Циклические полукольца с некоммутативным сложением Орлова Ирина Валерьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация представляет собой исследование в области теории полуколец - одного из важных разделов современной алгебры. Развита теория полуколец с циклическим умножением и некоммутативным сложением.

Циклическая структура играет существенную роль в математике и ее приложениях. Строение циклических групп, циклических (или моногенных) полугрупп, циклических колец известно¹'²'³'⁴. Циклы и циклические процедуры составляют значимую часть аппарата дискретной математики и информатики.

Мультипликативно циклические полукольца, как и другие циклические алгебраические структуры, служат естественным объектом для исследования. Такие полукольца являются нетривиальным алгебраическим объектом и могут найти применение в криптографии⁵ наряду с конечными полями, составляющими их классический подкласс. При изучении циклических полуколец полезно использовать современные компьютерные технологии.

Впервые циклические полукольца с коммутативным сложением рассматривались в работе⁶, в которой описаны бесконечные циклические полукольца с коммутативным сложением (теорема 4) и поставлена проблема описания конечных циклических полуколец с коммутативным сложением (задача 8). Конечные циклические полукольца с коммутативным сложением исследовались

^аргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.

²Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 1972. 286 с.

³Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 1988. 430 с.

⁴Вечтомов Е. М. О свойствах полутел // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона: Периодический сборник научно-методических работ. 2001. Вып. 3. С. 11-20.

⁵Myasnikov A., Shpilrain V., Ushakov A. Non-commutative Cryptography and Complexity of Group-theoretic Problems. Monograph. Mathematical surveys and monographs, vol.177. Providence: American Mathematical Society, 2011. 385 p.

^еВечтомов E. M. Введение в полукольца. Киров: ВГПУ, 2000. 44 с.

в работах А. С. Бестужева⁷'⁸'⁹'¹⁰'¹¹, А. С. Бестужева и Е. М. Вечтомова¹²'¹³. Начало изучения циклических полуколец с некоммутативным сложением по-

ложено в .

Теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и ее интенсивное развитие на первых этапах связано с такими именами, как А. А. Коста, С. Берн, К. Исеки, Г. Вайнерт, Г. Луговски и др. Как отмечает К. Глазек в своем обзоре¹⁵, первые монографии по теории полуколец были написаны Дж. Голаном¹⁶'¹⁷'¹⁸, У. Хебишем и Г. Вайнертом¹⁹. В настоящее время теория полуколец активно развивается в связи с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики¹⁶'¹⁷'¹⁸'²⁰. Работа Глазека содержит обширную библиографию и обзор по полукольцам и их приложениям в различных областях математики.

Впервые понятие полукольца (в широком смысле) было дано Г. Вандиве-ром²¹ в 1934 г. Полукольцом он называл алгебру (S, +, ) с двумя бинарными

⁷Бестужев А. С. О строении конечных циклических полуколец // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2010. Вып. 6. С. 143-148.

⁸Бестужев А. С. Конечные идемпотентные циклические полукольца // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2011. Вып. 13. С. 71-78.

⁹Бестужев А. С. О строении конечных циклических полуколец. II // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2013. Вып. 7. С. 55-57.

¹⁰Бестужев А. С. О строении конечных мультипликативно-циклических полуколец // Ярославский педагогический вестник. 2013. Т. III. № 2. С. 14-18.

^пБестужев А. С. Неидемпотентные циклические полукольца // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XIII Международной конференции. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015. С. 145-148.

¹²Bestugev A. S., Vechtomov Е. М. Multiplicatevely cyclic semirings // XIII Международная научная конференция им. Академика М. Кравчука. Киев: Национальный технический университет Украины, 2010. С. 39.

¹³Бестужев А. С, Вечтомов Е.М. Циклические полукольца с коммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Математика. Механика. Информатика. 2015. Вып. 1(20). С. 8-39.

¹⁴Лубягина И. В. О циклических полукольцах с некоммутативным сложением // Труды Математического центра им. И. И. Лобачевского. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2010. Т. 40. С. 212-215.

¹⁵Glazek К. A Short Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Computer Science. Berlin: Springer, 2002. 400 p.

^leGolan J. S. The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1992. 318 p.

¹⁷Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 381 p.

¹⁸Golan J. S. Semirings and affine equations over them: theory and applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. 250 p.

¹⁹Hebisch U., Weinert H.J. Semirings: algebraic theory and applications in computer science // World Scientific. Singapure, 1998.

²⁰Маслов В. П., Колокольцов В. И. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994. 142 с.

