Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 4
1.1. Актуальность темы 4
1.2. Степень разработанности темы 6
1.3. Цель работы 9
1.4. Научная новизна 11
1.5. Теоретическая и практическая ценность 11
1.6. Методы исследования 12
1.7. Степень достоверности и апробация результатов 12
2. Предварительные сведения 13
2.1. Соглашения и обозначения 13
2.2. Автоморфизмы однородных пространств 16
3. Действия на кратных однородных пространствах 27
3.1. Сведение задачи к случаю простой группы G 27
3.2. Наличие открытой орбиты
3.2.1. Группа G типа /, / 3 32
3.2.2. Группа G типа С/, / 3 33
3.2.3. Группа G типа D/, / 4 33
3.2.4. Группа G типа EQ 45
3.3. Конечность числа орбит з
4. Действия коммутативной унипотентной группы с открытой орбитой 51
4.1. Сведение задачи к случаю простой группы G 51
4.2. Сведение задачи о (Са)т-действиях к задаче об умножениях 54
4.3. Общие сведения об умножениях, согласованных с действием алгебры 63
4.4. Существование умножений, согласованных с действием алгебры
4.4.1. Алгебра [ типа А\ 79
4.4.2. Алгебра [ типа ВгиД 84
4.4.3. Алгебра і типа Q (I 2) 87
4.4.4. Алгебра [ типа EQ 91
4.4.5. Алгебра [ типа Ej 94
4.4.6. Алгебра [ типа Eg 97
4.4.7. Алгебра [ типа F 97
4.4.8. Алгебра [ типа G2 99
4.4.9. Классификация умножений с точностью до действия группы L 100
4.5. Классификация локально транзитивных (Са)т-действий на одно родных пространствах 112
4.5.1. Группа G типа Л, Р = Pi или Р = Р/ 114
4.5.2. Группа G типа Ah Р = Рг, 1 і I 116
4.5.3. Группа G не типа А\
- Теоретическая и практическая ценность
- Автоморфизмы однородных пространств
- Группа G типа С/, / 3
- Существование умножений, согласованных с действием алгебры
Теоретическая и практическая ценность
Ясно, что сама группа G действует на многообразии G/P с открытой орбитой (и даже ровно с одной орбитой), но можно рассмотреть действие группы G на многообразии (G/P)n = G/P х ... х G/P и попытаться выяснить, имеет ли оно открытую орбиту и конечно ли множество орбит. Отметим, что многообразие (G/Р)п также является однородным пространством связной полупростой алгебраической группы, а именно группы Gx .. .xG (п прямых сомножителей). Неформально говоря, существование открытой орбиты означает, что "почти любой" набор из п точек многообразия G/P можно перевести в "почти любой другой" набор, а конечность множества орбит означает, что любой набор из п точек можно "привести к одному из конечного числа фиксированных видов".
Вопрос о существовании открытой орбиты для максимальной параболической подгруппы Р был решён в работе [21], и в этой же работе был поставлен вопрос о существовании открытой орбиты для произвольных параболических подгрупп. Для формулировки полученных в этой работе результатов и для дальнейшего изучения этой задачи удобно ввести следующее определение.
Определение 1.1. Пусть алгебраическая группа G действует на неприводимом алгебраическом многообразии X. Следуя [21], максимальное число п Є N (если оно существует), такое что группа G действует на многообразии Хп с открытой орбитой, назовём максимальной степенью локальной транзитивности действия G : X и обозначим за gtd(G : X). Если действие G : Хп не имеет открытой орбиты ни для какого п Є N (или, что равносильно, действие G : X не имеет открытой орбиты), то назовём максимальной степенью локальной транзитивности действия G : X число 0 (gtd(G : X) = 0). Если для некоторого т Є N группа G действует на многообразии Хт с открытой орбитой, будем говорить, что действие группы G на многообразии X локально т-транзитивно.
Используя это определение, можно сказать, что мы ищем максимальную степень локальной транзитивности действия связной редуктивной группы G на однородных пространствах вида G/P, где Р С G — параболическая подгруппа. Другими словами, мы ищем такие числа п, что действие группы G на однородном пространстве G/P локально п-транзитивно.
