоторые подгруппы из G. X ( , А и Ь; - соответственно их проекции на G. ( і = 1,2,) ,В G. найдется подгруппа С такая,что Cv&-u , ALC = А ,Ь и А СЛС =А Л 6-с «Теперь,обозначая С- CL Сг и учихнвая.что всякая подгруппа в G G2 представиш в ви-де прямого произведения своих проекций на Qi и G2 , получим, что С Ь , AC= А,& и АЛ С = АЛ Ь.
Известны с точностью до изоморфизма все р - группы порядка не более р (см. [24] ,гл.8) и все квазигамильтоно-вы группы среда них (см. [2J ,стр.34).Из описаниям этих групп нетрудно получается следующее Предложение 14. Ыеквазигамильтонова р - группа поряд-ка не более р является RK С - группой тогда и только тогда, когда она изоморфна группе одного из следующих типов: Отметим, что предложениями ІЗ и 14 полностью определяется строение конечных R. К С - групп, у которых порядок силовских p - подгрупп по всем р из со не превосходит р\ Предложение 15. Нормальная циклическая подгруппа RKC-грушш без кручения лежит в центре группы. Доказательство. Пусть G- - R К С - группа без кручения и А - нормальная в G- циклическая подгруппа.допустим ,что а ф L (&). Тогда в & найдется элемент Ь такой , что а -а .Откуда следует,что Т= а,4? / а , & как фактор-группа И К С - группы сама является R К С - группой. Но Т - диэдральная группа шестнадцатого порядка, а значит в ней найдется недополняемая решеточно дополняемая элементарная абелева подгруппа четвертого порядка.іїолученное противоречие и доказывает предложение 15. Предложение 16. Нециклическая R К С - группа r , порожденная двумя элементами простого порядка р ,являет-ся либо элементарной абелевой группой порядка р ,либо не-абелевой группой порядка р . Доказательство. Вначале полагаем,что G- - конечная группа. Так как согласно предложению 12 конечная R К С -группа является нильпотентной, то G - р - групла.Цроводя индукцию по порядку группы,получим Сг/ р .Откуда,используя предложение 14,нетрудно получить предложение 16. Теперь допустим, что Gj- - бесконечная группа и а. -один из её двух порождающих элементов, имеющих порядок р . Б G- найдется дополнение И к а .Так как IG HJ=р оо то НІ - конечно порожденная группа (см. [19] упражнение 14.3.2). Пусть 4 - один из порождающих элементов в Н{ тогда в Hj_ найдется собственная подгруппа Н такая, что h-i Нг - HL (здесь учитываемою HL - RK.G -группа ). Допустим,что Сг , Ко 1= »то есть 1 KL\ = о is. подгруппа конечного индекса, фактор-группа по которой имеет поря-док больше р .Последнее противоречит первой части доказательства предложения 16,когда Gr - конечная групла.їїро-тиворечие означает,что Щ-.Нг1 «- .далее, так как Ня конечно порождена, то в ней найдется элемент -п и подгруппа Н такие,что її- фг Нъ и I V hL - Н« .Повторяя рассуждения как и для Н„ ,получим &lhUU -Аналогично рассуждая, в силу бесконечности С? ,мы найдем неограниченно строго убывающую цепочку подгрупп Н . , каждая из кото-рых имеет конечный индекс в группе & .Ясно, что при некотором натуральном числе ю. верно & ; Н рх и, выбирая в На нормальную в Сг подгруппу Ы конечного индекса,по-лучим (6r//V р .Но это, как было ранее замечено,невоз-можно.Противоречие доказывает предложение 16. Предложение 17. Если RKC - группа без кручения G-порождена элементами о. и Ь , причем х ft & L ,то & является циклической группой. Доказательство. Будем вести индукцию по числу & ,где . He ограничивая общности рассуждений,полагаем 5 = Оі : (/& Л &» I .Если S- { ,то доказывать нечего. Допустим, что $ = пгк, ,где ra , а І .Но предположению индукции а , 4? - циклическая группа, которую обозначим через ol .Ясно,что имеет место ) :aV, ( о\ f) )UrUm.n., то есть ] ОЛ і ( а П Ы ") S »что противоречит выбору числа .Теперь полагаем,что S - р ,где р - некоторое простое число.Тогда а П h а? .Очевидно, a rua &. Если а G ,то согласно предложению 15 а є 2 CG- и , учитывая,что G- - группа без кручения, получим, что Q- -циклическая группа. Пусть Н - а, а .Согласно предложению 16 Н/ лл - р -группа,порядка не более р .Пусть Р/ йУ - нормальная в -j/ a подгруппа порядка р .Ясно,что при некотором из р верно Р = -f & . Так как, очевидно йб2(Р) и Р -группа без кручения, то f , Х - циклическая группа,которая согласно предложению 15 лежит в /-/) .Если Ы/ Р 1 »то опять,выбирая в К/Р нормальную подгруппу Fj Р порядка р, как и ранее покажем, что Р - циклическая группа, лежащая в Z(H) .И,наконец, если К / Р1 1 , то,повторяя эти же рассуждения, получим, что Н - циклическая группа.Из последнего в силу р= a :(_ a n a\)4 aV.( a ivoiS)l 8 [Н Л. -(Н Л ,то есть ciS=-(a .Ho это противоречит рас -сматриваемому случаю, когда a f 0i - Q- .Предложение доказано.