²¹ Vandiver Н. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 914-920.

операциями сложения + и умножения , если (S, +) - полугруппа, (S, ) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Другое (узкое) определение полукольца принадлежит Голану²², в котором дополнительно требуются коммутативность операции сложения, наличие нулевого элемента 0, нейтрального по сложению и поглощающего по умножению, и наличие единичного элемента 1, нейтрального по умножению. В изучаемых нами полукольцах не требуется коммутативность сложения и, с учетом полученных предварительных результатов, не требуется и наличие 0. Поэтому используется расширенное понятие полукольца, данное Вандивером.

Теорией полуколец активно занимаются Е. М. Вечтомов и члены научной алгебраической школы «Функциональная алгебра и теория полуколец» под его руководством. Результаты исследований по абстрактной теории полуко-

94 94 9^ 9fi 97 9Я 9Q

лец отражены в диссертациях ''''' '.

Понятие циклического полукольца было введено Е. М. Вечтомовым³⁰. Полукольцо S с единицей 1 будем называть циклическим, если в S существует образующий элемент а, такой, что каждый ненулевой (в случае наличия 0) и неединичный элемент из S является натуральной степенью образующего элемента.

Снимая ограничение на коммутативность сложения в аддитивной полугруппе циклического полукольца, получается более широкий класс алгебраических объектов, объединяющий циклические полукольца с коммутативным сложением и циклические полукольца с некоммутативным сложением, изучаемые в данной диссертации.

Объектом исследования диссертации являются полукольца с дополнительными условиями.

²²Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 381 p.

²³Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2002. 89 с.

²⁴Богданов И. И. Полимиальные соотношения в полукольцах: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Москва, 2003. 72 с.

²⁵Старостина О-В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2007. 90 с.

^2еЧермных В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис. ... д-ра физ.-матем. наук. Киров, 2007. 234 с.

²⁷Черанева А. В. Ядра и пучки полутел: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2008. 95 с.

²⁸Петров А. А. Мультипликативно идемпотентные полукольца: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2015. 104 с.

²⁹Марков Р. В. Пирсовские слои и цепи полуколец: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2015. 84 с.

³⁰Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: ВГПУ, 2000. 44 с.

Предметом исследования служат циклические полукольца с некоммутативным сложением.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является изучение структуры циклических полуколец с некоммутативным сложением. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Общая классификация циклических полуколец.

2. Установление свойств операции сложения на циклических полукольцах с некоммутативным сложением.

3. Описание идеалов и конгруэнции циклических полуколец.

4. Выяснение структуры циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением.

5. Исследование циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением.

6. Нахождение изучаемых полуколец с помощью информационных технологий для выявления закономерностей в полукольцах.

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории полугрупп, теории полуколец, элементарной теории чисел, универсальной алгебры и компьютерного моделирования. Методы, применяемые для изучения циклических полуколец с некоммутативным сложением, существенно отличаются от методов исследования циклических полуколец с коммутативным сложением, в частности из-за возможного наличия в первых нетривиального цикла.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и может послужить основой для дальнейших исследований в теории полуколец, а также найти применение в криптографии. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для магистрантов и аспирантов и в научно-исследовательской работе студентов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Личный вклад автора. Диссертационная работа отражает личный вклад автора в проведенном исследовании. Научным руководителем д. ф.-м. н., профессором Е. М. Вечтомовым была определена область исследования, поставлены задачи исследования, осуществлялось общее руководство, оказывалась методическая помощь, проводилось обсуждение полученных результатов и методов их решения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета (2017 г.), на научных конференциях Вятского государственного (гуманитарного) университета в 2012, 2014 и 2016 годах, регулярно в 2010-2017 годах на научном алгебраическом семинаре г. Кирова (руководители семинара-доктора физ.-мат. наук, профессора, Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных), апробированы на Международных алгебраических и математических конференциях в Казани (2010, 2011, 2015 гг.), Саратове (2011 г.), Перми (2012 г.), Екатеринбурге (2012, 2013 гг.), Новосибирске (2016 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ (из них 7 статей и 9 тезисов докладов, список публикаций приведен в конце автореферата), 5 из которых в соавторстве с научным руководителем Е. М. Вечтомовым. Три работы опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя оглавление, введение, четыре главы, разбитые на 10 параграфов, заключение, список литературы и предметный указатель. Полный объем диссертации составляет 92 страницы. Список литературы включает 56 наименований и занимает 6 страниц.