Ясно, что действие группы G на однородном пространстве G/P всегда локально 1-транзитивно. Более того, из разложения Брюа следует, что если В С G — борелевская подгруппа, содержащаяся в группе Р, то число -орбит на многообразии G/B конечно, и открытая орбита имеет вид BwB, где w — представитель элемента группы Вейля максимальной длины в нормализаторе максимального тора. Значит, группа Р тем более действует на многообразии G/P с конечным числом орбит, и орбита PwP открыта. Следовательно, группа G действует на многообразии G/P х G/P с конечным числом орбит, и действие G : G/P х G/P 2-транзитивно. Более того, действие G : G/P х G/P 3-транзитивно тогда и только тогда, когда группа PC\wPw l действует на многообразии G/P с открытой орбитой.
В [21] доказано, что для связных простых групп G типа А и максимальных параболических подгрупп Р максимальная степень локальной транзитивности может, в зависимости от группы G и подгруппы Р, быть сколь угодно большой. Для связных простых групп G остальных типов и максимальных параболических подгрупп Р она никогда не бывает больше 4. В связи с этим вопрос о нахождении максимальной степени локальной транзитивности для немаксимальных параболических подгрупп Р в случаях, когда связная полупростая группа G содержит связные простые компоненты типа А: более сложен, чем тот же во 8 прос в случае, когда группа G не содержит связных простых компонент типа Д и остаётся, по-видимому, открытым. Для случая, когда группа G не содержит связных простых компонент типа А: максимальная степень локальной транзитивности вычисляется в диссертации.
Мы также рассмотрим вопрос о конечности числа орбит действия группы G на многообразии (G/Р)п. Этот вопрос легко сводится к случаю, когда груп па G проста. Приведённые выше рассуждения показывают, что при п = 1,2 множество орбит всегда конечно. Случаи связных простых групп G типа А и С рассматривались в работах [17] и [18], и для них вопрос о конечности числа орбит был решён полностью. (Точнее, в этих работах рассматривалась более общая задача о том, для каких наборов не обязательно одинаковых парабо лических групп группы G группа G действует на многообразии G/P х ... х G/P с конечным числом орбит.)
В общем случае этот вопрос оказывается связан с теорией сферических многообразий. Именно, известно, что если многообразие X с действием группы G сферическое, то (любая) борелевская подгруппа группы G действует на нём с конечным числом орбит, см. [2] и [9]. Таким образом, если многообразие {G/Р)п 1 сферическое, то группа G действует на многообразии (G/ Р)п с конечным числом орбит. Поэтому для поиска случаев, в которых множество орбит конечно, полезны результаты о том, что некоторое многообразие вида {G/Р)п 1 является сферическим. Такие результаты были получены, например, в работах [16] и [23]. Используя эти результаты, мы докажем, что если группа G действует на многообразии (G/P)n, где п 3, с конечным числом орбит, то на самом деле п = 3, а многообразие G/P х G/P сферическое.
Теперь обозначим т-мерную коммутативную унипотентную группу (или, что то же, группы векторов в векторном пространстве с операцией сложения) за (Ga)m. Действия группы (Ga)m (или, что то же, т-мерного векторного пространства, рассматриваемого как группа с операцией сложения) на различных многообразиях изучались в работе [13]. В отличие от ситуации, когда группа G действует на многообразии G/P: для группы (Ga)m нет никакого "естественного" действия на многообразии G/P, для которого можно было бы проверять наличие открытой орбиты, и (всевозможные) действия группы (Ga)m на многообразии X = G/P, как и (всевозможные) действия группы (Ga)m на других фиксированных многообразиях X удобно классифицировать с точностью до сопряжения автоморфизмами многообразия X и с точностью до автоморфизмов самой группы (Ga)m как алгебраической группы (они совпадают с автоморфизмами группы (Ga)m как т-мерного С-векторного пространства, т. е. образуют группу GLm). В этом смысле в работе [13] получена классификация таких действий на проективных пространствах и на поверхностях Хирцебруха. Там же была поставлена общая задача о классификации всех полных (компактных в классической топологии) m-мерных многообразий, допускающих локально транзитивное действие группы (Ga)m вместе с действием этой группы на них, по аналогии с тем, как это было ранее сделано с торическими многообразиями. В работе [6] было доказано, что на на неособой т-мерной проективной квадратичной гиперповерхности (которая является однородным пространством группы SOm+2) локально транзитивное действие группы (Ga)m ровно одно с точностью до автоморфизмов, упомянутых выше. Все такие пары (G,P), что существует хотя бы одно локально транзитивное действие группы (Ga)m на однородном пространстве G/P (но не сами эти действия), были перечислены в работе [7]. Там же был поставлен вопрос о классификации локально транзитивных действий коммутативных унипотентных групп на грассманианах.
