Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений третьей степени от трех неизвестных.
В монография Л.Ц.Морделла [і] собраны, в основном, все результаты по различным диофантовым уравнениям. Близкой к теме нашей работы является глава X этой монографии "Рациональные точки на кубических кривых". Центральным результатом этой главы является следующее утверждение, в котором решения уравнения рассматриваются с точностью до пропорционального общего множителя.
Теорема А. Дусгь а,Ь,С ненулевые, попарно взаимно простые и бесквадрагные целые числа и А целое число. Тогда, если не более, чем одно из чисел а , Ь,с равно +1, то кривая
аXі-»- Ьч*+ с ъ'+ сіх иг -о (т)
имеет бесконечное число рациональных точек или не тлеет их вовсе.
Когда а.-Ь - і , с,- ti ,то кривая имеет I или 2 или бесконечное число решений. Только 2 решения могут быть в случае, когда cL=-(ctO или dL=-(^cti) и, таким образом, каждое такое уравнение, имеющее третье решение будет иметь бесконечно много решений.
В случае a-ij=c-i и А* і,-і,-5" кривая имеет
[і] (Чог-deXL 1,.3. DiopViantme. equations. Academic Press , hi z.w Tor* , 1363
или три или бесконечно много рациональных точек. Три из этих точек есть (i,-i,o) , (д,о,-1) , (о,і,-О
Случай dL=-3 тривиальный, т.к. тогда гс-^+г^о . в случае cU 4 имеется всего 6 решений (1,--1,0) , (1,1,-1) и т.д.
Когда сі = -5 , то также тлеется 6 решений ( і, -1, о) ,
(і,і,г) и т.д.
Результаты для d= і- ,-5 были подучены Л.Е.Морделлом, а другие принадлежат А.Іурвицу ( [і] , [2] ).
Для &--{. в [З] 5.В.С. Касселс доказал, что уравнение
имеет только тривиальные решения (х^гго)
В работе [4] Ц.В.С. Касселс совместно с Г.Сансоне дали
другое доказательство этого утверждения.
Отметим, что первые результаты по общему уравнению
Ах^ b^-v СгЧ V-xl^z = о были подучены в середине прошлого века Ц.Н.Сильвестром ( [5] ).
[2] Hurwili A. ZahEentKecne. , ALoe&ra. and Geometne liatViematlsdie. V/егке . 5ci I, baset , \>ЪЪ.
[З] Cassets 3.V/. 5. On a chepVian.tine. Acta arithro. б (i860) , 4 7-.5Ч
[4j Sansone. G., Casstts J.V. 5., 5ur to proWeroe. de.
H.Werner Mnitk. Ac^a antbro. 7 (i<$Ql) , 1ST-190
[б] Diason L.E. His.toru 0[ tW theoru of numbers. Vot [l , p. 58Э-550 . Nevj Yor* , 19ІЧ.
Он доказал следующее утверждение:
Теорема В. Пусть ft,fe,C,^ целые числа, (х1(и()1,) рациональная точка на кривой
Тогда точка (х х М^Ъ^ определяемая из соотношений
где F- А х? , 0=Ьч*,И-Сгг^ , будет рациональной точкой на кривой
В случае а=?з-с = { , cU - 6 ЦД.Сильвестр дока-
зал, что уравнение (I) не имеет нетривиальных решений.
Отметим, что эти результаты Д.5.Сильвестра отсутствуют в монографии [і] ЛД.Морделла.
Заметим, что из теоремы В следует, что уравнение
ОС.1 + и? + Ї* - Yl X. ЦІ
при целых а разрешимо в ненулевых целых (натуральных) числах х,ч,г тогда и только тогда, когдауравнение
разрешимо в целых (натуральных) числах (это утверждение можно
доказать и не прибегая к теореме В.).
На последнее обстоятельство обратил внимание В.Серпинский в [б] . В связи с этим он пишет, что неизвестно имеет ли уравнеш
решения в натуральных числах?
Из результатов настоящей диссертации следует, что уравнение
3 г ж-
при целых ti?1) не имеет решений в натуральных числах ^/^ не только для п. = 4 , но и при любых, кратных 4, значениях Л и для многих нечетных натуральных чисел n, .
Цель работы. Исследование разрешимости подобных диофанто-вых уравнений третьей степени в целых или в натуральных числах.
Методы исследования. Методы исследования относятся к элементарной теории чисел.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методы их получения могут быть использованы в теории диофантовых уравнений.
Ашгробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева, на Международных научных чтениях, посвящєі
[б] Серпинский В» 250 задач по элементарной теории чисел, Просвещение, М. 1968.
ных 60-летию со дня рождения А.А.Карацубы, на семинарах по теории чисел в МГУ под руководством А.А.Карацубы и Г.И.Архилова и В.Н.Чубарикова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации 72 машинописных страницы, список литературы включает 30 наименований.