Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Исследования по локально конечномерным (или, для краткости, локально конечным) алгебрам Ли, несмотря на несомненную важность последних, до недавнего времени носили скорее эпизодический характер (см., например, главу 13 книги Амайо и Стюарта1). Пожалуй, наиболее изученные и чаще всего встречаемые в контексте других теорий примеры таких алгебр — это алгебры Ли типов Аоо, До, Соо и А»» получаемые как прямые пределы естественных вложений классических простых алгебр Ли (см., например 7.11 монографии Каца^). В настоящее время отмечается повышение интереса к локально конечной тематике, особенно в теории груші. Интенсивность работ в этом направлении отражена, например, в трудах конференции "Конечные и локально конечные группы" (Стамбул, 1994)3 Ввиду известного параллелизма между группами и алгебрами Ли (отраженного и в настоящей диссертации) разработка соответствующей теории локально конечных алгебр Ли особенно необходима.
В диссертации очерчен и исследован класс диагональных локально конечных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Эти алгебры занимают важное место в общей теории. Во-первых, потому, что только у диагональных алгебр Ли существуют локально конечные ассоциативные обертывающие, что эквивалентно наличию точных "локально конечных представлений", т.е. таких, что образ алгебры Ли порождает в алгебре линейных преобразований пространства локально конечную ассоциативную подалгебр}'. Это связывает диагональные алгебры Ли с уже достаточно хорошо разработанной теорией локально полупростых ассоциативных алгебр (см. обзор Вершика и Керова4).
'Amayo R. К., Stewart i.N. Infinite-dimensional Lie algebras. - Leiden: Noordhoff, 1974. - 425 p.
2Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. - М.: Мир, 1993. - 425 с.
3Finite and locally finite groups (Hartley В., Seitz G. M., Borovik A. V. and Bryant R. M., eds). - London: Kluwcr, 19Э5. - 458 p.
4Вершин A.M., Kepoo C.B, Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и /("„-функтор // ВИНИТИ. Сер. совр. пробл. мат. - 1985. - Т. 26. - С. 3-56.
Во-вторых, диагональные алгебры Ли — естественное обобщение классических бесконечномерных алгебр Ли, получаемых как прямые пределы конечномерных классических. При этом еще сохраняются многие "хорошие" свойства. А классические бесконечномерные группы и алгебры Ли уже достаточно хорошо изучены. С другой стороны, развитая в диссертации техника позволила классифицировать простые финитарные алгебры Ли (счетной размерности). Оказалось, что их в точности три. Это уже известные классические алгебры: si», sooo и spTO. Заметим, что недавно Дж. Холлом была завершена классификация простых финитарных локально конечных групп0.
В-третьих, диагональные алгебры Ли связаны с аналогом теоремы Адо для локально конечных алгебр Ли об описании всех локально конечных алгебр Ли, вложимых в локально конечные ассоциативные алгебры (мы такие алгебры Ли называем алгебрами Адо). Данная проблема аналогична проблеме Капланского (1965) в теории групп об описании всех групп, групповые алгебры которых не имеют нетривиальных собственных идеалов, отличных от фундаментального. Диссертация лежит в русле подхода А. Е. Залесского, на основе которого им были получены некоторые результаты в теории локально конечных групп, связанные с указанной проблемой6. Эти и другие обстоятельства свидетельствуют об актуальности темы диссертации.
Цели и задачи исследования. Цель работы — характеризация алгебр Адо, т.е. локально конечных алгебр Ли, вложимых в локально конечные ассоциативные алгебры. Основные задачи исследования: найти критерий вложимости локально совершенной алгебры Ли с тривиальным центром в локально конечную ассоциативную алгебру; описать локальные системы подалгебр для простых алгебр Адо; доказать условие обрыва возрастающих цепей двусторонних идеалов с локально конечными факторами в универсальных обертывающих простых алгебр Ли; класси-
iHall J.I. Locally finite simple groups of finitary linear transformations // Finite and locally finite groups (Hartley В., Seitz G. M., Borovik A.V. and Bryant R. M., eds). -London: Kluwer, 1995. - P. 1-44.
eZalcsskii A.E. Group rings of simple locally finite groups // Finite and locally finite groups (Hartley В., Seitz G.M., Borovik A. V. and Bryant R. M., eds). - London: Kluwer, 1995. - P. 219-246.
фицировать финитарные простые алгебры Ли счетной размерности.
Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми.
Применимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для построения теории диагональных групп Ли и алгебраических групп, классификации финитарных групп, а также в теории локально полупростых ассоциативных алгебр.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках темы "Исследование представлений алгебраических и конечных групп, строения локально конечных групп и групповых колец", включенной в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур".
Исследования, в ходе которых получены результаты диссертации, поддерживались грантами Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь и INTAS.
Личный вклад соискателя. Все результаты получены автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на конференции "Алгебра и математическая кибернетика", посвященной 80-летию со дня рождения академика Д.А.Супруненко (Минск, 1995), и на алгебраическом семинаре Московского государственного университета.
Опубликованность. Результаты опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и выводов. Каждая глава разбита на параграфы. Объем диссертации — 85 страниц. Список литератз'ры состоит из 45 наименований.