Пусть G — связная полупростая алгебраическая группа над полем С, а Р С G — некоторая параболическая подгруппа. Тогда однородное пространство G/P является проективным многообразием, в частности, оно компактно в классической топологии. Выберем в группе G связные простые подгруппы G l\ ..., G s\ так чтобы группа G была локально изоморфна их произведению (как иногда говорят, разложим группу G в почти прямое произведение связных простых подгрупп). Пусть PW = Р П G \ Тогда подгруппы PW однозначно определяют подгруппу Р.
Автоморфизмы однородных пространств
Следовательно, поскольку X — неприводимое многообразие, любое собственное проективное подпространство пространства P(V) пересекает многообразие І{Х) по подмногообразию меньшей размерности. Если некоторый элемент h Є Н, h ф 1я, действует на многообразии L(X) тривиально, то многообразие i{X) содержится в объединении проективизаций собственных подпространств оператора /г, т. е. многообразие i{X) — объединение подмногообразий меньшей размерности, что невозможно. Следовательно, группа Н действует на многообразии І{Х) эффективно.
Поскольку многообразие і(Х) не содержится ни в каком собственном проективном подпространстве пространства P(V), существуют п = dim V таких точек xi,... ,хп Є X, что прямые в пространстве У, соответствующие точкам L(XI)} ..., і{хп) Є P(V), линейно порождают пространство V. Это означает, что значения любого сечения расслоения Л в слоях над точками х\,... , хп однозначно определяют это сечение, и эти значения могут быть произвольными. В частности, мы можем выбрать п таких сечений qi,...,qn Є Г(Х, ), что qi(xj) = 0 при і ф j и qi(xi) Ф 0. Эти сечения образуют базис пространства Г(Х, ).
Пусть сначала задан один автоморфизм а многообразия X. Обозначим т-ю внешнюю степень его дифференциала за 6а. Тогда 6а линейно отображает слой расслоения Л над любой точкой х Є X в слой над точкой а(х). Обозначим это линейное отображение за 5ЩХ. Имеем следующий линейный оператор А на пространстве Г(Х, «?): если q Є Г(Х, «?), то для каждой точки х Є X положим (Aq)(x) = 5 \q{a{x)). Прямое вычисление показывает, что ограничение проективизаций оператора А на многообразие i{X) совпадает с действием автоморфизма а на многообразии L(X).
Будем доказывать, что группа Н представляет функтор #х- Пусть S — произвольное алгебраическое многообразие. Определим гомоморфизм абстракт 22 ных групп (p(S): Hom ig(S,H) — Aut S x X) следующим образом. Если f: S — H — морфизм алгебраических многообразий, положим (p(S)(f)(s}x) = (s, f(s) х) для всех точек s Є S, х Є X. Ясно, что (p(S) — действительно гомоморфизм групп. Поскольку действие группы Н на многообразии X эффективно, гомоморфизм (f(S) инъективен.
