Введение к работе
Актуальность темы. Проблема классификации алгебраических многообразий является одной из центральных задач, стимулирующих развитие алгебраической геометрии. В теории алгебраических групп преобразований естественно формулируется эквивариантный аналог этой проблемы: описание многообразий, на которых действует алгебраическая группа G, с точностью до G-изоморфизма. Проблема распадается на две части: "бирациональную" и "бирегулярную". Бирациональная классификация G-многообразий (с данным полем G-инвариантных функций) может быть получена в принципе в терминах когомологий Галуа [ВП]1. Вторая, "би-регулярная" часть проблемы может быть сформулирована так: описать все действия группы G данного бирационального типа в терминах некоторых комбинаторных данных, "среда обитания" которых зависит только от бирационального типа действия. Сюда же примыкает задача описания различных геометрических свойств G-многообразий в терминах вышеупомянутых комбинаторных инвариантов, протягивающего "мостик" между алгебраической геометрией и комбинаторикой.
Яркий пример решения эквивариантной проблемы классификации в определённом классе действий — теория торических многообразий, активно развивающаяся последние два десятилетия, см. [KKMS]2, [Д]3, [О]4. Как известно, торические многообразия классифицируются веерами многогранных конусов в векторном пространстве, порождённом решёткой од-нопараметрических подгрупп алгебраического тора. В терминах геометрии и комбинаторики взаимного расположения этих конусов и целых точек в них интерпретируются такие геометрические свойства торическо-го многообразия как взаимное расположение орбит, гладкость, структура группы классов дивизоров и т. д. Всё это делает торические многообразия "модельными объектами" алгебраической геометрии.
Общий метод решения задачи классификации G-многообразий данного бирационального типа, имеющих плотную орбиту (т. е. эквивариант-
'[ВП] Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. напр., т. 55, 1989, С. 137-309.
2[KKMS] G. Kempf, F. Knudson, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embed-dings, I, Lect. Notes Math., vol. 339, Heidelberg-Berlin-New York: Springer-Verlag, 1973, 209 p.
[Д] В. И. Данилов, Геометрия торических многообразий, Успехи мат. наук 33 (1978), №2, 85-134.
[О] Т. Oda, Convex bodies and algebraic geometry: an introduction to the theory of toric varieties, Berlin: Springer Verlag, 1988, 212 p.
ных частичных пополнений или вложений фиксированного однородного пространства G/H) предложили в 1983 году Д. Луна и Т. Вюст [LV]5. Наиболее полные результаты получены для связных редуктивных групп G и нормальных G-многообразий. Ключевую роль в применении метода Луны-Вюста на практике играет такой бирациональныи инвариант как сложность действия — коразмерность орбиты общего положения боре-левской подгруппы В С G. Как отмечено в [LV], метод Луны-Вюста даёт надежду на окончательный ответ в задаче классификации, лишь если сложность действия не превосходит 1.
Случай сложности 0 интенсивно изучался последнее время, см. [Knl]6 и библиографию там. Многообразия сложности 0 называются сферическими (таковы, в частности, торические многообразия). Для них найдено общее решение задачи о классификации (^-многообразий в данном бирациональ-ном классе, в значительной мере обобщающее теорию торических многообразий.
Цель работы. Эффективное комбинаторное описание действий сложности 1 редуктивных алгебраических групп, обобщающее теорию торических и сферических многообразий. Интерпретация ряда геометрических свойств этих действий в терминах полученных комбинаторных инвариантов.
Методы исследования. В работе используются методы теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов, теории представлений редуктивных групп, коммутативной алгебры и теории алгебраических кривых. Также используются результаты выпуклой геометрии конусов и многогранников.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) Получена эффективная классификация действий сложности 1 редуктивных алгебраических групп в данном бирациональном классе в терминах объектов комбинаторной выпуклой геометрии, аналогичная описанию торических и сферических многообразий веерами многогранных конусов.
5[LVj D. Luna, Th. Vust, Plongements d'espaces homogenes, Comment. Math. Helv. 58 (1983), 186-245.
6jKnl] F. Knop, The Luna-Vust theory of spherical embeddings, Proc. of the Hyderabad Conf. on Algebraic Groups, Madras: Manoj Prakashan, 1991, P. 225-249.
-
Получена интерпретация некоторых геометрических свойств рассматриваемых действий и многообразий в терминах введённых комбинаторных инвариантов: описание взаимного расположения орбит, критерии аффинности и полноты и т. д.
-
Полностью описаны действия сложности 1 с плотной орбитой групп полупростого ранга 1.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории алгебраических групп преобразований и алгебраической геометрии.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" кафедры Высшей алгебры под руководством проф. Э. Б. Винберга и проф. А. Л. Онищика на механико-математическом факультете МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырёх параграфов. Текст диссертации изложен на 56 страницах. Список литературы содержит 22 наименования.