Докажем сюръективность морфизма (p(S). Пусть д: S х X — S х X — такой автоморфизм, что существует морфизм д\: S х X — X, такой что g(s,x) = (s,gi(s,x)). Тогда требуется найти морфизм /:5-)- Н, такой что gi(s,x) = f(s) х. Обозначим за s{S х X) подрасслоение касательного расслоения 3f{S х X), состоящее из векторов, касательных к слоям проекции S х X — - S. Обозначим = Am7s(S х X), и обозначим слой расслоения над точкой (s, х) Є S х X за Sfs,s,x- Ясно, что дифференциал автоморфизма д сохраняет расслоение 3 s(SxX). Тогда т-я внешняя степень этого дифференциала сохраняет расслоение . Другими словами, мы получили алгебраический автоморфизм 6д линейного расслоения Jz , который линейно отображает слой s,s,x в слой s,s,gx(s,x) Для любых точек s Є S, х Є X. Обозначим линейное отображение Sfs,s,x - s\s,gi(s,x), индуцированное автоморфизмом 6д, за S9r%x.
Заметим также, что расслоение изоморфно обратному образу расслоения под действием канонической проекции S х X — - X. Поэтому существуют п сечений д расслоения Jz , ограничения которых на любой слой вида {s} х X, где s Є S, совпадают с q,b. Рассмотрим следующие п сечений q" расслоения q"(s,x) = 5 1х (з}д1(з}х)) для любых точек s Є S, х Є X. Для любой точки s Є S имеем автоморфизм многообразия X, заданный как ?i(s, ). Обозначим соответствующий линейный оператор на пространстве Г(Х, Jz 7), построенный выше, за As. Тогда ограничение сечения q" на слой {s} хХ равно Asqi. С другой стороны, сечение q l можно вычислить следующим образом. Для любого j (1 І п) рассмотрим следующую функцию bij : S — - С: &«j(s) = q"(s,Xj)/q j(s,Xj). Это алгебраическая функция на многообразии 5, и она регулярна, поскольку qj(xj) ф 0. Тогда q /(s,x) = - bij(s)q As,x). Для каждой точки s обозначим за B(s) матрицу, составленную из чисел bij(s). Тогда B(s) — это матрица оператора Аа в базисе (} пространства Г(Х,«?). Следовательно, автоморфизм gi(s,-) действует на многообразии L(X) проективизацией оператора с матрицей B(s) . Обозначим эту проективизацию оператора за f(s). Тогда f:S PGL{V) — алгебраическая функция, для каждой точки s Є S автоморфизм f(s) сохраняет многообразие i(X) (т. е. f(s) Є Н), и действия автоморфизмов f(s) и gi(s, ) на многообразии L(X) совпадают. Следовательно, гомоморфизм (f(S) сюръективен. Наконец, функториальность изоморфизма ср прямо следует из конструкции.
Сами группы, представляющие функторы #с/р, где Р — параболическая подгруппа связной полупростой алгебраической группы G, были также вычислены в [11]. Для более общих классов многообразий X представимость функтора х изучалась, например, в работах [19] и [22] (с более сложными доказательствами).
Для комплексных многообразий вида G/P, где Р — параболическая подгруппа связной полупростой комплексной группы Ли G, связные компоненты группы автоморфизмов (понимаемой в несколько другом смысле1) могут быть также вычислены топологическими методами, см. [5, глава 4, 15.4, теорема 2].
Чтобы описать группу, представляющую функтор #с/р, где Р — параболическая подгруппа связной полупростой алгебраической группы G, начнём со следующего определения.
Определение 2.5. Пара (G, Р), где G — связная простая алгебраическая группа, а Р С G — некоторая параболическая подгруппа, называется исключительной, если выполнено одно из следующих условий (здесь мы используем обозначения для параболических групп из раздела 2.1) :
Группа G типа С/, / 3
Классификация всех пар параболических подгрупп (Р, Q), таких что многообразие G/P х G/Q сферическое, была получена в работах [16] и [23]. Из этой классификации и из теоремы 3.2 следует, что если Pi — максимальная параболическая подгруппа и группа G действует на многообразии G/Pi х G/РІ х G/Pi с открытой орбитой, то многообразие G/Pi х G/Pi сферическое (2 = 3).
Осталось доказать импликацию 1 =3- 2. Из теоремы [17, Theorem 2.2] следует, что если группа GLi+\ действует на многообразии GLi+\/P х GL[+i/P х GLi+i/P \ где Р(% — параболические подгруппы, с конечным числом орбит, то хотя бы одна из подгрупп Р г — максимальная параболическая. Этот результат можно напрямую применить к действию группы SLi+i, поскольку центральный тор группы GLi+i содержится во всех её параболических подгруппах и действует на всех многообразиях флагов тривиально.
Теперь (см. теорему 3.3) остаётся доказать, что если Р — немаксимальная параболическая подгруппа группы типа D\ (I 4) и gtd(G : G/P) = 3, то множество G-орбит на многообразии G/P х G/P х G/P бесконечно. Мы построим бесконечное семейство орбит явно.
Рассмотрим (2/)-мерное пространство С21 с базисом ei,..., е ц. Пусть группа SO ii действует в этом пространстве, сохраняя форму е\ (g) e zl + ... + е\ (g) e l+1 + еГ+і е і + + е2і еі- Пусть X С Gr(l, С21) — множество всех изотропных /-мерных подпространств пространства С21. Известно, что многообразия G /Р\-\ и G/Pi изоморфны двум связным компонентам многообразия X (соответственно). Далее будем обозначать G/P\-\ = X С Xі. Для любого подпространства s Є X обозначим за Ys С Р(С2/) множество всех прямых, содержащихся в s. Легко видеть, что замкнутое подмножество Y = Usex(s х Ys) С Gr(l,C21) х Р(С2/) изоморфно однородному пространству S02l/P\J,-l Аналогично, для каждого подпространства s Є X обозначим за Zs С Gr{l — 1,С2/) множество всех (/ — 1)-мерных подпространств пространства s. Аналогично проверяется, что замкнутое подмножество Z = Usex{s х Zs) С Gr(l,C21) х Gr(l — 1,С2/) изоморфно однородному пространству SO21/P1-1J.
Пусть сначала / = 3. Рассмотрим следующие изотропные пространства: V\ = (еі,Є2,Є4), V i = (е2,ез,ев), Vz = (ei, ез,Єб). Они лежат в одной и той же SOQ-орбите, и из выбора подгруппы Р/ в начале раздела 3.2.3 следует, что V\, V2, V3 Є X. Выберем произвольную прямую а\ С (еі,Є2), тогда а\ С V\. Также выберем прямые Й2 С (е2,ез) и аз С (еі,ез), тогда Й2 С V2 и аз С V3. Потребуем, чтобы прямые а2 и аз не совпадали и чтобы их сумма (как подпространств пространства С6) а2 + аз не была бы равна (еі, Є2), в остальном их выбор может быть произвольным. Рассмотрим точку ((Vi,ai), ( 2,02), ( 3,03)) Є У х Y х У. В пространстве (еі,Є2) имеем четыре прямых: (ei) = V\ П V3, (е2) = V fl V3, а\ и 0-4 = ( з.20 2з)П(еі, Є2). Эти четыре прямые определены в терминах пересечений и сумм пространств Vi и а . Если к этим четырём прямым применить элемент д Є G, то мы получим четыре прямые, которые получаются с помощью тех же самых операций, но применённых к подпространствам gVi и ga,i вместо Vi и ai. Двойное отношение этих четырёх прямых в их двумерной линейной оболочке не меняется при действии группы G. Поскольку прямая а\ была выбрана произвольно, то это двойное отношение может быть любым числом, и множество орбит бесконечно.
Рассмотрим те же самые подпространства Vi и 2j, а также подпространства Wx = ai0(e4 , W2 = а2Ф(е6) и = а:іф{е5). Точка ((Vi, W , {V2) W2), (V3, W3)) лежит в многообразии Z х Z х Z. Заметим, что (еі,Є2,Єз) = {V\ П V2) 0 (V2 П Vs)(VinV3) и а = Wjfl(ei, Є2, Є3). Снова получаем двумерное подпространство (еі,Є2) и четыре прямых в нём, определённые в терминах сумм и пересечений подпространств 1 и Wj. Значит, и в этом случае существует б Ов-инвариантное двойное отношение, и множество орбит бесконечно.
Теперь пусть / 3. Построим пространства Vj, 2j и Wj так же, как и выше, используя три последних базисных вектора вместо векторов Є4, Є5, ее- Пусть V? = V; Є (е4, ,et) и W/ = Wi 0 (е4, -,). Точки ((К,аі), ( ,а2), (V?,a3)) и ((У/, W{), ( WJ), {VI W3 )) лежат в многообразиях Y xYxY nZ xZ xZ, соответственно. Рассмотрим также подпространство М = (V{P\ V2P\ V )-1. Ограничение билинейной формы на это подпространство вырождено, её ядро равно V{ П V2 П VI = (е4,..., е/). Профакторизовав пространство М по этому ядру, получим шестимерное пространство с невырожденной билинейной формой. Ограничение морфизма факторизации на подпространство (ei, е2} е3, Є2/-2, Є2/-1, Є2/) является изоморфизмом, поэтому мы снова получаем подпространства Vj, 2j, Wj в шестимерном пространстве, определённые так же, как и выше. Мы оказываемся в точности в той же ситуации, что и выше для группы SOQ: И снова можем определить двойные отношения для рассматриваемых точек в многообразиях G/Pij-i х G/Pij-i х G/Pij-i и G/Pi-ij х G/Pi-ij х G/Pi-ij, и эти двойные от 50 ношения сохраняются при действии группы G. Следовательно, множества SO21 орбит на этих многообразиях бесконечны. Теорема 3.8 доказана.
Существование умножений, согласованных с действием алгебры
Обозначим действие элемента х Є і на пространстве V за р(х). Любое линейное отображение ср: V — і позволяет определить умножение по правилу vw = p((p(v))w. Выберем базисы в пространствах Киї, тогда линейные отображения V — будут записываться матрицами размера (dim V) х (dim [). Линейные операторы из пространства V в себя также будут записываться матрицами размера (dim V) х (dim V), и элементы матрицы оператора р(х) линейно зависят от элемента х Є і. Умножение коммутативно тогда и только тогда, когда p((p(v))w = p((p(w))v для любых векторов v, w Є V. Это уравнение билинейно по v nw: поэтому достаточно, чтобы оно было выполнено для векторов v nw из выбранного базиса пространства V. А если v nw зафиксированы, то это уравнение можно рассматривать как линейное уравнение на элементы матрицы отображе ния ср. Если мы уже знаем, что умножение коммутативно, то оно ассоциативно тогда и только тогда, когда u(vw) = v(uw) для всех векторов u}v}w Є V, дру гими словами, тогда и только тогда, когда р((р(и)) p((p(v))w = p((p(v))p((p(u))w для всех векторов u v w Є У, или, что равносильно, когда для линейных опера торов на пространстве V выполнено равенство р(ср(и))p(ip(v)) = p((p(v))p((p(u)) для любых векторов u,v Є V. Это уравнение также билинейно по и и -и, и ес ли и и v зафиксированы, то оно становится однородным уравнением степени 2 на элементы матрицы отображения ср. Наконец, линейный оператор на про странстве V нильпотентен тогда и только тогда, когда его (dim У)-я степень равна нулю, или, что равносильно, когда его ((dim У)2)-я степень равна нулю. Если мы уже знаем, что все операторы умножения коммутируют друг с дру гом, то все операторы умножения нильпотентны тогда и только тогда, когда (dimy)-e степени всех операторов вида p,v, где v — вектор из выбранного бази са пространства У, равны нулю, другими словами, тогда и только тогда, когда (p(Lp(v)))dlinV = 0 для любого вектора v из выбранного базиса пространства V. И снова, для фиксированного вектора v Є V это однородное уравнение степе ни dim V на элементы матрицы отображения ср. Следовательно, подмножество К[у Ноте(V, І) задаётся несколькими однородными уравнениями, и поэтому является замкнутым конусом в пространстве Ноте (VА, [).
Предложение 4.21. Пусть і — простая алгебра Ли, bo — некоторая её бо-релевская подалгебра, и to С bo — некоторая картановская подалгебра. Обозначим соответствующую систему корней за Ф; соответствующую систему весов за X, и соответствующую полугруппу доминантных весов за Х+. Пусть V = {/Зі,... ,/3rk[} — соответствующее множество простых корней. Пусть V — неприводимое представление алгебры і со старшим весом X Є 3+, на котором можно ввести умножение, согласованное с действием алгебры І. Тогда X — фундаментальный вес. Более того, пусть X соответствует простому корню /. Обозначим соответствующий простой корень в двойственной системе корней Фу за Щ. Тогда корень /3/ встречается в разложении максимального короткого корня системы Фу в сумму простых корней ровно один раз (т. е. с коэффициентом 1).
Доказательство. Выберем вектор v Є V, так чтобы /iv = 0. Поскольку оператор fiv нильпотентен, то существует такое число к Є N, что (fiv)k ф 0, но ((J v)2k = 0. Поскольку умножение ассоциативно, то (fiv)k = fivk. Следовательно, существует такой элемент z Є I, что p(z) 7 0, но p(z)2 = 0. Для каждого простого корня [5 выберем элементы хр Є ір, ур Є [-/з, так что вместе с hp = [хр} ур] они образуют стандартный базис алгебры s - Обозначим также h-p = —hp. Обозначим фундаментальный вес, соответствующий простому корню Д;, за Wi.
Обозначим максимальный корень системы Ф за 7- Поскольку z — нильпо-тентный элемент алгебры [, то замыкание его орбиты при присоединённом действии группы L на алгебре [ содержит элемент у1. Следовательно, р(у )2 = 0. В частности, если разложить пространство V в прямую сумму неприводимых представлений алгебры s = (ж7,у7, /і7), то размерность каждого прямого слагаемого будет не больше 2. Поэтому собственные значения оператора р{Ьп) могут быть равны только —1, 0 и 1. В частности, А(/г7) — это собственное значение оператора p(/i7), соответствующее старшему весовому подпространству представления У, поэтому Л(/г7) может быть равно либо 1, либо 0. Запишем Л = aiWi. Заметим, что все коэффициенты сц не могут одновременно обратиться в ноль, иначе представление V было бы тривиально, p(l) = 0, и умножение на пространстве V также должно было бы быть тривиальным.
Зафиксируем инвариантное скалярное произведение (,) на алгебре [. Оно отождествляет пространства to и t , и если [5 Є Ф, то элемент hp Є to отождествляется с Поэтому все векторы hp (для всех корней /З Є Ф) образуют систему корней, двойственную к системе Ф, в пространстве to- Множество векторов hp: где /З Є V пробегает простые корни системы Ф, можно считать множеством простых кор ней этой двойственной системы. Тогда /г7 — максимальный короткий корень этой системы. Запишем /г7 = bjhp.. Все числа ЬІ целые и положительные (см. [14, 12.2, Table 2]). Имеем А(/г7) = а (/г7) 1. Вспомним, что по опреде лению фундаментального веса, Wi{hp) = Sij, поэтому Л(/г7) = . Следо вательно, ровно один из коэффициентов щ не равен нулю, этот коэффициент dj обязан быть равен единице (т. е. Л = ZUJ), и индекс j должен удовлетворять равенству bj = 1.
Это предложение существенно ограничивает множество пар ([, У), для которых можно ввести ненулевое умножение, согласованное с действием алгебры [. Именно, если [ — алгебра типа А/, нужно рассмотреть все фундаментальные представления, если [ — алгебра типа /, нужно рассмотреть тавтологическое и спинорное представления, если [ — алгебра типа С/, нужно рассмотреть все фундаментальные представления, если [ — алгебра типа D/, нужно рассмотреть тавтологическое и два полуспинорных представления (одно из них переводится в другое диаграммным автоморфизмом алгебры Ґ), если [ — алгебра типа Е$: EV, F или 6г2, нужно рассмотреть только представления минимальной размерности.